平面向量知识点与习题

1、学习必备欢迎下载平面向量必修 4第2章平面向量§ 2.1 向量的概念及其表示重难点：理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念，会表示向量，掌握平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系考纲要求：了解向量的实际背景理解平面向量的概念及向量相等的含义理解向量的几何表示经典例题：下列命题正确的是（）A. 与共线，与共线，则与c 也共线B.任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四顶点C.向量与不共线，则与都是非零向量D.有相同起点的两个非零向量不平行当堂练习：1.下列各量中是向量的是()A. 密度B.体积C.重力D.质量2 下列说法中正确的是（）A. 平行向量就是

2、向量所在的直线平行的向量B. 长度相等的向量叫相等向量C. 零向量的长度为零D.共线向量是在一条直线上的向量3设 O 是正方形 ABCD 的中心，则向量 AO 、OB 、CO 、OD 是（）A 平行向量B 有相同终点的向量C相等的向量D模都相同的向量4.下列结论中 ,正确的是()A.零向量只有大小没有方向B. 对任一向量 a ,| a |>0 总是成立的C.|AB|=|BA|D. | AB |与线段 BA 的长度不相等5.若四边形 ABCD 是矩形 ,则下列命题中不正确的是()A.AB与CD共线B.AC与BD相等C.AD与 CB 是相反向量D.AB 与 CD 模相等6已知 O 是正方形

3、ABCD 对角线的交点，在以O， A， B， C，D 这 5 点中任意一点为起点，另一点为终点的所有向量中，（ 1）与 BC 相等的向量有；学习必备欢迎下载（ 2）与 OB 长度相等的向量有；（ 3）与 DA 共线的向量有7在平行向量一定相等；不相等的向量一定不平行；共线向量一定相等；相等向量一定共线；长度相等的向量是相等向量；平行于同一个向量的两个向量是共线向量中， 不正确的命题是并对你的判断举例说A明E8如图，O 是正方形 ABCD 对角线的交点， 四边形 OAED ，OCFB都是正方形，在图中所示的向量中：D（ 1）与 AO 相等的向量有；（ 2）写出与 AO 共线的向有；（ 3）写出与

4、 AO 的模相等的有；（ 4）向量 AO 与 CO 是否相等？答9O 是正六边形 ABCDE 的中心，且 OAa ， OBb ， ABc ，在以 A， B， C，D ，E， O 为端点的向量中：（ 1）与 a 相等的向量有；FBFOCEDCO（ 2）与 b 相等的向量有；A（ 3）与 c 相等的向量有B10在如图所示的向量 a ， b ， c ， d ， e中（小正方形的边长为1），是否存在：（ 1）是共线向量的有；（ 2）是相反向量的为；（ 3）相等向量的的；（ 4）模相等的向量11如图， ABC 中， D ，E， F 分别是边 BC ，AB ，CA 的中点，在以A、B 、C、D 、E、F

5、为端点的有向线段中所表示的向量中，（ 1）与向量 FE 共线的有AFEBDC学习必备欢迎下载（ 2）与向量DF的模相等的有（ 3）与向量ED相等的有12如图，中国象棋的半个棋盘上有一只“马”，开始下棋时，它位于A 点，这只 “马 ”第一步有几种可能的走法？试在图中画出来若它位于图中的 P 点，这只 “马 ”第一步有几种可能的走法？它能否从点 A 走到与它相邻的 B ？它能否从一交叉点出发， 走到棋盘上的其它任何一个交叉点？必修 4第2章平面向量§ 2.2 向量的线性运算重难点：灵活运用向量加法的三角形法则和平行四边形法则解决向量加法的问题，利用交换律和结合律进行向量运算；灵活运用三角

6、形法则和平行四边形法则作两个向量的差，以及求两个向量的差的问题；理解实数与向量的积的定义掌握实数与向量的积的运算律体会两向量共线的充要条件考纲要求：掌握向量加法，减法的运算，并理解其几何意义掌握向量数乘的运算及其意义。理解两个向量共线的含义了解向量线性运算的性质及其几何意义经典例题：如图，已知点D, E, F 分别是ABC 三边 AB, BC , CA 的中点，求证： EA FB DC0 .当堂练习：1 a、 b为非零向量，且| a b| | a | | b| ，则（）A a与 b 方向相同B a bC abD a与 b方向相反2设 ( ABCD )( BCDA ) a ，而 b是一非零向量，

7、则下列各结论：a / b；学习必备欢迎下载 aba ； ab b； a bab，其中正确的是（）A BCD 3 3在 ABC 中， D 、E、 F 分别 BC 、CA 、 AB 的中点，点 M 是 ABC 的重心，则MAMBMC 等于（）A OB 4MDC 4MFD 4ME4已知向量 a与 b 反向，下列等式中成立的是（）A | a | | b | | a b | B | a b | | a b |C | a | | b | | a b | D | a | | b | | a b |5若 a b c化简 3(a 2b) 2(3bc)2(ab)（）A aB bC cD 以上都不对6已知四边形 A

8、BCD 是菱形，点 P 在对角线 AC 上（不包括端点A、C），则 AP =（）( ABBC ).2)A (ABAD ).(0,1)(0,B2( ABAD ).(0,1)( ABBC ).(0,2 )CD27已知 | OA |a |3 ， | OB | | b |3 ， AOB=60 ，则 | ab |_ 。8当非零向量 a和 b满足条件时，使得 ab 平分 a 和 b 间的夹角。9如图， D、 E、F 分别是ABC 边 AB 、 BC、CA 上的中点，则等式：C FDDAAF0 FDDEEF0FE DEDABE0 ADBEAF0ADB学习必备欢迎下载10若向量 x 、 y满足 2 x 3 y

9、 a,3 x2 y b， a 、 b 为已知向量，则x =_ ； y=_ 11一汽车向北行驶 3 km，然后向北偏东60 方向行驶 3 km ，求汽车的位移 .12.如图在正六边形ABCDEF 中，已知： AB =a,AF =b,试用a b、 表示向量 BC ,CD , AD，BE.必修 4第2章平面向量§ 2.3 平面向量的基本定理及坐标表示重难点：对平面向量基本定理的理解与应用；掌握平面向量的坐标表示及其运算考纲要求：了解平面向量的基本定理及其意义掌握平面向量的正交分解及其坐标表示会用坐标表示平面向量的加法，减法于数乘运算理解用坐标表示的平面向量共线的条件经典例题：已知点A( x

10、,0), B(2 x,1), C (2, x), D (6,2 x) 求实数 x 的值，使向量AB 与 CD 共线；学习必备欢迎下载当向量 AB 与 CD 共线时，点A, B, C , D 是否在一条直线上？当堂练习：1若向量a=(1,1),b=(1, 1),c=( 1,2)，则 c 等于（）13133131A 2 a2 b B 2 a2 b C 2 a2 b D2 a+ 2 b2若向量 a=(x 2,3)与向量 b=(1,y+2) 相等，则（）A x=1,y=3 B x=3,y=1Cx=1,y= 5D x=5,y= 13已知向量 a(3,4), b(sin, cos), 且 a b ，则 t

11、an= （）3344A 4B 4C 3D 34已知ABCD 的两条对角线交于点E，设 ABe1 ，ADe2 ，用 e1 ,e2 来表示 ED的表达式（）1 e11 e21 e11 e21e1A 22B 22C 25已知两点P（， 6）、（ 3，），点成的比为 ，则 、的值为（）1112 e2D 2 e12 e27P（ 3 ，）分有向线段P1 P2 所1111A 4 ，8B 4 ，8C 4，8D4， 86 下列各组向量中：e1( 1,2) e1 (3,5) e1 (2, 3) e2 (5,7)e2 (13e2 (6,10),)24有一组能作为表示它们所在平面内所有向量的基底，正学习必备欢迎下载确

12、的判断是 A （B ）C D 7若向量a =（2， m）与b =（m， 8）的方向相反，则m 的值是8已知a =（ 2，3）， b=（ -5， 6），则 | a + b |=， | a - b |=9设 a =（2，9），b=（ ,6），c =(-1, ),若 a + b = c ,则 =10ABC的顶 点A(2 ，3)，B( 4，2)和重心G(2，, = 1) ，则.C点坐标为.11已知向量e1、 e2 不共线，(1) 若 AB =e1 e2， BC =2e1 e2， CD =3e1 e2，求证： A 、B 、 D 三点共线 .(2) 若向量 e1 e2 与 e1 e2 共线，求实数 的值

13、.12如果向量 AB =i 2j, BC =i+mj, 其中 i、j 分别是 x 轴、 y 轴正方向上的单位向量，试确定实数 m 的值使 A 、 B 、C 三点共线 .必修 4第2章平面向量§ 2.4 平面向量的数量积重难点：理解平面向量的数量积的概念，对平面向量的数量积的重要性质的理解考纲要求：理解平面向量数量积的含义及其物理意义了解平面向量数量积于向量投影的关系掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系经典例题：在ABC 中，设 AB2,3 , AC1, k , 且 ABC 是直角三角形，求 k 的学习必

14、备欢迎下载值当堂练习：1已知 a =（ 3，0），b =（ -5，5）则 a 与 b 的夹角为（）A450B、 600C、1350D、 12002已知 a =（ 1，-2），b =（ 5，8），c =（ 2，3），则 a ·（ b ·c ）的值为（）A34B、（ 34，-68）C、 -68D、（ -34， 68）3已知 a =（ 2，3），b =（ -4，7）则向量 a 在 b 方向上的投影为（）A 131365D、 65B、 5C、 54已知 a =（ 3， -1）， b =（ 1， 2），向量 c 满足 a · c =7，且 bc ，则 c 的坐标是（）A （

15、 2， -1）B、（ -2， 1）C、（ 2， 1）D 、（ -2， -1）5有下面四个关系式 （ 1）0 ·0 = 0 ；（ 2）（ a ·b ）c = a（ b ·c ）；（ 3）a ·b = b ·a ；（ 4） 0 a =0，其中正确的个数是（）A 、 4B 、 3C、 2D 、16已知 a =（m-2， m+3）， b =（ 2m+1 ，m-2）且 a 与 b 的夹角大于90°，则实数 m（）A 、 m 2 或 m -4/3B、 -4/3 m 2C、 m 2D、 m 2 且 m-4/37已知点 A（1，0），B（ 3，1），

16、C（ 2，0）则向量 BC 与 CA 的夹角是。8已知 a =（ 1，-1）， b =（ -2，1），如果（a b) (ab) ，则实数 =。9若 |a |=2， |b |=2 ， a 与 b 的夹角为45°，要使 k b - a 与 a 垂直，则 k=10已知 a + b =2 i-8 j， a b =-8 i+16 j，那么 a · b =学习必备欢迎下载11已知 2 a + b =（-4， 3）， a -2 b =（ 3， 4），求 a · b 的值。12已知点若能，求点A（ 1，2）和 B（ 4，-1），试推断能否在C 的坐标；若不能，说明理由。y 轴上找

17、到一点C，使ACB=900 ？必修 4第2章平面向量§ 2.5 平面向量的应用重难点：通过向量在几何、物理学中的应用能提高解决实际问题的能力考纲要求：会用向量方法解决某些简单的平面几何问题会用向量方法解决简单的力学问题于其他一些实际问题经典例题：如下图，无弹性的细绳OA, OB 的一端分别固定在 A, B 处，同质量的细绳OC 下端系着一个称盘，且使得OB OC ，试分析 OA, OB,OC 三根绳子受力的大小，判断哪根绳受力最大？当堂练习：1已知A、B、C为三个不共线的点，P 为ABC所在平面内一点，若PA PB PC AB ，则点 P 与 ABC 的位置关系是（）A、点 P 在

18、ABC 内部B、点 P 在 ABC 外部C、点 P 在直线 AB 上D、点 P在 AC 边上2已知三点 A（ 1，2），B（ 4，1），C（ 0，-1）则 ABC 的形状为（）学习必备欢迎下载A 、正三角形B 、钝角三角形C、等腰直角三角形D 、等腰锐角三角形3当两人提起重量为|G|的旅行包时，夹角为，两人用力都为|F|，若 |F|=|G|，则的值为（）A 、 300B 、 600C、 900D、 12004某人顺风匀速行走速度大小为a，方向与风速相同，此时风速大小为v，则此人实际感到的风速为（）A 、 v-aB、 a-vC、 v+aD 、 v5一艘船以5km/h 的速度向垂直于对岸方向行驶，

19、船的实际航行方向与水流方向成300 角，则水流速度为km/h。6两个粒子a， b 从同一粒子源发射出来，在某一时刻，以粒子源为原点，它们的位移分别为 Sa=（ 3，-4），Sb=（ 4，3）（， 1）此时粒子 b 相对于粒子a 的位移；（ 2）求 S 在 Sa 方向上的投影。7如图，点P 是线段 AB 上的一点，且AP PB= m n ，点 O 是直线 AB 外一点，设 OAa ， OBb ，试用 m, n,a, b的运算式表示向量 OP AaPObB8如图， ABC 中， D ， E 分别是 BC ， AC 的中点，设AD 与 BE 相交于 G，求证：AG GD=BG GE=2 1AEGBD

20、COG1 (OAOBOC)9如图，O 是 ABC 外任一点，若3，求证： G 是 ABC重心（即三条边上中线的交点）AGBCO学习必备欢迎下载10一只渔船在航行中遇险，发出求救警报，在遇险地西南方向收到警报立即侦察，发现遇险渔船沿南偏东750，以 9mile/h10mile 处有一只货船的速度向前航行，货船以21mile/h的速度前往营救，并在最短时间内与渔船靠近，求货的位移。北A东450 750CB必修 4第2章平面向量§ 2.6 平面向量单元测试1在矩形 ABCD 中，O是对角线的交点，若 BC5e1 , DC3e2则OC =（）1115e1 )13e1 )(5e1 3e2 )B

21、 2(5e1 3e2 )(3e2(5e2A 2C 2D 22对于菱形 ABCD ，给出下列各式：AB BC|AB| |BC|AB CD| |AD BC| AC |2|BD|24| AB|2其中正确的个数为（）A1个 B2 个 C3个 D4 个3在ABCD 中，设 ABa, ADb, ACc, BDd ，则下列等式中不正确的是（）A a b cB a b dC b a dD c a b4已知向量 a与 b 反向，下列等式中成立的是（）学习必备欢迎下载A | a | | b | | a b | B | a b | | a b |C | a | | b | | a b |D | a | | b |

22、| a b |5已知平行四边形三个顶点的坐标分别为（1，0），（ 3，0），（ 1， 5），则第四个点的坐标为（）A （ 1， 5）或（ 5， 5） B （ 1，5）或（ 3， 5）C（ 5， 5）或（ 3， 5） D（ 1， 5）或（ 3， 5）或（ 5， 5）6与向量 d(12,5) 平行的单位向量为（）(12,5)(12 ,5 )(12, 5)(12 ,5 )( 12,5 )A 13B 1313C 13 13或1313 D13137若 | a b |41203 ，| a | 4, | b | 5 ，则 a与b 的数量积为（）A103B 10 3 C10 2D 108若将向量 a ( 2,

23、1) 围绕原点按逆时针旋转4 得到向量 b ,则 b 的坐标为(）(232(232322(3 2,2 ),),)(,)D A 22B22C22229设 k R，下列向量中，与向量Q(1,1) 一定不平行的向量是（）A b (k ,k )B c( k, k )C d(k 21, k 21)D e(k 21, k 21)3( )(a1b3610已知 | a |10, | b | 12)，则 a与b 的夹角为，且5（）A60°B 120°C 135°D 150°11非零向量 a,b满足 | a | | b | ab |，则 a, b 的夹角为.12在四边形 A

24、BCD 中，若 ABa, ADb,且 | ab | | ab | ,则四边形 ABCD 的形状是学习必备欢迎下载13已知 a(3,2) ， b(2, 1)，若ab与ab 平行，则 =.| a | =4 ， a与e 的夹角为214 已知 e 为单位向量，3，则 a在 e 方向上的投影为.15已知非零向量 a, b 满足 | a b | ab |,求证 : ab16已知在 ABC 中， AB(2,3) ， AC (1, k ), 且 ABC 中 C 为直角， 求 k 的值 .17、设 e1 ,e2 是两个不共线的向量，AB 2e1 ke2 , CB e1 3e2 ,CD2e1e2 ，若 A、 B、

25、 D 三点共线，求 k 的值 .18已知 | a | 2| b | 3 , a与b 的夹角为 60o, c 5a 3b , d3a kb ,当当实数 k 为何值时， c d c d学习必备欢迎下载19如图， ABCD 为正方形， P 是对角线 DB 上一点， PECF 为矩形，求证： PA=EF； PA EF.20如图，矩形 ABCD 内接于半径为 r 的圆 O，点 P 是圆周上任意一点，求证： PA2+PB2+PC2+PD2=8r2.学习必备欢迎下载参考答案第 2章平面向量§ 2.1 向量的概念及其表示经典例题：解：由于零向量与任一向量都共线，所以A 不正确；由于数学中研究的向量是

26、自由向量，所以两个相等的非零向量可以在同一直线上，而此时就构不成四边形，根本不可能是一个平行四边形的四个顶点，所以B 不正确；向量的平行只要方向相同或相反即可，与起点是否相同无关，所以不正确；对于C，其条件以否定形式给出，所以可从其逆否命题来入手考虑，假若与不都是非零向量，即与至少有一个是零向量，而由零向量与任一向量都共线，可有与共线，不符合已知条件，所以有与都是非零向量，所以应选C.当堂练习：1.C;2.C; 3.D; 4.C; 5.B;6. (1)AD(2)OA, OC,OD, BO, AO,CO, DO(3)AD,BC,CB. ; 7. ;8.（1） BF（ 2 ） DE,CO, BF（

27、 3 ）AE, DE,DO, BO,CO, BF,CF（ 4）不相等 ; 9. （ 1） DO,CB （ 2）EO, DC（ 3）OC, ED ;10.（1） a, d（2） a, d（3）不存在（ 4） a, d ， c ;11.（ 1） BD, DB, DC,CD, BC,CB（ 2） AE, EA, EC,CE（3） FB, AF ;12. 3 种， 8 种，可以（转化为相邻两个中的互跳）;§ 2.2 向量的线性运算经典例题：证明：连结 DE, EF , FD 因为 D , E, F 分别是ABC 三边的中点， 所以四边形ADEF为平行四边形由向量加法的平行四边形法则，得EDE

28、FEA （ 1），同理在平行学习必备欢迎下载四边形BEFD中，FD FE FBCFDE，在平行四边形在 中 ，(2)DFDEDC(3)将（ 1） (2) (3) 相加，得EAFBDCEDEFFDFEDEDF( EFFE )( EDDE )( FDDF )0当堂练习：1.C; 2.D; 3.A; 4.C; 5.D; 6.A; 7. 3; 8. | a | | b |; 9. ， ; 10. （ 1） a, d（ 2） a, d（ 3）不存在（ 4） a,d ， c ;11. 北偏东 30°方向，大小为 3 3 km12. BCAOAB BOABAFab ；CDAFb ；AD2BC2 a

29、b ；BE 2 AF 2b§ 2.3 平面向量的基本定理及坐标表示经典例题：解 （1） AB( x,1) ， CD (4, x) AB / CD ， x24, x2 （ 2）由已知得 BC(22x, x 1) 当 x 2 时， BC(2,1) ， AB(2,1) ，AB 和 BC 不平行，此时 A,B,C,D 不在一条直线上；当 x2时， BC(6,3)， AB( 2,1)AB / BC ，此时 A, B,C 三点共线又AB/CD ，A, B, C, D 四点在一条直线上综上当 x2 时， A, B, C , D 四点在一条直线上学习必备欢迎下载当堂练习：1.B; 2.B; 3.A;

30、 4.B; 5.D; 6.A; 7. -4; 8. 310 , 58 ; 9. -3 ， 15; 10. (8,-4);11解析： (1)BD = BC + CD =2e1-8e2+3(e1+e2) e1-5e2 ABBD与AB又直线 BD 与 AB 有公共点B，A 、B、D(2) e1-e2 与 e1- e2存在实数k，使 e1 e2（ e1 e2 ） e1+(k )e20 e1、 e2由平面向量的基本定理可知： 且 解得 ±，故 12解法一： A 、B 、 C 三点共线即AB 、 BC存在实数 使得 AB BC即 i-2j= （ i+mj ）1于是m 2即 m= 2 时， A 、

31、B 、 C 三点共线 .解法二：依题意知： i=(1,0),j=(0,1)则 AB =(1,0)-2(0,1)=(1,-2),BC =(1,0)+m(0,1)=(1,m)而AB、BC故当 m=2 时， A、 B、 C 三点共线 .§ 2.4 平面向量的数量积经典例题：解：若A 900 ,则 ABAC ，于是 2 1 3 k 02k解得3 ；学习必备欢迎下载若B900,则 ABBC ，又 BCACAB1, k3 ,故得213k30 ，k11解得3 ；若C900,则 ACBC ，故11k k30 ，k313211313解得2所求 k 的值为3 或 3或2当堂练习：151.C; 2.B; 3.C; 4.A; 5.D; 6.B; 7. 450; 8.2; 9.2; 10. - 63;11.a =(-1,2)b =(-2,-1)a · b =012.令 C(0,y), 则 AC =(-1,y-2)CB(4,1y)因为ACB=900, 所以 ACCB =0,即 -4+(y-2)(-1-y)=0y2-y+2=0, 此方程无实数解 ,所以这样的点不存在.§ 2.5 平面向量的应用经典例题：解：设OA,OB ,OC 三根绳子所受力分别是a, b, c，则 a b c 0 ， a,b 的合力为c ' ab,| c ' | | c | ， 如 上