第18讲导数的综合应用

1、 1.掌握利用导数解决实际生活掌握利用导数解决实际生活中的优化问题的方法和步骤，如用中的优化问题的方法和步骤，如用料最少、费用最低、消耗最省、利料最少、费用最低、消耗最省、利润最大、效率最高等润最大、效率最高等. 2.掌握导数与不等式、几何等掌握导数与不等式、几何等综合问题的解题方法综合问题的解题方法.1.对任意实数对任意实数x,若若f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x)，且且x0时，时，f (x)0,g(x)0，则，则x0,g(x)0 b.f (x)0,g(x)0c.f (x)0 d.f (x)0,g(x)0，f (x)0，所以，所以f(x)在在(0,+)上单调上单调递增，递增，所以所

2、以f(x)在在(-,0)上也是单调递增上也是单调递增,即即x0.同理，同理，g(x)在在(-,0)上单调递减，上单调递减，所以所以x0时，时，g(x)0，故选，故选b.2.已知函数已知函数y=f (x)的图象如右图的图象如右图所示所示(其中其中f (x)是函数是函数f(x)的导的导函数函数).下面四个图象中下面四个图象中,y=f(x)的的大致图象是大致图象是( )a y=f (x),由题图知，由题图知，当当x-1时，时，y0,所以所以f (x)0,所以所以f(x)递增递增;当当0 x1时时,y0,所以所以f (x)0,所以所以f(x)递减递减;当当x1时，时，y0,所以所以f (x)0,所以所

3、以f(x)递增递增.故选故选a.3.内接于半径为内接于半径为r的半圆的周长最大的矩形的半圆的周长最大的矩形的边长分别是的边长分别是 . r和和 r554 55 如图，设矩形的一边如图，设矩形的一边长为长为2x,则另一边长为则另一边长为 (0 xr),所以矩形的周长所以矩形的周长y=2(2x+ ),所以所以y=2(2- ) (0 xr).令令y=0,得得x= r,此时此时 = r，易得易得x= r是是y=2(2x+ )的极大值点，的极大值点，即同时也是定义域上的最大值点即同时也是定义域上的最大值点.22rx22rx22xrx2 5522rx552 5522rx4.设点设点p是曲线是曲线y=x3-

4、3x+ 上任意一点，上任意一点，p点点处切线的倾斜角为处切线的倾斜角为，则角，则角的取值范围的取值范围是是 .0, ) ,)23223因为因为y=3x2-3-3,所以所以tan-3,所以所以0, ) ,).2231.利用导数解决生活中的优化问题可归结利用导数解决生活中的优化问题可归结为求函数的最值问题为求函数的最值问题其解题的程序其解题的程序:读题读题(文字语言文字语言)建模建模(数数学语言学语言)求解求解(数学应用数学应用)反馈反馈(检验作答检验作答)注意事项：注意事项：(1)函数建模，要设出两个变量，根据题函数建模，要设出两个变量，根据题意分析它们的关系，把变量间的关系转化成意分析它们的关

5、系，把变量间的关系转化成函数关系式，并确定自变量的取值范围；函数关系式，并确定自变量的取值范围；(2)问题求解中所得出的数学结果要检问题求解中所得出的数学结果要检验它是否符合问题的实际意义；验它是否符合问题的实际意义；(3)在函数定义域内只有一个极值，则在函数定义域内只有一个极值，则该极值就是所求的最大该极值就是所求的最大(小小)值值.2.近几年高考中和导数有关的综合题主近几年高考中和导数有关的综合题主要有以下几类要有以下几类(1)求参数的取值范围求参数的取值范围.多数给出单调性多数给出单调性,利用导数研究函数单调性的逆向思维问题利用导数研究函数单调性的逆向思维问题,灵活运用等价转化、分类讨论

6、、数形结合灵活运用等价转化、分类讨论、数形结合等思想方法等思想方法,建立关于字母参数的不等关系建立关于字母参数的不等关系.(2)用导数方法证明不等式用导数方法证明不等式.其步骤一般是：构造可导函数其步骤一般是：构造可导函数研研究单调性或最值究单调性或最值得出不等关系得出不等关系整整理得出结论理得出结论.(3)与几何图形相关的最值问题与几何图形相关的最值问题.根据几根据几何知识建立函数关系，然后用导数方法求何知识建立函数关系，然后用导数方法求最值最值.例例1 已知函数已知函数f(x)=x3-ax2-3x.（1）若若f(x)在在1,+)上是增函数，求实数上是增函数，求实数a的的取值范围；取值范围；

7、（2）若若x=3是是f(x)的极值点，当的极值点，当x1,a时，时，求求f(x)的最大值和最小值的最大值和最小值. （1）可由可由y=f(x)在在1,+)上上f(x)0恒成恒成立来确定含参不等式，利用等价转化求得立来确定含参不等式，利用等价转化求得a的的取值范围取值范围. (1)f (x)=3x2-2ax-30，在，在x1,+)上上恒成立，所以恒成立，所以a (x- ). 当当x1时，时，y= (x- )是增函数，其最小值为是增函数，其最小值为 (1-1)=0.所以所以a0，又，又a=0也合题意，所以也合题意，所以a0.321x321x32(2)依题意依题意f (3)=0，即，即27-6a-3

8、=0，所以，所以a=4.所以所以f(x)=x3-4x2-3x,则则f (x)=3x2-8x-3=(3x+1)(x-3),故故f(x)有极大值点有极大值点x=- ，极小值点，极小值点x=3.此时，此时，f(x)在在- ,3上是减函数，在上是减函数，在3,+)上上是增函数是增函数.所以所以f(x)在在x1,a上的最小值是上的最小值是f(3)=-18,最最大值是大值是f(1)=-6（这里（这里f(a)=f(4)=-120.设设两曲线两曲线y=f(x),y=g(x)有公共点，且在该点有公共点，且在该点处的切线相同处的切线相同. (1)用用a表示表示b，并求，并求b的最大值；的最大值； (2)求证：求证

9、：f(x)g(x)(x0).12 第第（1）问由函数问由函数f(x)与与g(x)在公在公共点共点(x0,y0)处的切线相同，建立关于处的切线相同，建立关于b的函的函数关系式，然后求出数关系式，然后求出b的最大值；第的最大值；第（2）问求证问求证f(x)g(x)(x0)，先构造函数，先构造函数f(x)=f(x)-g(x)(x0)，再证明在，再证明在x0时，时，f(x)0成立即可成立即可. (1)设设y=f(x)与与y=g(x)(x0)在公共点在公共点(x0,y0)处的切线相同处的切线相同.又又f (x)=x+2a,g(x)= ，由题意知由题意知 f(x0)=g(x0) f (x0)=g(x0),

10、即即 x02+2ax0=3a2lnx0+b x0+2a= ,由由x0+2a= 得得x0=a,或或x0=-3a(舍去舍去)，即有即有b= a2+2a2-3a2lna= a2-3a2lna.23ax12203ax203ax1252令令h(t)= t2-3t2lnt(t0),则则h(t)=2t(1-3lnt).由由h(t)=0,得得t=e 或或t=0(舍去）舍去）,列表如下：列表如下：52于是于是h(t)在在(0,+)上的最大值为上的最大值为h(e )= e ，即，即b的最大值为的最大值为 e .13t(0,e ) e(e ,+)h(t)+0-h(t)极大值1313131332233223(2)证明

11、：设证明：设f(x)=f(x)-g(x) = x2+2ax-3a2lnx-b(x0),则则f(x)=x+2a- = (x0).故故f(x)在在(0,a)上为减函数上为减函数,在在(a,+)上为增函数上为增函数,由由f(x)=0，得，得x=a或或=-3a(舍去舍去).列表如下：列表如下：23ax12()(3 )xa xaxx(0,a) a(0,+)f(x)-0+f(x)极小值 于是函数于是函数f(x)在在(0,+)上的最小值是上的最小值是f(a)=f(x0)=f(x0)-g(x0)=0.故当故当x0时时,有有f(x)-g(x)0,即当即当x0时时,f(x)g(x). 利用导数证明不等式，就是把不

12、等式恒利用导数证明不等式，就是把不等式恒成立的问题，通过构造函数，转化为利用导成立的问题，通过构造函数，转化为利用导数求函数最值的问题应用这种方法的难点数求函数最值的问题应用这种方法的难点是如何根据不等式的结构特点或者根据题目是如何根据不等式的结构特点或者根据题目证明目标的要求，构造出相应的函数关系证明目标的要求，构造出相应的函数关系式破解的基本思路是从函数的角度分析和式破解的基本思路是从函数的角度分析和理解要证明的不等式的结构特点去构造函数理解要证明的不等式的结构特点去构造函数式，或者从不等式证明的放缩方向上去构造式，或者从不等式证明的放缩方向上去构造函数式，使所构造出的函数是不等式证明所函

13、数式，使所构造出的函数是不等式证明所需要的最佳函数需要的最佳函数. 受金融危机的影响，三峡某旅游公司经受金融危机的影响，三峡某旅游公司经济效益出现了一定程度的滑坡济效益出现了一定程度的滑坡.现需要对某一现需要对某一景点进行改造升级，提高旅游增加值景点进行改造升级，提高旅游增加值.经过市经过市场调查场调查,旅游增加值旅游增加值y万元与投入万元与投入x万元之间满万元之间满足足:y= x-ax2-ln , t,+)，其中，其中t为大为大于于 的常数的常数.当当x=10时时,y=9.2. (1)求求y=f(x)的解析式和投入的解析式和投入x的取值范围；的取值范围； (2)求旅游增加值求旅游增加值y取得

14、最大值时对应的取得最大值时对应的x的值的值.例例3515010 x212xx12 第第(1)问把问把x=10,y=9.2代入函数式代入函数式,即即可求出可求出a的值的值,得到得到y=f(x);第第(2)问求问求f(x)在区在区间上的最大值间上的最大值,需要先讨论需要先讨论y=f(x)的单调性的单调性,确确定取得最大值的区间和对应的定取得最大值的区间和对应的x的值的值. （1）因为当因为当x=10时，时，y=9.2，即即 10-a102-ln1=9.2，解得，解得a= ,所以所以f(x)= x- -ln .因为因为 t且且t ，所以，所以60，且，且f(x)在在(6,50上上连续，连续，因此，因

15、此，f(x)在在(6,50上是增函数；上是增函数；当当x(50,+)时，时，f(x)0且且f(x)在在50,+)上上连续连续.515050 x1x2515050 xxx(1)(50)50 xxx因此，因此，f(x)在在50,+)上是减函数上是减函数.所以所以x=50为极大值点为极大值点.当当 50，即，即t( , 时，投入时，投入50万元万元改造时取得最大增加值；改造时取得最大增加值；当当6 50,即即t( ,+)时时,投入投入 万元万元改造时取得最大增加值改造时取得最大增加值.1221tt 1225441221tt 25441221tt 本题的难点是求旅游增加值本题的难点是求旅游增加值y取得

16、取得最大值时对应的最大值时对应的x的值由第的值由第(1)问可知问可知x的的取值范围是取值范围是(6， ，因此需要从研究，因此需要从研究f(x)在这个区间上的单调性入手，找到变量在这个区间上的单调性入手，找到变量t所在区间上所在区间上y取得最大值时取得最大值时x的值的值.利用导数利用导数知识作为解题工具研究函数的最值等，体知识作为解题工具研究函数的最值等，体现了导数知识在求解实际问题中的应用价现了导数知识在求解实际问题中的应用价值，需要考生多揣摩值，需要考生多揣摩.1221tt 1.应用导数证明不等式，关键在于应用导数证明不等式，关键在于构造适当的函数构造适当的函数.2.利用导数解决优化问题，关

17、键在利用导数解决优化问题，关键在于建立目标函数，并且还要根据实际于建立目标函数，并且还要根据实际问题，写出函数的定义域问题，写出函数的定义域.3.在求实际问题的最值时，如果只在求实际问题的最值时，如果只有一个极值点，则此点就是最值点有一个极值点，则此点就是最值点.学例1 (2009湖南卷湖南卷)某地建一座桥，两端的桥某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距墩已建好，这两墩相距m米，余下工程只需建米，余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩两端桥墩之间的桥面和桥墩.经测算，一个桥墩经测算，一个桥墩的工程费用为的工程费用为256万元；距离为万元；距离为x米的相邻两墩米的相邻两墩之间的桥面工程费用为之间的桥面工程费用为(2+ )x万元万元.假设桥墩假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素他因素.记余下工程的费用为记余下工程的费用为y万元万元. (1)试写出试写出y关于关于x的函数关系式；的函数关系式； (2)当当m=640米时，需新建多少个桥墩才能使米时，需新建多少个桥墩才能使y最小最小?x (1)设需新建设需新建n个桥墩，则个桥墩，则(n+1)x=m,即即n= -1,所以所以y=f(x)=256n+(n+1)(2+ )x =256( -1)+ (2+ )x =