高中数学圆锥曲线选填精练(附答案解析)

1、-作者xxxx-日期xxxx高中数学圆锥曲线选填精练(附答案解析)【精品文档】圆锥曲线选填练习一选择题（共8小题）1已知椭圆+=1（ab0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线与椭圆交于A、B两点，若F1AB是以A为直角顶点的等腰直角三角形，则离心率为 （） AB2C2D2已知椭圆x2+y2=a2（a0）与A（2，1），B（4，3）为端点的线段没有公共点，则a的取值范围是（） AB或 C或D3如图所示，A，B，C是双曲线=1（a0，b0）上的三个点，AB经过原点O，AC经过右焦点F，若BFAC且|BF|=|CF|，则该双曲线的离心率是（） ABCD34已知双曲线的标准方程为，F为其右焦点

2、，A1，A2是实轴的两端点，设P为双曲线上不同于A1，A2的任意一点，直线A1P，A2P与直线x=a分别交于两点M，N，若，则a的值为（） ABCD5若双曲线=1（a0，b0）的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的，则该双曲线的离心率为（） ABCD6已知双曲线上的一点到其左、右焦点的距离之差为4，若已知抛物线y=ax2上的两点A（x1，y1），B（x2，y2）关于直线y=x+m对称，且，则m的值为（） ABCD7设F是双曲线的右焦点，双曲线两条渐近线分别为l1，l2，过F作直线l1的垂线，分别交l1，l2于A、B两点，且向量与同向若|OA|，|AB|，|OB|成等差数列，则双曲线离心率e的大

3、小为（） ABCD28已知F1、F2是双曲线（a0，b0）的左、右焦点，若在双曲线上的点P满足F1PF2=60°，且|OP|=a（O为坐标原点），则该双曲线的离心率是（） A2BCD二填空题（共7小题）9已知Q为椭圆C：上一动点，且Q在y轴的右侧，点M（2，0），线段QM的垂直平分线交y轴于点N，则当四边形OQMN的面积取最小值时，点Q的横坐标为 10已知点F（1，0）是抛物线C：y2=mx的焦点，经过点A（1，0）的直线l与抛物线C交于两点M，N，若MFN是锐角，且直线l与双曲线4x2+ny2=1只有一个公共点，则双曲线离心率的取值范围是 11过双曲线的左焦点F（c，0）作圆x2+

4、y2=a2的切线，切点为E，延长FE交抛物线y2=4cx于点P，若E为线段FP的中点，则双曲线的离心率为 12设直线l过点P（0，3），和椭圆交于A、B两点（A在B上方），试求的取值范围 13直线l过椭圆的左焦点F，且与椭圆相交于P、Q两点，M为PQ的中点，O为原点若FMO是以OF为底边的等腰三角形，则直线l的方程为 14椭圆：=1（ab0）的左右焦点分别为F1，F2，焦距为2c，若直线y=与椭圆的一个交点M满足MF1F2=2MF2F1，则该椭圆的离心率等于 15椭圆+=1（a为定值，且a）的左焦点为F，直线x=m与椭圆交于点A，B，FAB的周长的最大值是12，则该椭圆的离心率是 参考答案与试

5、题解析一选择题（共8小题）1已知椭圆+=1（ab0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线与椭圆交于A、B两点，若F1AB是以A为直角顶点的等腰直角三角形，则离心率为 （） AB2C2D【分析】设|F1F2|=2c，|AF1|=m，若ABF1构成以A为直角顶点的等腰直角三角形，则|AB|=|AF1|=m，|BF1|=m，再由椭圆的定义和周长的求法，可得m，再由勾股定理，可得a，c的方程，求得，开方得答案【解答】解：如图，设|F1F2|=2c，|AF1|=m，若ABF1构成以A为直角顶点的等腰直角三角形，则|AB|=|AF1|=m，|BF1|=m，由椭圆的定义可得ABF1的周长为4a，即有4

6、a=2m+m，即m=2（2）a，则|AF2|=2am=（22）a，在直角三角形AF1F2中，|F1F2|2=|AF1|2+|AF2|2，即4c2=4（2）2a2+4（1）2a2，c2=（96）a2，则e2=96=，e=故选：D【点评】本题考查椭圆的定义、方程和性质，主要考查离心率的求法，同时考查勾股定理的运用，灵活运用椭圆的定义是解题的关键，是中档题2已知椭圆x2+y2=a2（a0）与A（2，1），B（4，3）为端点的线段没有公共点，则a的取值范围是（） AB或 C或D【分析】因为椭圆与线段无公共点，所以线段AB在椭圆的内部或在椭圆的外部，即由“A，B两点同在椭圆内或椭圆外”求解【解答】解：根

7、据题意有：A，B两点同在椭圆内或椭圆外或或故选：B【点评】本题主要通过直线与椭圆的位置关系，来考查点与椭圆的位置关系当点（x0，y0）在椭圆内，则有，点（x0，y0）在椭圆外，则有3如图所示，A，B，C是双曲线=1（a0，b0）上的三个点，AB经过原点O，AC经过右焦点F，若BFAC且|BF|=|CF|，则该双曲线的离心率是（） ABCD3【分析】运用直角三角形斜边上中线等于斜边的一半，求得A的坐标，由对称得B的坐标，由于BFAC且|BF|=|CF|，求得C的坐标，代入双曲线方程，结合a，b，c的关系和离心率公式，化简整理成离心率e的方程，代入选项即可得到答案【解答】解：由题意可得在直角三角形

8、ABF中，OF为斜边AB上的中线，即有|AB|=2|OA|=2|OF|=2c，设A（m，n），则m2+n2=c2，又=1，解得m=，n=，即有A（，），B（，），又F（c，0），由于BFAC且|BF|=|CF|，可设C（x，y），即有=1，又（c+）2+（）2=（xc）2+y2，可得x=，y=，将C（，）代入双曲线方程，可得=1，化简可得（b2a2）=a3，由b2=c2a2，e=，可得（2e21）（e22）2=1，对照选项，代入检验可得e=成立另解：设双曲线的另一个焦点为E，令|BF|=|CF|=|AE|=m，|AF|=n，由双曲线的定义有，|CE|CF|=|AE|AF|=2a，在直角三角形E

9、AC中，m2+（m+n）2=（m+2a）2，代入2a=mn，化简可得m=3n，又mn=2a得n=a，m=3a，在直角三角形EAF中，m2+n2=（2c）2，即为9a2+a2=4c2，可得e=故选：A【点评】本题考查双曲线的方程和性质，主要考查双曲线的a，b，c的关系和离心率的求法，注意运用点在双曲线上满足方程，同时注意选择题的解法：代入检验，属于难题4已知双曲线的标准方程为，F为其右焦点，A1，A2是实轴的两端点，设P为双曲线上不同于A1，A2的任意一点，直线A1P，A2P与直线x=a分别交于两点M，N，若，则a的值为（） ABCD【分析】双曲线，右焦点F（5.0），A1（3，0），A2（3，

10、0），设P（x，y），M（a，m），N（a，n），由P，A1，M三点共线，知，故m=，由P，A2，N三点共线，知，故n=，由，和，能求出a的值【解答】解：双曲线，右焦点F（5，0），A1（3，0），A2（3，0），设P（x，y），M（a，m），N（a，n），P，A1，M三点共线，m=，P，A2，N三点共线，n=，=（a5）2+=（a5）2+，（a5）2+=0，25a290a+81=0，a=故选：B【点评】本题考查双曲线的性质和应用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想对数学思维的要求比较高，有一定的探索性解题时要认真审题，注意向量知识的合理运用5若双曲线=1（a0，b0）的一个焦

11、点到一条渐近线的距离等于焦距的，则该双曲线的离心率为（） ABCD【分析】因为双曲线即关于两条坐标轴对称，又关于原点对称，所以任意一个焦点到两条渐近线的距离都相等，所以不妨利用点到直线的距离公式求（c，0）到y=x的距离，再令该距离等于焦距的，就可得到含b，c的齐次式，再把b用a，c表示，利用e=即可求出离心率【解答】解：双曲线的焦点坐标为（c，0）（c，0），渐近线方程为y=±x根据双曲线的对称性，任意一个焦点到两条渐近线的距离都相等，求（c，0）到y=x的距离，d=b，又焦点到一条渐近线的距离等于焦距的，b=×2c，两边平方，得4b2=c2，即4（c2a2）=c2，3c

12、2=4a2，即e2=，e=故选：B【点评】本题主要考查点到直线的距离公式的应用，以及双曲线离心率的求法，求离心率关键是找到a，c的齐次式6已知双曲线上的一点到其左、右焦点的距离之差为4，若已知抛物线y=ax2上的两点A（x1，y1），B（x2，y2）关于直线y=x+m对称，且，则m的值为（） ABCD【分析】y1=2x12，y2=2x22，A点坐标是（x1，2x12），B点坐标是（x2，2x22） A，B的中点坐标是（，） 因为A，B关于直线y=x+m对称，所以A，B的中点在直线上，且AB与直线垂直 =+m，由此能求得m【解答】解：y1=2x12，y2=2x22，A点坐标是（x1，2x12），

13、B点坐标是（x2，2x22），A，B的中点坐标是（，），因为A，B关于直线y=x+m对称，所以A，B的中点在直线上，且AB与直线垂直 =+m，x12+x22+m，x2+x1=，因为，所以x12+x22=（x1+x2）22x1x2=，代入得 ，求得m=故选：B【点评】本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与椭圆的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化7设F是双曲线的右焦点，双曲线两条渐近线分别为l1，l2，过F作直线l1的垂线，分别交l1，l2于A、B两点，且向量与同向若|OA|，|AB|，|OB|成等差数列，则双曲线离心率e的大小为（） ABCD2【分析】由

14、勾股定理得出直角三角形的2个直角边的长度比，联想到渐近线的夹角，求出渐近线的斜率，进而求出离心率【解答】解：不妨设OA的倾斜角为锐角向量与同向，渐近线l1的倾斜角为（0，），渐近线l1斜率为：k=1，=e211，1e22|AB|2=（|OB|OA|）（|OB|+|OA|）=（|OB|OA|）2|AB|，|AB|=2（|OB|OA|），|OB|OA|=|AB|，|OA|，|AB|，|OB|成等差数列|OA|+|OB|=2|AB|，|OA|=|AB|在直角OAB中，tanAOB=，由对称性可知：OA的斜率为k=tan（AOB），=，2k2+3k2=0，k=（k=2舍去）；=，=e21=，e2=，e

15、=故选：A【点评】本题考查了双曲线的简单性质以及等差数列的性质，确定|OA|=|AB|，联想到对应的是渐近线的夹角的正切值，是解题的关键8已知F1、F2是双曲线（a0，b0）的左、右焦点，若在双曲线上的点P满足F1PF2=60°，且|OP|=a（O为坐标原点），则该双曲线的离心率是（） A2BCD【分析】假设|F1P|=x，分别根据中线定理和余弦定理建立等式求得c2+5a2=14a22c2，可得a和c的关系，即可求双曲线的离心率【解答】解：不妨设P在左支上，|F1P|=x，则|F2P|=2a+xOP为三角形F1F2P的中线，根据三角形中线定理可知x2+（2a+x）2=2（c2+7a2

16、）整理得x（x+2a）=c2+5a2由余弦定理可知x2+（2a+x）2x（2a+x）=4c2整理得x（x+2a）=14a22c2进而可知c2+5a2=14a22c23a2=c2故选：C【点评】本题考查了双曲线的定义、标准方程，考查余弦定理的运用，考查学生的计算能力，属于中档题二填空题（共7小题）9已知Q为椭圆C：上一动点，且Q在y轴的右侧，点M（2，0），线段QM的垂直平分线交y轴于点N，则当四边形OQMN的面积取最小值时，点Q的横坐标为【分析】设Q（x0，y0），（y00，x00），求出直线ND的方程，再求出N的坐标，根据四边形OQMN=SOQM+SOMN=2|y0|+，利用基本不等式即可求

17、出【解答】解：设直线MQ的中点为D，由题意知NDMQ，直线ND的斜率存在，设Q（x0，y0），（y00，x00），点D的坐标为（，），且直线MQ的斜率kMQ=，kND=，直线ND的方程为y=（x），令x=0，可得y=，N（0，），由+y02=1可得x02=33y02，N（0，），S四边形OQMN=SOQM+SOMN=×2×|y0|+×2×|=|y0|+|=2|y0|+，即y0=±，x0=等号成立，故Q的横坐标为，故答案为：【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系，考查基本不等式的性质的应用，考查转化思想，属于中档题10已知点F（1，0）是抛物线C：

18、y2=mx的焦点，经过点A（1，0）的直线l与抛物线C交于两点M，N，若MFN是锐角，且直线l与双曲线4x2+ny2=1只有一个公共点，则双曲线离心率的取值范围是（，）【分析】设经过点A（1，0）的直线l的方程为y=k（x+1），设M（x1，y1），N（x2，y2），由，根据根与系数的关系以及0，即可求出k2的范围，再根据直线l与双曲线4x2+ny2=1只有一个公共点则直线l与双曲线的渐近线平行，求出b2=，根据离心率公式结合k2的范围即可求出双曲线离心率的取值范围【解答】解：点F（1，0）是抛物线C：y2=mx的焦点，则=1，即m=4，抛物线C：y2=4x，设经过点A（1，0）的直线l的方程

19、为y=k（x+1），设M（x1，y1），N（x2，y2），由，消y可得k2x+（2k24）x+k2=0，解得1k1且k0x1+x2=2+，x1x2=1，y1y2=4，F（1，0），=（1x1，y1），=（1x2，y2），=（1x1）（1x2）+y1y2=1+x1x2（x1+x2）+4=8，MFN是锐角，=80，解得k2，k21，双曲线4x2+ny2=1的渐近线方程为y=±2x，直线l与双曲线4x2+ny2=1只有一个公共点，|k|=2，=，双曲线4x2+ny2=1，即+=1，a2=，b2=e2=1+=1+k2，e22，e，故答案为：（，）【点评】本题考查了直线和抛物线的位置关系以及直

20、线和双曲线的位置关系，考查了向量的运算和离心率的求法，考查了运算能力和转化能力，属于难题11过双曲线的左焦点F（c，0）作圆x2+y2=a2的切线，切点为E，延长FE交抛物线y2=4cx于点P，若E为线段FP的中点，则双曲线的离心率为【分析】先设双曲线的右焦点为F'，则F'的坐标为（c，0）因为抛物线为y2=4cx，所以F'为抛物线的焦点 O为FF'的中点，E为FP的中点所以OE为PFF'的中位线，得到PF=2b，再设P（x，y） 过点F作x轴的垂线，由勾股定理得出关于a，c的关系式，最后即可求得离心率【解答】解：设双曲线的右焦点为F'，则F&#

21、39;的坐标为（c，0）因为抛物线为y2=4cx，所以F'为抛物线的焦点 O为FF'的中点，E为FP的中点所以OE为PFF'的中位线，那么OEPF'因为OE=a 那么PF'=2a 又PF'PF，FF'=2c 所以PF=2b 设P（x，y） x+c=2a x=2ac 过点F作x轴的垂线，点P到该垂线的距离为2a 由勾股定理 y2+4a2=4b24c（2ac）+4a2=4（c2a2）得e=故答案为：【点评】本小题主要考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想属于中档题12设

22、直线l过点P（0，3），和椭圆交于A、B两点（A在B上方），试求的取值范围【分析】当直线l的斜率不存在时，A点坐标为（0，2），B点坐标为（0，2），这时=当直线l斜率为k时，直线l方程为y=kx+3，设A点坐标为（x1，y1），B点坐标为（x2，y2），则向量AP=（x1，3y1），向量PB=（x2，y23），所以=，因为直线y=kx+3与椭圆有两个交点，且它们的横坐标不同，把y=kx+3代入后的一元二次方程（9k2+4）x2+54k+45=0的判别式（54k）24（9k2+4）×450，所以k3或k由此入手能够求出的范围【解答】解：当直线l的斜率不存在时，A点坐标为（0，2），B

23、点坐标为（0，2），这时=当直线l斜率为k时，直线l方程为y=kx+3，设A点坐标为（x1，y1），B点坐标为（x2，y2），则向量AP=（x1，3y1），向量PB=（x2，y23），所以=，因为直线y=kx+3与椭圆有两个交点，且它们的横坐标不同，把y=kx+3代入后的一元二次方程（9k2+4）x2+54k+45=0的判别式（54k）24（9k2+4）×450，所以k或k，设=，则x1=x2，因为x1+x2=，x1x2=，所以（1+）x2，（1）x22=，（2）显然不等于1，解得01综上所述的范围是）故答案为：）【点评】本题考查直线与圆锥曲线的综合问题，解题时要认真审题，仔细解答，

24、注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化13直线l过椭圆的左焦点F，且与椭圆相交于P、Q两点，M为PQ的中点，O为原点若FMO是以OF为底边的等腰三角形，则直线l的方程为【分析】由椭圆的方程求出椭圆的左焦点，由题意可知直线l的斜率存在且不等于0，写出直线l的方程，和椭圆方程联立后利用根与系数关系得到PQ中点M的横坐标，再由FMO是以OF为底边的等腰三角形得到M的横坐标，两数相等求出k的值，则直线l的方程可求【解答】解：由，得a2=2，b2=1，所以c2=a2b2=21=1则c=1，则左焦点F（1，0）由题意可知，直线l的斜率存在且不等于0，则直线l的方程为y=kx+k设l与椭圆相交于P（x1，y1）、Q（x2，y2），联立，得：（2k2+1）x2+4k2x+2k22=0所以则PQ的中点M的