概率论与数理统计浙大四版 第一章 第一章4讲

1、第四讲第四讲 条件概率 (conditional probabilityconditional probability) 与乘法公式(multiplication formulamultiplication formula ) 在解决许多概率问题时，往往需要在在解决许多概率问题时，往往需要在有某些附加信息有某些附加信息(条件条件)下求事件的概率下求事件的概率.一、条件概率一、条件概率1. 条件概率的概念条件概率的概念如在事件如在事件b发生的条件下求事件发生的条件下求事件a发生的发生的概率，将此概率记作概率，将此概率记作p(a|b). 一般一般 p(a|b) p(a) p(a )=1/6，例如，

2、掷一颗均匀骰子，例如，掷一颗均匀骰子，a=掷出掷出2点点， b=掷出偶数点掷出偶数点，p(a|b)=？掷骰子掷骰子 已知事件已知事件b发生，此时试验所发生，此时试验所有可能结果构成的集合就是有可能结果构成的集合就是b，于是于是p(a|b)= 1/3.b中共有中共有3个元素，它们的出现是等个元素，它们的出现是等可能的，其中只有可能的，其中只有1个在集个在集a中，中，容易看到容易看到)()(636131bpabpp(a|b)p(a )=3/10， 又如，又如，10件产品中有件产品中有7件正品，件正品，3件次品，件次品，7件正品中有件正品中有3件一等品，件一等品，4件二等品件二等品. 现从这现从这1

3、0件中任取一件，记件中任取一件，记 b=取到正品取到正品a=取到一等品取到一等品，p(a|b)()(10710373bpabpp(a )=3/10， b=取到正品取到正品p(a|b)=3/7 本例中，计算本例中，计算p(a)时，依时，依据的前提条件是据的前提条件是10件产品中一件产品中一等品的比例等品的比例. a=取到一等品取到一等品， 计算计算p(a|b)时，这个前提条件未变，只时，这个前提条件未变，只是加上是加上“事件事件b已发生已发生”这个新的条件这个新的条件. 这好象给了我们一个这好象给了我们一个“情报情报”，使我们，使我们得以在某个缩小了的范围内来考虑问题得以在某个缩小了的范围内来考

4、虑问题. 若事件若事件b已发生已发生, 则为使则为使 a也也发生发生 , 试验结果必须是既试验结果必须是既在在 b 中又在中又在a中的样本点中的样本点 , 即即此点必属于此点必属于ab. 由于我们已经由于我们已经知道知道b已发生已发生, 故故b变成了新的变成了新的样本空间样本空间 , 于是于是 有有(1). 设设a、b是两个事件，且是两个事件，且p(b)0,则称则称 (1)()()|(bpabpbapsabab2. 条件概率的定义条件概率的定义为在事件为在事件b发生的条件下发生的条件下,事件事件a的条件概率的条件概率.3. 条件概率的性质条件概率的性质(自行验证自行验证)设设b是一事件，且是一

5、事件，且p(b)0,则则1. 对任一事件对任一事件a，0p(a|b)1; 2. p (s | b) =1 ；3.设设a1,an互不相容，则互不相容，则p(a1+an )| b = p(a1|b)+ +p(an|b)而且，前面对概率所证明的一些重要性质而且，前面对概率所证明的一些重要性质都适用于条件概率都适用于条件概率.请自行写出请自行写出. 2)从加入条件后改变了的情况去算从加入条件后改变了的情况去算 4. 条件概率的计算条件概率的计算1) 用定义计算用定义计算:,)()()|(bpabpbapp(b)0 掷骰子掷骰子例：例：a=掷出掷出2点点， b=掷出偶数点掷出偶数点p(a|b）=31b发

6、生后的发生后的缩减样本空间缩减样本空间所含样本点总数所含样本点总数在缩减样本空间在缩减样本空间中中a所含样本点所含样本点个数个数例例1 掷两颗均匀骰子掷两颗均匀骰子,已知第一颗掷出已知第一颗掷出6点点,问问“掷出点数之和不小于掷出点数之和不小于10”的概率是多少的概率是多少? 解法解法1: )()()|(bpabpbap解法解法2: 2163)|(bap解解: 设设a=掷出点数之和不小于掷出点数之和不小于10 b=第一颗掷出第一颗掷出6点点应用定义应用定义在在b发生后的发生后的缩减样本空间缩减样本空间中计算中计算21366363例例2 设某种动物由出生算起活到设某种动物由出生算起活到20年以上

7、的年以上的概率为概率为0.8，活到，活到25年以上的概率为年以上的概率为0.4. 问现问现年年20岁的这种动物，它能活到岁的这种动物，它能活到25岁以上的概岁以上的概率是多少？率是多少？解：设解：设a=能活能活20年以上年以上，b=能活能活25年以上年以上依题意，依题意， p(a)=0.8, p(b)=0.4所求为所求为p(b|a) .)()()|(apabpabp5 . 08 . 04 . 0)()(apbp由条件概率的定义：由条件概率的定义：即即 若若p(b)0,则则p(ab)=p(b)p(a|b) (2)()()|(bpabpbap而而 p(ab)=p(ba)二、二、 乘法公式乘法公式若

8、已知若已知p(b), p(a|b)时时, 可以反求可以反求p(ab).将将a、b的位置对调，有的位置对调，有故故 p(a)0,则则p(ab)=p(a)p(b|a) (3)若若 p(a)0,则则p(ba)=p(a)p(b|a) (2)和和(3)式都称为乘法公式式都称为乘法公式, 利用利用它们可计算两个事件同时发生的概率它们可计算两个事件同时发生的概率注意注意p(ab)与与p(a | b)的区别！的区别！请看下面的例子请看下面的例子例例3 甲、乙两厂共同生产甲、乙两厂共同生产1000个零件，其中个零件，其中300件是乙厂生产的件是乙厂生产的. 而在这而在这300个零件中，有个零件中，有189个个是

9、标准件，现从这是标准件，现从这1000个零件中任取一个，问个零件中任取一个，问这这个零件是乙厂生产的标准件个零件是乙厂生产的标准件的概率是多少？的概率是多少？所求为所求为p(ab).甲、乙共生产甲、乙共生产1000 个个189个个是是标准件标准件300个个乙厂生产乙厂生产300个个乙厂生产乙厂生产设设b=零件是乙厂生产零件是乙厂生产a=是标准件是标准件所求为所求为p(ab) .设设b=零件是乙厂生产零件是乙厂生产a=是标准件是标准件若改为若改为“发现它是乙厂生产的发现它是乙厂生产的,问它是标准件的概率是多少问它是标准件的概率是多少?”求的是求的是 p(a|b) .b发生发生,在在p(ab)中作

10、为结果中作为结果;在在p(a|b)中作为条件中作为条件.甲、乙共生产甲、乙共生产1000 个个189个个是是标准件标准件300个个乙厂生产乙厂生产条件概率条件概率p(a|b)( posteriorprobability)与与p(a)(priorprobability)的区别的区别 每一个随机试验都是在一定条件下进行每一个随机试验都是在一定条件下进行的，设的，设a是随机试验的一个事件，则是随机试验的一个事件，则p(a)是在是在该试验条件下事件该试验条件下事件a发生的可能性大小发生的可能性大小.p(a)与与p(a |b)的区别在于两者发生的条件不同的区别在于两者发生的条件不同,它们是两个不同的概念

11、它们是两个不同的概念,在数值上一般也不同在数值上一般也不同. 而条件概率而条件概率p(a|b)是在原条件下又添加是在原条件下又添加“b发生发生”这个条件时这个条件时a发生的可能性大小，发生的可能性大小，即即p(a|b)仍是概率仍是概率.条件概率条件概率p(a|b)与与p(a)数值关系数值关系 条件概率条件概率p(a|b)是在原条件下又添加是在原条件下又添加“b发生发生”这个条件时这个条件时a发生的可能性大小发生的可能性大小. 那么那么,是否一定有是否一定有:或或 p(a|b) p(a)?p(a|b) p(a)?请思考！请思考！当当p(a1a2an-1)0时，有时，有p (a1a2an）=p(a

12、1)p(a2|a1) p(an| a1a2an-1)推广到多个事件的乘法公式推广到多个事件的乘法公式:例例4 设某光学仪器厂制造的透镜设某光学仪器厂制造的透镜, 第一次落下时第一次落下时打破的概率为打破的概率为1/2,若第一次落下未打破若第一次落下未打破, 第二次落第二次落下打破的概率为下打破的概率为7/10 , 若前两次落下未打破若前两次落下未打破, 第三第三次落下打破的概率为次落下打破的概率为9/10.试求透镜落下三次而未试求透镜落下三次而未打破的概率打破的概率.解解以以b 表示事件表示事件“透镜落下三次而未打破透镜落下三次而未打破”.,321aaab 因为因为)()(321aaapbp

13、所以所以)()()(112213apaapaaap )211)(1071)(1091( .2003 ,)3 , 2 , 1(次次落落下下打打破破透透镜镜第第表表示示事事件件以以iiai 乘法公式应用举例乘法公式应用举例 一个罐子中包含一个罐子中包含b个白球和个白球和r个红球个红球. 随机地抽取一个球，观看颜色后放回罐中，随机地抽取一个球，观看颜色后放回罐中，并且再加进并且再加进c个与所抽出的球具有相同颜个与所抽出的球具有相同颜色的球色的球. 这种手续进行四次，试求第一、这种手续进行四次，试求第一、二次取到白球且第三、四次取到红球的概二次取到白球且第三、四次取到红球的概率率. （1 波里亚罐子模

14、型）波里亚罐子模型）b个白球个白球, r个红球个红球于是于是w1w2r3r4表示事件表示事件“连续取四个球，第连续取四个球，第一、第二个是白球，第三、四个是红球一、第二个是白球，第三、四个是红球. ” b个白球个白球, r个红球个红球 随机取一个球，观看颜色后放随机取一个球，观看颜色后放回罐中，并且再加进回罐中，并且再加进c个与所抽出个与所抽出的球具有相同颜色的球的球具有相同颜色的球. 解解: 设设wi=第第i次取出是白球次取出是白球, i=1,2,3,4 rj=第第j次取出是红球次取出是红球， j=1,2,3,4用乘法公式容易求出用乘法公式容易求出 当当 c0 时，由于每次取出球后会增加下时

15、，由于每次取出球后会增加下一次也取到同色球的概率一次也取到同色球的概率. 这是一个这是一个传染病传染病模型模型. 每次发现一个传染病患者，都会增加每次发现一个传染病患者，都会增加再传染的概率再传染的概率.crbcrcrbrcrbcbrbb32=p(w1)p(w2|w1)p(r3|w1w2)p(r4|w1w2r3)p(w1w2r3r4) (2抽签抽签) 一场精彩的足球赛将要举行，一场精彩的足球赛将要举行，5个球迷好不容易才搞到一张入场券个球迷好不容易才搞到一张入场券.大家都想去大家都想去,只好用抽签的方法来解决只好用抽签的方法来解决.入场入场券券5张同样的卡片，只有一张上写有张同样的卡片，只有一

16、张上写有“入场券入场券”，其余的什么，其余的什么也没写也没写. 将它们放在一起，洗匀，让将它们放在一起，洗匀，让5个人依次抽取个人依次抽取.“先抽的人当然要比后抽的人抽到的机会大先抽的人当然要比后抽的人抽到的机会大. ”后抽比先抽的确实吃亏吗？后抽比先抽的确实吃亏吗？ 到底谁说的对呢？让我们用到底谁说的对呢？让我们用概率论的知识来计算一下概率论的知识来计算一下,每个每个人抽到人抽到“入场券入场券”的概率到底的概率到底有多大有多大?“大家不必争先恐后，你们一个一个大家不必争先恐后，你们一个一个按次序来，谁抽到按次序来，谁抽到入场券入场券的机会都的机会都一样大一样大.”“先抽的人当然要比后抽的人抽

17、到的机会大。先抽的人当然要比后抽的人抽到的机会大。”我们用我们用ai表示表示“第第i个人抽到入场券个人抽到入场券” i1,2,3,4,5.显然，显然，p(a1)=1/5，p( )4/51a第第1个人抽到入场券的概率是个人抽到入场券的概率是1/5.也就是说，也就是说，ia则则 表示表示“第第i个人未抽到入场券个人未抽到入场券”因为若第因为若第2个人抽到个人抽到了入场券，第了入场券，第1个人个人肯定没抽到肯定没抽到.也就是要想第也就是要想第2个人抽到入场券，必须第个人抽到入场券，必须第1个人未抽到，个人未抽到，)|()()(1212aapapap212aaa 由于由于由乘法公式由乘法公式 计算得：

18、计算得： p(a2)= (4/5)(1/4)= 1/5)|()|()()()(2131213213aaapaapapaaapap 这就是有关抽签顺序问题的正确解答这就是有关抽签顺序问题的正确解答. 同理，第同理，第3个人要抽到个人要抽到“入场券入场券”，必须，必须第第1、第、第2个人都没有抽到个人都没有抽到. 因此因此(4/5)(3/4)(1/3)=1/5 继续做下去就会发现继续做下去就会发现, 每个人抽到每个人抽到“入入场券场券” 的概率都是的概率都是1/5.抽签不必争先恐后抽签不必争先恐后.也就是说，也就是说， 最后我们用本讲内容来解答囚犯和看最后我们用本讲内容来解答囚犯和看守间关于处决谁是否要保密的问题守间关于处决谁是否要保密的问题. 监狱看守通知三个囚犯监狱看守通知三个囚犯, 在他们中要随机在他们中要随机地选出一个处决地选出一个处决 , 而把另外两个释放而把另外两个释放. 囚犯囚犯甲请求看守秘密地告诉他甲请求看守秘密地告诉他,另外两个囚犯中谁另外