极限的计算与证明方法

1、本科生毕业论文（设计）册学院汇华学院专业 数学与应用数学班级2008 级X班学生 XXX指导教师 XXX论文编号 河北师范大学本科毕业论文（设计）任务书编 号：论文（设计）题目： 极限的计算与证明方法学 院：汇华学院专业:数学与应用数学 班级:2008 级3班学生姓名： XXX 学号： 指导教师： XXX 职称： 1论文（设计）研究目标及主要任务目标：总结一些常用的极限的计算和证明方法。主要任务：通过归纳总结对极限思想及其计算、证明方法加以巩固，为后继的数学 学习奠定基础。同时也培养自身的探究精神，提高自身的科学素养。2、论文（设计）的主要内容主要内容：极限的常见的计算和证明方法，即利用函数的

2、定义求极限、利用两个准 则求极限、利用柯西收敛准则求极限、利用极限的四则运算性质求极限、利用两个重要 极限公式求极限、利用单侧极限求极限、利用无穷小量的性质求极限、利用等价无穷小 量代换求极限、利用函数的连续性求极限、利用导数的定义求极限、利用中值定理求极 限、利用定积分求和式的极限、利用洛必达法则求极限、利用泰勒展开式求极限、利用 级数收敛的必要条件求极限等。3、论文（设计）的基础条件及研究路线基础条件：图书馆借阅及网上相关资料查阅。研究路线：首先引入极限的分类及定义；然后对极限的计算与证明方法进行搜集归 纳，并一一列举，并给出相应的例题以促进知识的理解、掌握及应用；最后作出总结。4、主要参

3、考文献1华东师范大学数学系编,数学分析（第三版）M，高等教育出版社，2001年。2大学数学名师导学丛书编写组编，数学分析名师导学M，中国水利水电出版社,2004 年。3钱吉林等主编，众邦考试教育研究所策划，数学分析解题精粹（第二版）M，湖北长江出版集团，2009年。5、计划进度阶段起止日期1毕业论文选题、文献调研、填写毕业论文任务书、 论文开题2011.11.012012.12.022进行毕业论文的初稿写作2012.12.03-2012.02.013进行毕业论文的二稿写作2012.02.022012.03.244进一步修改论文，并最终定稿2012.03.252012.05.095论文答辩201

4、2.05.10指导教师： 年月日教研室主任： 年月日河北师范大学本科生毕业论文（设计）开题报告书汇华 学院数学与应用数学专业 2012 届学生 姓名XXX论文（设计）题目极限的计算与证明方法指导 教师XXX专业所属研究职称教研室方向课题论证：（见附页）方案设计：研究对象：极限的计算及证明方法。研究问题：极限常见的求法和证明方法的总结归纳。 米用方法：经验总结法、比较研究法、文献资料法等。内容安排：本文分为四个部分：绪论、极限的分类及定义、极限的计算与证明方法及结 束语。第一部分主要介绍极限在数学分析中的作用，引出主题；第二部分简 要介绍数学分析中极限的分类和定义；第三部分进入正文部分，归纳总结

5、了 十五种极限的常见求法及证明方法，并辅以相应的例题；第四部分是对全文 进行的总结性段落，使文章首尾呼应，内容更为完整。预期目标：掌握求极 限的方法，并且能够在不同的题目中应用想适应的方法，更好地完成极限的 求解及证明工作。同时通过对极限求法的讨论，加强应用极限解题的能力， 为日后相关学习奠定坚实基础。进度计划：2011.11.01- 2012.12.02毕业论文选题、文献调研、填写毕业论文任务书、论文开题；2012.12.03 2012.02.01进行毕业论文的初稿写作；2012.02.02- 2012.03.24进行毕业论文的二稿写作；2012.03.25- 2012.05.09进一步修改

6、论文，并最终定稿；2012.05.10论文答辩。指导教师意见：指导教师签名：年月 日教研室意见：教研室主任签名：年月 日毕业论文课题论证（附）数学分析是近代数学的基础，是现代科学技术中应用最广泛的一门学科，在初等数 学这种静态的数量关系的分析到数学分析这种动态数量关系的研究这一发展过程中，研究对象发生了很大的变化。也正是在这一背景下，极限作为一种研究事物动态数量关系 的方法应用而生。极限作为数学分析的理论基础和基本组成部分，作为区别初等数学的 重要标志，伴随着微积分的建立，最终发展成现在的角色，贯穿于整个数学分析学习的 过程中，如连续、导数、定积分、重积分、曲线积分、曲面积分以及级数的收敛性等

7、定 义都建立在极限的基础上，可见极限在数学分析的学习过程中起到了十分重要的作用。极限的产生和发展可谓是曲折坎坷的， 极限理论的建立不仅消除了微积分长期以来 带有的神秘性，也为微积分奠定了理论基础，加速了微积分的发展，使微积分能够更好 的更深入的解决更多的实际问题，成为生产和科学技术中有力的工具，而且在思想上和 方法上深刻的影响和促进了近代数学的发展。极限是描述数列和函数在无限过程中的变化趋势的重要概念，研究数学分析中函数的性质实际上就是研究各种类型的极限，由此可见极限的重要性。极限理论又是数学分 析中的基本概念，对极限理论和极限概念理解和掌握的好坏将直接影响到相关课程的学 习。极限理论是从初等

8、数学到高等数学的重要转折，极限概念描述的是变量在某一变化 过程中的变化趋势，是从有限到无限、近似到精确、量变到质变过程，与初等数学中的 概念有很大的区别，因此学生掌握起来比较困难。而就是因为其艰难的发展路程，才更显现了它在数学研究过程中的重要性。要深入 数学领域，就必须培养并掌握极限的思想及相关概念，更重要的就是要能够熟练地使用 极限的方法解决数学中的很多难题。而如何求极限，怎样使求极限变得容易，这是绝大 多数学生较为头痛的问题。又因为极限运算作为学习数分过程中的最基本的运算，所以 能够很好地掌握一些常用的求极限的方法时十分必要的。求极限不仅要准确理解极限的概念、性质和极限存在的条件，而且还要

9、能准确地求出各种极限。而对于一些比较复杂 的极限，如果直接按照极限的定义来求就会显得非常困难，不仅计算量大，而且不一定 能求出结果。为了极限的发展，使之得到更广泛的应用，有很多学者专家对求极限的方 法也进行过深入的研究。作为一个数学专业的学生，很有必要对极限的求法和证明方法 进行了解和熟悉。相信这个课题会让我更多的人了解数学这门学科，也对形成数学思想 起到促进作用。本文就是针对极限的计算和证明方法展开的。河北师范大学本科生毕业论文（设计）文献综述作为一种科学的思想方法，极限思想同样是社会实践的产物。极限的起源与发展一直 也是学者们较为关注的话题。早在春秋战国时期，哲学名著庄子记载着惠施的一句名

10、言“一尺之棰，日取其半， 万世不竭”就已经反映了古人对极限问题有了一定的思考。而我国古代数学家刘徽和祖冲 之的“割圆术”已经能够利用极限论的初步思想来解决求圆周率的实际问题了。同时，古 希腊人的“穷竭法”也已经将极限思想蕴涵其中来解决问题。但是，由于希腊人对“无限” 有着一种恐惧心理，于是他们便借助了一种间接的方法一一归谬法来完成有关证明。以上 这些都是极限思想在其萌芽阶段的表现，尽管这一阶段的极限概念不明确，但是却能够为 后人继续探索和发展极限思想提供一个很好的平台。到了 16、17世纪，极限思想进入了发展阶段，荷兰数学家斯泰文改进了“穷竭法”，并且大胆地运用了极限的思想来思考问题，从而将极

11、限方法发展成为了一个实用的概念。 之后，牛顿和莱布尼兹以无穷小的概念为基础建立了微积分，但由于他们在研究过程中遇 到了逻辑困难，因此也不同程度地接受了极限思想。，此时，真正意义上的极限才得以建立。 然而牛顿对于极限的理解是建立在几何直观上的，故而无法给出极限的严格表述，这与数 学上的追求严密的原则相抵触。到了 18世纪，罗宾斯、达朗贝尔以及依里埃等人先后给出 明确态度，指明极限必须是微积分的基础概念，并且都作出了各自的极限的定义。直到19世纪，法国数学家柯西在前人的研究基础上才将极限概念比较完整地阐述出来。为了排除 极限概念中依旧存在的几何直观的痕迹，德国数学家维尔斯特拉斯对极限又作出了静态的

12、 定义，也给微积分奠定了更为严格的理论基础。这个严格的定义也被看作是科学论证的基 础，一直沿用至今。到了近代，在数学的许多分支中，很多重要的学术性概念及理论都是以极限思想为理 论基础来进行延拓和深化的。运用极限思想来解决问题也已经成为了学习数学分析乃至整 个高等数学过程中一件必不可少的工具，数学分析之所以能够很好地解决初等数学无法解 决的问题，也正是源于它应用了极限的思想方法。因此，能够很好的掌握极限的计算及证 明方法也成为学习数学分析的必要条件。近年，许多的专家、学者对极限的热衷程度逐渐提升，他们在深入探究极限的概念及 理论意义的同时也对极限的计算和证明方法有不同程度的的研究，并且取得了一定

13、的突破。比如说利用中值定理求极限、利用无穷小量求极限等方法便是较为突出的研究成果。这对 于后人学习数学分析甚至是深入数学领域都有着重大的意义。河北师范大学本科生毕业论文(设计)翻译文章英文原文：摘自 Vladimir A.Zorich 著的Mathematical Analysis I第 111 页到 114 页。 322函数极限的性质在这里我们给出一些常用的函数极限的性质。它们中的许多性质都类似于我们之前 已经给出的数列极限的性质，而数列极限的性质我们已经给出，此处不再赘述。此外， 由上面命题1的证明能够明显地看出，很多函数极限的性质都是随着与其相应的数列极 限的性质的形成而产生的，例如：极

14、限的唯一性、极限的运算性以及极限的保不等式性 等。读者们可以注意到这样的现实：我们仅仅需要一列极限点的去心邻域的两个性质：B1 Ue a ?，即点集E的去心邻域是非空的；InInB2 U e a U e a U E a U E a U e a U e a ，也就是说，任意去心邻域的交集都包含某一个去心邻域。这一结论给出了我们函数 极限的一般概念，函数极限定理也使得未来数集的定义成为了可能。为了使得此处的讨 论不与上述的3.1节出现重复，我们将给出一些前节没有进行证明的新的方法和概念。a.函数极限的一般性质 首先，我们给出以下定义：定义4.如前所述，假设函数f : ER仅是一个常值函数。取一个函

15、数f :E R，当x a, x E时，如果点a是去心邻域UE a上的一个常值，则a被称作函数f上最终 恒定的一个点，即a为集合E的一个极限点。定义5.函数f : ER是有界的，有上界或者是由下界，如果存在一个数C R，对于所有的x E，都使得f(x) C,f(x) C,或者C f (x)成立。如果上述三种关系之一仅在这些去心邻域里成立的话，当x a, x E时，这个函数就被称为最终有界、最终有上界或者有下界。定理1. a.当x a x E时，函数f : ER是一个常数Alim f (x) A,x E。x ab. 存在 lim f (x ) A1, x Ex a当x a x E时，函数f:ER是

16、一个有界常数。c. 当 lim f (x)A1 且 lim f ( x) A2 (x E )时x ax aA1证明 结论a中一个最终的常函数有一个极限，结论 b中一个函数有的极限存在,说明这个函数有界，这与其对应的定义相符合。我们现在来证明极限的唯一性。假设A A。选取两个互不相交的邻域 v A和v a2，即v几 V a?。由极限的定义我们有lim f(x) A(x E)U e af U e aVA,x alim f(x) A2(x E)U "e af U "e aVA>。x a选取一个a( E的一个极限点)的一个去心邻域 Ue a，使得U E a U 'e

17、a U e a。又Ue a ?，再取x Ue a。然后就有f(x) V A V A,，由于邻域V A和V A互 不相交，故f(x) V A V A,不成立。b.极限的四则运算法则定义6.如果两个数值函数f :E R和g :ER有一个共同的定义域E，它们的和、积和商函数分别由下列的同一组公式来定义：f g x f x g x ,f g xf x g x ,ff xx ，此处 g x 0, x E。gg x定理2.取函数f : ER和函数g: E R ,使得他们有一个共同的定义域。如果limf(x) A且 limg(x) B , x E，那么xaxaa.limfg (x) AB :,xE ；x a

18、b.limfg (x) AB,xE ；x ac.limfA 卄工,对于xE， B 0 且 g x0x agB在3.2.2节的开头已经注明，这个定理是一个之前的名题1中给出的数列极限相应 定理的直接结果。这个定理也可以通过重复证明数列极限的性质来得到。为了缩小集合 E中点a的去心邻域的范围，我们需要在证明过程中给出一定的限定条件，即同先前涉 及到的陈述“从自然数 N中取一个数n”此处为读者自行证明。当x ax E时，函数f :E R被称作是无穷的，如果函数的极限为零命题2.a.当x a x E时,如果:E R和:E R趋于无穷，那么它们的和也趋于无穷。b. 当xa x E时,如果:E R和:E

19、R是无穷函数，那么它们的积也是无穷的。c. 当xa x E时,如果:ER是无穷的，且R是有界的，那么它们的积是无穷的。证明a.limx a对于任意我们将给出证明如下:(x)0且 lim (x)x a0,利用极限的定义，0,limx alimx a(X)0, x(X)limx a(x)0, x(x)那么对于去心邻域UE a我们可以得到这样,b.c.我们就证明了 limx a这个结论是结论c 给出证明如下0。的特殊情形，因为每一个极限存在的函数都有界limx(x)0 且 M R,a对于任意limx alimx ax 0, x E o0,禾U用极限的定义，有(x)0, x E(x)那么对于去心邻域可

20、以得到这样，我们就证明了X maH XE X a X英文原文：3.2.2 Properties of the Limit of a FunctionWe now establish a nu mber of properties of the limit of a function that are con sta ntly being used. Many of them are an alogous to the properties of the limit of a seque nee that we have already established, and for that rea

21、s on are esse ntially already known to us. Moreover, by Propositi on 1 just proved, many properties of the limit of a function follow obviously and immediately from the corresponding properties of the limit of a sequenee: the uniqueness of the limit, the arithmetic properties of the limit, and passa

22、ge to the limit in in equalities.We call the reader ' s attention to the fact that, in order to establish the propertiesof the limit of afunction, we n eed only two properties of deleted n eighborhoods of a limit point of a set:Bi U e a ?,that is, the deleted n eighborhood of the point in E is n

23、on empty;B2 U e a U e a U E a U E a U e a U e a ,That is, the in tersecti on of any pair of deleted n eighborhoods contains a deleted n eighborhood. This observati on leads us to a gen eral con cept of a limit of a fun cti on and the possibility of using the theory of limits in the future not only f

24、or functions defined on sets of numbers. To keep the discussion from becoming a mere repetition of what was said in Sect. 3. 1, we shall employ some useful new devices and con cepts that were not proved in that sect ion.a. Gen eral Properties of the Limit of a Fun cti on We begi n with some difi nit

25、i ons.Definition 4. As before, a function f : E R assuming only one value is called constant. A functionf : E R is called ultimately constant as E x a if it is constant in some deleted neighborhoodU E a , where a is a limit point of E .Definition 5. A function f : E R is bounded, bounded above, or b

26、ounded below respectively if thereis a number C Rsuch that f (x)| C, f (x) C, or C f (x) for all x E .If one of these three relations holds only in some deleted neighborhood U E a , the function is said to be ultimately bounded, ultimately bounded above , or ultimately bounded below as E x a respect

27、ively. Theorem 1. a)( f : E R is ultimately the constant A as E x a )( lim f (x) A).E x ab) (lim f (x)( f : E R is ultimately bounded as E x a).E x ac) ( lim f (x)Ai)( lim f (x)A2)(AA2).Ex aE x aProof. The asserti on a) that an ultimately con sta nt function has a limit, and assert ion b) that a fun

28、 cti on having a limit is ultimately bounded, follow immediately from the corresponding definitions. We now turn to the proof of the uniquen ess of the limit.Suppose A1A2. Choose n eighborhoods V A and V A2 havi ng no points in com mon, that is,V AiV A2?.By definition of a limit, we haveWe now take

29、a deleted neighborhood U E aof a (which is a limit point ofE ) such thatmaf（x）AU e afU e aV AA2U e afU e aV a2Ue a U e aSince U e a ?, we take x U e aWe then have f (x) V A1V A2 , which isimpossible since the neighborhoods V Aand V A2 have no points in com mon. b. Passage to the Limit and Arithmetic

30、 OperationsDefinition 6. If two numerical-valued functions f : ER and g : E R have a com mon doma in ofdefinition E, their sum, product, and quotient are respectively the functions defined on the same set by the following formulas:Theorem 2.Let f : Eand g: E,if g x0for x E .R be two functions with a

31、 com mon doma in of defi niti on.Iff(x)aandg(x)aB , thena) lim fE x aB;b) limE x aA B;c) limEx aA6,if B 0and g(x) 0 for x E .As already no ted at the begi nning of Subsect. 3.2.2,this theorem is an immediate con seque nce of thecorresp onding theorem on limits of seque nces, give n Propositi on 1. T

32、he theorem can also be obta inedby repeat ing the proof of the theorem on the algebraic properties of the limit of a seque nce.The cha nges needed in the proof in order to do this reduce to referring to some deleted neighborhood U E a of a inE , where previously we had referred to statements holding

33、 "from some n N on". We advise the reader to verify this.Here we shall obtain the theorem from its simplest special case when A B 0 .Of course assertion c) will the n be excluded from con siderati on.A function f : E R is said to be infinitesimal as E x a if lim f (x) 0 .E x aPropositi on

34、2. a) If : E R and : E R are infin itesimal fun cti ons as E x a , the ntheir sum: E R is also infinitesimal asE x a .b) If: E R and : E R are infinitesimal functions asE x a , then their product:E R is also infinitesimal asE x a .c) If: E R is infinitesimal asE x a and : E R is ultimately bounded a

35、sE xa, then their sum: E R is also infinitesimal as E x a.Proof. a) We shall verify thatLet0 be given. By definitilimx0lim x0limx 0 on ofE x aE x aE x athe limit, we havelim x0U 'eax U 'e ax|E x a2lim x0IIU EaIIx U e axlE x a2Then for the deleted neighborhood U E a U e a U e a we obtainxUEa|

36、x | x x x | x ,That is, we have verified that limx0.E x ab) This asserti on is a special case of assert ion c), since every fun cti on that has a limit is ultimately bounded.c) We shall verify thatlim x 0 M RUEaxUEa| x| ME x a(ma (x) (x)0)Let 0 be given.By definition of limit we havelimE x ax 0Ue ax

37、 Ue ax MThen for the deleted n eighborhoodUIIe aU1e aUE a,we obta innx U e ax1xx|x|x-M M.Thus we have verified thatlimE x axx0 .本科生毕业论文设计题目极限的计算与证明方法作者姓名XX X指导教师XX X所在学院汇华学院专业（系）数学与应用数学班级（届）2012 届X班完成日期 2012 年_5 月_8 日中文摘要、关键词 Ill1. 绪论 错误!未定义书签。2. 极限的分类及定义 错误!未定义书签。2.1数列极限及其定义 错误!未定义书签。2.2函数极限及其定义 23

38、. 极限的计算与证明方法 23.1利用极限的定义求极限 23.2利用三个准则求极限 33.3利用柯西收敛准则求极限 53.4利用极限的四则运算性质求极限 63.5利用两个重要极限公式求极限 73.6利用单侧极限求极限 83.7利用无穷小量的性质求极限 83.8利用等价无穷小量代换求极限 93.9利用函数的连续性求极限 93.10利用导数的性质求极限 113.11利用中值定理求极限 123.12洛必达法则求极限 14I3.13利用泰勒展开式求极限 173.14利用定积分求和式的极限 183.15利用级数收敛的必要条件求极限 194. 结束语 20参考文献 20英文摘要、关键词 IV3极限的计算与

39、证明方法河北师范大学汇华学院数学与应用数学专业指导教师XXX作者XXX摘要 本文主要归纳了数学分析中求极限的十五种方法：（1利用函数的定义求极限、（2 ）利用三个准则求极限、（3）利用柯西收敛准则求极限、（4）利用极限的四则运算 性质求极限、（5）利用两个重要极限公式求极限、（6）利用单侧极限求极限、（7）利用 无穷小量的性质求极限、（8）利用等价无穷小量代换求极限、（9）利用函数的连续性求 极限、（10）利用导数的定义求极限、（11）利用中值定理求极限、（12）利用定积分求 和式的极限、（13）利用洛必达法则求极限、（14）利用泰勒展开式求极限、（15）利用 级数收敛的必要条件求极限。关键词

40、 极限，极限的分类，极限的计算方法1. 绪论数学分析就是将函数作为研究对象，将极限理论及其方法作为基本方法，并且把微 积分学作为其主要内容的一门学科。 而极限理论及其方法在这门课程中又占有着极其重 要的地位。极限思想是微积分中的最基本的一种思想，数学分析中的大量的深层次理论 及相关应用都是极限的不断延拓和深化，而其中的一系列重要概念，例如导数、函数的 连续性以及定积分等等都需要借助极限来定义。假若有人要问：“数学分析到底是一门什么样的学科？”那么我们可以概括地说：“数学分析便是将极限思想作为基本工具对函数进行研究的的一门学科”。极限的思想是近代数学的一种重要思想，数学分析就是以极限概念为基础、

41、极限理 论(包括级数)为主要工具来研究函数的一门学科。极限一直是数学分析中的一个重点 内容，极限主要可分为数列极限和函数极限两大类，而极限的计算与证明方法又可谓是 多种多样，通过归纳和总结，我们可以知道求极限的最基本的方法还是利用极限的定义， 同时也要注意两个重要极限的运用，也可以利用数列极限的四则运算法则计算。迫敛性 和单调有界准则是很重要的定理，在解题的时候要重点注意运用。泰勒公式、洛必达法 则等则是针对某些特殊的情形而言的。极限理论的建立，不仅将长期以来微积分所带有的神秘性消除了，而且在数学思想 上和解题方法上深刻的影响并且促进了近代数学的快速发展，成为了生产以及科学技术中的有力工具。所

42、谓的极限思想，就是运用极限概念对一系列问题进行分析并作出进一 步的解决的一种数学思想。由此，极限运算也就成为了学习数分过程中的最基本的运算。 极限的定义又是高度抽象的，这就使得我们不能完全利用其基本的定义来解决所有有关 问题，而又因为极限的运算分布于整个高等数学的始终，所以，对于极限的相关计算方 法和证明方法便显得尤为重要。2. 极限的分类及定义2.1数列极限及其定义定义 设an为数列，a为定数。若对任给的正数 ，总存在正整数N ,使得当n N 时有an a ,则称数列an收敛于a，定数a称为数列a.的极限，并记作lim an a ,或 an a(n ),n读作“当n趋于无穷大时，an的极限等

43、于a或趋于a”。注：以上定义常称为数列极限的N定义。2.2函数极限及其定义定义 设f为定义在a,上的函数，A为定数.若对任给的0，存在正数M (a),使得当x M时有f(x) A ,则称函数f当x趋于时以A为极限，记作Jim f (x) A 或 f (x) A (x )。3. 极限的计算与证明方法3.1利用极限的定义求极限利用极限的定义求极限是一种最根本的求极限的方法。【例1】利用极限的定义证明下题：n lim 0,a0;(2)lim n n!n n!n证(1)对于任意0，都要找到N，使得当n N时,n! 0n!(1.1)分析不等式(1.1)的左端，分子为n个数a的乘积，分母为1,2, ,n的

44、乘积，随着n不断的增大，分子上的因子永远是数a，而分母的因子会越来越大，因此不等式左端随着n的增大，会越来越小，而且有aXnXn 1n 1由于a为一个正常数，故存在着正整数 N1，使得aN1则当n N1时，xn XN1- 旦并且N11 nca0 Xn XN1n由此，若想使(1.1)成立，只需35aXN1n(1.2)成立即可。取N2 aXN1，则当n maxN1,N2时，式(1.2)成立，即式(1.1)也成立。可得lim xn 0n要证lim n. n!n,只需对任意MN，使得当n N时,n n! M£ 1n!(1.3)故知nimM0,即对于1，是能够找到N，使得当nN时，式(1.3)

45、成立。【例2】证明limn n0,这里设a是一个正数。证由于因此，对于任意的0，只需取N1，则当N时，便有这就证明了 limn n3.2利用三个准则求极限3.2.1迫敛性(夹逼准则)定义设收敛数列a和数列bn都是以a为极限的，且数列 q满足：存在正数N。，当 nN。时有bn，则数列c,收敛，且lim cnn【例1】求数列nn的极限。解设ann n 1 hn，此处hn则有如下式n 1 hn2hn2由上可得0 hn ./1n ，因此有/ / / / 21K1 hn1门（1.1）数列1，n2i总是收敛于1的'由于对任意给出的0，我们取N 1二'则当n N时便有1 J 1。柿1于是，不

46、等式（1.1）的左极限和右极限都为1,故由迫敛性得到I imn, n 1 。n3.2.2单调有界准则定理在实数系中，有界的单调数列必有极限。【例2】证明数列2.22, , 2 ”2 2,，n个根号是收敛的，并且求出其极限。证设an2 22 ,我们可以发现数列an是递增的。现在应用数学归纳法来证明数列an有上界。显然有a122。设an 2，则有an 1 2 an 2 2 2，因此对一切n都有a. 2，即数列a.有 上界。故由以上定理知，数列 an是有极限的，并且可记其为a。又由于2an 12 an，对上式的左右两边取极限可得a22 a，即有a 1 a 20，解得 a 1 或a 2由保不等式性可知

47、，a1是不可能的，故有lim 2.222。n3.3利用柯西(Cauchy)收敛准则求极限定理(柯西收敛准则)数列an收敛的充要条件是：对任给的0,存在正整数N，使得当n, m N时有an am以上定理从理论上可以完全地解决数列极限其存在性问题。我们称柯西收敛准则的条件其为柯西条件，它同时反映了这样一个事实：收敛数列 各项的值越是到后面，彼此就越是接近，以至于充分后面的任意两项差的绝对值可小于 预先所给定的任意小的正数。另外，柯西收敛准则把N定义中的an与a的关系转换 成了 an与am的关系，这样的好处在于不需要借助数列以外的数 a，仅仅需要根据这个数 列本身的特征便能够鉴别其敛散性。证明lim

48、 Xn存在，并求n1【例】取数列Xn ,并且设Xo 0,Xn 1,n 0,1,22 Xn出其极限值。证因为x00,0 x.1 1亍丁由数学归纳法我们可知0Xn-,(n 0,1,2)2对于任意的p，有Xn pXnXn p 12Xn 1Xn p 1Xn 1(2Xn p 1 )( 2 Xn 1)1_ Xn p 1Xn 14丄2 Xn p 2Xn 24 1 盯 xp X0丄3 Xn p 3Xn 34XPXo所以对于任给的0，存在一个正整数N，使得当N时，对任意的p，有Xn p由以上定理可知数列Xn收敛。再设lim Xnx对等式Xn 1n的两边取极限可得2 Xn-，且解得xX由保不等式性可取 X 1.2

49、lim xnn3.4利用极限的四则运算性质求极限定理（四则运算法则）若an与bn为收敛数列，则anbn ， an bn ， anbn也都是收敛数列，且有lim annbnlim ann特别当bn为常数C时有lim annlim annlim bn 。lim(an c)nlim an c, lim canclim an。nnn若再假设bn 0及nim bn0,则abn也是收敛数列，且有lim色nbnlim annlim bnn例 1】求m.amn limknkbknkbk 1nan ao bn bo其中 m k, am0, A 0k解用n同时乘以到分子分母后，所求的极限式可化为limnamnam

50、 ina1na°nbkbk inbn1 kb°n当a 0时，我们有lim nn0。那么，当m k时，上式除了分子分母的首项分别为 am和bk外，其余的各项极限都是0,因此所求的极限就等于bm；而当mk时，又由于nm k 0(n0)，因此所求的极限等于0。综上可得limnmamnkdnm 1am 1 nbk 1nk& n a。 bn b°ambm,km,0, km。【例2】求下列极限：x21 xm2x2 x 1 iim4解(1)01X212x2 x 101(x 1)(x 1)(x 1)(2x 1)xm1x 12x 1limx 41 2x 3limx 4x 2

51、2(x 4).1 2x 3 (x 4)2(.x 2)1 2x 33.5利用两个重要极限公式求极限3.5.1极限公式lim沁x 0【例1】 求|im。x 0x2解2.x sin1 cosx 12lim 2 limx 0 x x 02 x2123.5.2极限公式lim 1x1【例2】 求lim 1 2x x。x 0解1lim 1 2x 'x 01 1lim 1 2x 云 1 2x 云x 0注：在这一类型的习题中，一般是不能直接应用以上公式的，而是需要通过恒等变 形做出化简后才可再利用公式进行运算。3.6利用单侧极限求极限这种方法常常用于求分段函数在分段点处的极限，首先要考虑分段点的左、右极限,若左、右极限都存在并且相等，则该函数在分界点处的极限就存在，否则极限不存在。【例】已知函数f(x) 1 xsin ,x x1 x2, x0，求0,K其在点0处的左右极限。解在x0的右极限为lim x.1 sin1x 0x在x0的左极限为lim x.1 sin1x 0x因此lim f (x)limf(x) 1x 0x 0故有limx 0f(x)13.7利用无穷小量的性质求极限无穷小量的性质无穷小量与有界量的乘积还是无穷小量即如果lim f (x) 0 ,g(x)在某