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文档简介
1、2021届江苏省镇江市高三第一次模拟考试数学试(满分160分,考试时间120分钟)一、填空题;本大题共14小题,每小题5分,共计70分.1. 已知集合 A=2, 0, 1, 3, B=l, 0, 1, 2,则AnB=.2. 已知X, yR,则“a=l”是''直线ax+y-l = 0与直线x+ay+l = 0平行”的条件.(填“充分不必要”“必要不充分” “充分必要”或“既不充分又不必要”)3. 函数y=3s彳2x+f J图象两相邻对称轴的距离为3-1-4 /4. 设复数Z满足=5几其中,为虚数单位,则Z =Z5.已知双曲线的左焦点与抛物线y2=-12X的焦点重合,则双曲线的右准
2、线方程为6. 已知正四棱锥的底而边长为2,侧棱长6则该正四棱锥的体积为7. 设等比数列6的前n项和为S=,若弘=一2, Ss=9S3,则念的值为LSin()+ COS()8. 已知锐角0满足tan =6cos ,则 =VSin U cos U9. 已知函数f(x)=x2x+4,对任意xl, 3,不等式f(x)20恒成立,则实数k的最大值为10.函数y= cosxxFanx的立义域坯一.,则其值域为.已知圆C与圆x2+y2+10x+ IOy=O相切于原点,且过点A(0,-6),则圆C的标准方程为.12.已知点P(b 0),直线1: y=x+t与函数y=的图象交于A, B两点,当PA-S最小时,直
3、线1的方程为13.已知a, bR, a+b=4,则了±+j的最大值为.x÷2-,x0,14已知k为常数,函数f(x) =x+1若关于X的方程f(x) =kx+2有且只有四个不同解,x>0,.InX ,则实数k的取值构成的集合为.二、解答题:本大题共6小题,共计90分解答时应写出文字说明.证明过程或演算步骤15.(本小题满分14分)在AABC中,角A, B, C所对的边分别为/ b, c,若bcosA+aoosB=-2ccosC(1) 求角C的大小:若b=2且AABC的而积为23.求C的值.16(本小题满分14分)如图,在直三棱柱ABCAIBlCl中,D为BC的中点,A
4、B=AC, BC1±BD求证:(1) A,C平面ADB1;(2) 平面 A1BCil 平面 ADBi.17. (本小题满分14分)如图,准备在墙上钉一个支架,支架由两直杆AC与BD焊接而成,焊接点D把杆AC分成AD, CD两段.其 中两固泄点A,B间距离为1米,AB与杆AC的夹角为60° ,杆AC长为1米.若制作AD段的成本为a元/ 米,制作CD段的成本是2a元/米,制作杆BD的成本是4a元/米设ZADB=S制作整个支架的总成本记为S元.(1) 求S关于U的函数表达式,并指岀的取值范围;(2) 问AD段多长时,S最小?18. (本小题满分16分)如图,在平而直角坐标系XOy
5、中,已知椭圆E: +=l(a>b>0)的离心率为申,左焦点F(-2, 0), a bZ直线1: y=t与椭圆交于A, B两点,M为椭圆E上异于A, B的点.(1) 求椭圆E的方程;(2) 若M(-6, -1),以AB为直径的圆P过点求圆P的标准方程:(3) 设直线MA, MB与y轴分别相交于点C, D,证明:OC-OD为泄值.19. (本小题满分16分)已知b>0,且bb函数f(x)=tfx÷b其中e为自然对数的底数.(1) 如果函数f(x)为偶函数,求实数b的值,并求此时函数f(x)的最小值: 对满足b>0,且bHl的任意实数b,证明:函数y=f(x)的图象
6、经过唯一定点:(3) 如果关于X的方程f(x)=2有且只有一个解,求实数b的取值范用.20. (本小题满分16分)已知数列as的前n项和为S=,对任意正整数n,总存在正数p, q, r,使得an=pn i, Sn=Lr恒成 立:数列仏的前n项和为陰 且对任意正整数n, 2L=nbn恒成立(1) 求常数P,q,:C的值;(2)证明:数列4为等差数列;(3)若 Ifc=2,记已=2n+b, 2n+2b: 2n+bs务+ 2比+ 4张*2n÷br.2n+b,是否存在正整数k,使得对任意正整数n, PWk恒成立?若存在,求正整数k的最小值;若不存在,请说明理由.数学附加(本部分满分40分,考
7、试时间30分钟)21. 【选做题】本题包括A、B、C、D四小题,请选定其中两小题,并作答.若多做,则按作答的前两 小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A. 选修41:几何证明选讲(本小题满分10分)如图,四边形如?是圆的内接四边形,BC=BDt胡的延长线交切的延长线于点E延长以至点尸 求证:血是ZDAF的平分线B. 选修42:矩阵与变换(本小题满分10分)'2 a '已知矩阵M=. ,其中a, b均为实数,若点A(3, 一 1)在矩阵M的变换 作用下得到点5(3, 5),求矩阵M的特征值.C. 选修44:坐标系与参数方程(本小题满分10分)X acos t在平而
8、直角坐标系x0y中,曲线C的参数方程为.(a>b>Q. 为参数),且曲线C上的点於(2,y= bsn 5)对应的参数=y,以。为极点,X轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求曲线Q的普通方程:(2)若曲线Q上的儿万两点的极坐标分别为A(P1, “),4",+*),求*+寺的值D. 选修45:不等式选讲(本小题满分10分)已知函数/(-¥)= I X a + x+a ,若对任意Rt不等式fCr)才一3恒成立,求实数a的取值范弗【必做题】第22题、第23题,每题10分,共计20分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步22. (本小题满分10分)如图,AC丄BC,
9、0为AB的中点,且De丄平而ABC, DCBE已知AC=BC=DC=BE=2. 求直线AD与CE所成角:(2) 求二而角OCEB的余弦值23. (本小题满分10分)某学生参加4门学科的学业水平测试,每门得A等级的概率都是当该学生各学科等级成绩彼此独立规4定:有一门学科获月等级加1分,有两门学科获月等级加2分,有三门学科获月等级加3分,四门学科全 获A等级则加5分.记J表示该生的加分数, :表示该生获A等级的学科门数与未获A等级学科门数的差 的绝对值.(1) 求J的数学期望:(2) 求的分布列.2021届江苏省镇江市高三第一次模拟考试数学试题1. 0, 12.充要 3.6. I 7. 328.
10、3÷22 9. 41:L (x+3)2÷(y+3)2=18 12. y=x÷-15解析:(1)由正弦左理CS2C,且 b<?QSA+aoosB= 2CgSC 得(2 分) si/iBoosA + SlnACOSB 2 SlnC CoSC, 所以 sZ(B+A) = -2srCcosC. (3 分) 因为A, B, C为三角形的内角,所以B+A= 一C, 所以 Si£=2SirQcOa (4 分) 因为C(0,小,所以s%C>O. (5分) 所以 csC=-#, (6 分) 所以C=等.(7分)(2)因为AABC的面积为25,所以abSirC=
11、2y3. (8 分)2 由知C=,所以SiM=紡所以ab = 8. (9分)=28, (13 分)因为 b = 2at 所以 a=2, b=4, (11 分) 所以 cc=a:+b:-2abc<?sC=2c+4£-2×2×4X 所以c = 27(14分)16.解析:(1)设 AiBQABi=E.因为ABC-AIBICI为直三棱柱,所以AAbB为矩形,所以E为Ae的中点(1分) 因为D为BC的中点,所以DE为ABAl的中位线,(2分) 所以 DEA1C,且 DE=IAiC. (3 分) 因为扎CQ平而ADBa DEU平而ADB1, (5分)所以扎C平而ADB1
12、. (7分)(2)因为AB=AC, D为BC的中点,所以AD丄BC. (8分)因为ABCAIBIC为直三棱柱,所以BB平而ABC.因为ADU平而ABC,所以BBi丄AD. (9分)因为 BCU 平而 BCGB“ BBC 平面 BCCb BCBBi=B,所以AD丄平而BCCb(10分)因为BGU平而BCCiBU所以AD丄BG. (11分)因为 BG丄BJL ADU 平而 ADB" Bj)U 平 ADB1, XWnBID=D, 所以BG丄平而ADBi. (13分)因为BC平而AiBC:,所以平面AiBG丄平面ADB1. (14分)17.解析:在AABD中,由正弦定理得佥BDSirrr(1
13、分)所以BD=-. AD=雪瓷 +#, (3分)2sn2 sin2弊卩+扣+4js=4÷4)÷2aEI-C_(4书击COSU 3 A 2sin +2J( 2 兀 由题意得 y> J(2) 令 S' =ya -=0, 设 CoSa 0=Y SIn «4> (6 分)(7分)(1(T GO)(I 0( 2* r- 3)COS14.5, 5s,<00>0S单调递减极小单调递增(11 分)所以当CoSa吕时,S最小,此时Sina =J星,4AD=ycos2sin 18.解析:(1)因为e=2=半且c=2,a Z所以 a=22, b=2. (
14、2 分) 所以椭圆方程为-+=l. (4分) (2)设 A(s, t),则 B(-s, t)且 s3+2t3=8. 因为以AB为直径的圆P过M点.所以MA丄MB,所以MA MB=O, (5分) 因为MA=(S+6, t + l), =(-s+6, t + l)>所以 6-S=÷(t÷l)s=0.(6 分)由®解得t=壬或t = -l(舍),所以Sii=罟.(7分) 因为圆P的圆心为AB的中点(0, t),半径为罟=Is , (8分) 所以圆P的标准方程为+卜一守=罟.(9分) 设M(X0,yo) t则IA的方程为yy。= (-x°),若k不存在,显
15、然不符合条件. S Xo令X=O得yc=-tx0÷sy0S-X0同理比=5 一匹,(11分)-SXo所以 OC OD=IyC y =-1 xo+syoSXo一 txosyosXoLxL s WXo-S=(13 分)t Xos Yot2 (8 2yo) (82f) yo8t£8yox5-S282y: (82t:)2t3-2yo=4为宦值.(16 分)19解析:(I)由f=f(-)We÷b=l÷A解得b= (舍),或b=£ (1分)e经检验f(x)W+*为偶函数,所以b(2分)因为f(x) = ex÷¼2,当且仅当x=0时取等号
16、,(3分)e所以f(x)的最小值为2. (4分)(2) 假设y=f(x)过建点(x。,y。),则y0=ex0÷bxo对任意满足b>0,且bHl恒成立.(5分)令 b=2 得 yo=tfxo÷2x0;令 b=3 得 y0=ex0+3x0, (6 分)所以2x°=3x°,即(Ij =1,解得唯一解xo=0,所以y0=2, (7分)经检验当x=0时,f(0)=2,所以函数y=f(x)的图象经过唯一定点(0, 2). (8分)(3) 令g(x)=f(x)-2=e=+bx-2为R上的连续函数,且g(0)=0,则方程¢3= 0存在一个解.(9 分)(
17、i) 当b>0时,g(x)为增函数,此时g3= 0只有一解.(10分)(ii) 当 0<从1 时,令 V (jv) =ex+yin=ex(l+ (I) VInZ>) =0,解得閔=IOgI 另(Tnb) (11 分)因为 丁>0, 0<f<l, InKO,令 ACY)=(I+力G)为单调增函数,所以当x(-8,关)时,A(a)<0,所以0 30, g(x)为单调减函数; 当. U, +8)时,ACy)>0,所以g' Cr)>0, g(x)为单调增函数, 所以S刚、3=g(x°).因为g3定义域为R,所以eY)=U). (1
18、3分) 若-Vo>0,在(一8, XO)上为单调减函数,g(xo)<g(O) =0,而 g(ln2) =2+bln2-2=bln2>0,所以当x(x°, ln2)时,g(x)至少存在另外一个零点,矛盾.(14分) 若 <0, g(x)在(及,+8)上为单调增函数,g(xo)<厅(O)=0,而 (IOg2)= elog42+2-2=elogi2>0, 所以g(x)在(IOgi2, .Yb)上存在另外一个解,矛盾.(15分) 当-YO=IOg(-ln) = 0,则一Inb=I,解得 £>=|,此时方程为 g(x)=e'+占一2=
19、0,由(1)得,只有唯一解-Vb=O,满足条件.综上所述,当QI或E=丄时,方程KY)= 2有且只有一个解.(16分)e20. 解析: 因为Sa=Qn-r,所以 Sa-I=Q= 1-r» (n>2)Sn-Sn-X = Qb-Q3'1,即 as=q一一,(n>2), (1 分)因为 a=pL,所以 Pn I=Qn-qn 1, (n2),当 n=2 时,p=q2-q:当 n = 3 时,p2 = q3q2因为P,q为正数,所以P = q = 2. (3分)因为 a1=b S=q-r, al=Si,所以 r = l. (4 分)(2)因为 2Ta=nbn,当 nM2 时
20、,2Ta-i=(n-l)bn-i,一得 2ba=nba- (nl)ba-1> 即(n2)ba= (nl)bn i> (6 分) 方法一:由(nl)bn÷=nba,+得(2n2)bn= (nl)bn-i+ (nl)ba+1, (7 分)即2ba=bt-1+baH,所以bn为等差数列.(8分)方法二:由(n2)bn= (-Dbn-Mn1n-2'bnbnlBe当n$3时,ZZZz =n1 n21所以 ba=b(n-1),所以 ba-b-i=b. (6 分)因为 n=l 时,由 2T=nbn得 2Tl=b1,所以 b.=0,则 b3-b1=b5, (7 分)所以ba-bc
21、-1=bc对n22恒成立,所以bn为等差数列.(8分)(3)因为bl=0, b:=2,由(2)知b11为等差数列,所以ba=2n-2. (9分) 又由知an=2a"1,所以Pn = 2n+22n "F4-44n 2C2n + 2 IPnfl= 9n-4n4 4n2 4n 4n÷2I PZn-S I 2 22"一p-,所以Pnr-Pn =吉二4n+2 2n 12n+24n2 (12 5»2 纭2c"14n令 PnU-Pn>0 得 12n+2-4n 2a>0,所以 2a<=3+<4,解得 n=l,所以当 n=l 时
22、,PnI I-PH>0,即 P2>Pu (13 分)当 nM2 时,因为 2n4, 3+-<4即 12n+2-4n 2tt<0,此时 Pa÷<Pn,即 P2>P8>Pi>-, (14 分)所以P:I的最大值为P=警+2第+2=£ (15分)7 若存在正整数k,使得对任意正整数n, PWk恒成立,贝IJkP.,= -.所以正整数k的最小值为4. (16分)21. A.解析:因为四边形如?是圆的内接四边形,所以ZDAE=乙BCD, AFAE=ABAC= BDC.(4 分)戻为BC=BD,所以乙BCD=乙BDC、(6分)所以ZDAE
23、=乙FAE, (8分)所以M是四边形馭P的外角ZW的平分线.(10分)B.解析:由题意得6a=3,%十5,(3分)3J. (5 分)令 r() = (-2)(4-l)-6=0, (7 分)解得久=一1或久=4, (9分)所以矩阵M的特征值为一1和4. (10分)所以M=.2C解析:(1)将M(2, 5)及对应的参数=y,代入x=acos >,.A (a>b>0, e为参数),y= 6sn 2 = acos9所以 y3 = bsina=4,b=2、所以曲线G的普通方程为÷=1. (5分)164P cos" 0(2)曲线G的极坐标方程为一花一PISin:. P
24、:sin: “ I PZCOSZ 0P=1'P "sin" 0( AP7cos-"r=1,将 Ap, & Q" "+了|代入得主V11 s所 W+= (10 分) Pl PZ 16D.解析:因为对任意xR,不等式f(x)>3恒成立,所以经n(x)>3. (2分)因为 xa + Jr-I-a xa (.r+ a) = 12a ,所以2a>a'-3,(4分)方法一:即 a 2-2a 3<0.解得一1< a<3, (8 分)所以一3<a3. (10 分)方法二:式等价于2a>a:3,或 2a< a+3,(6 分)由得一la3: (7分)由得一3<a<l, (8分)所以一3<a3. (10 分)22.解析: 因为AC丄CB,且DC丄平而ABC,则以C为原点,CB为X轴正方向,CA为y轴正方向,C
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