线性代数复习及题目PPT课件

1、行列式行列式概概念念n不不同同行行、不不同同列列的的 个个元元素素的的乘乘积积展展开开式式中中项项的的符符号号!n展展开开式式中中所所有有项项的的项项数数为为性性质质经经转转置置的的行行列列式式的的值值不不变变互互换换行行列列式式的的两两行行（列列），其其值值反反号号某某一一行行（列列）各各元元素素的的公公因因子子可可提提到到行行列列式式外外某某一一行行（列列）的的所所有有元元素素均均为为两两数数之之和和，则则此此行行列列式式等等于于两两个个行行列列式式之之和和k某某一一行行（列列）所所有有元元素素的的 倍倍加加至至另另一一行行（列列），其其值值不不变变展展开开式式=()=1nAa Aiij

2、ijj按按 行行展展开开=()=1nAa Aij iji按按 列列展展开开j j第1页/共35页行列式行列式计计算算0A 证证明明AA 反反证证法法0Ax 有有非非零零解解( )r An 应应用用克克莱莱姆姆法法则则伴伴随随矩矩阵阵求求逆逆证证明明可可逆逆判判定定线线性性相相关关（无无关关）1234ijrkr 常常用用方方法法：利利用用运运算算把把行行列列式式化化为为 上上三三角角形形行行、用用定定义义计计算算、化化三三角角形形行行列列式式计计算算、展展列列式式，从从而而算算得得行行列列式式的的值值 将将行行列列式式按按某某行行或或某某列列展展开开. .开开法法、利利用用范范德德蒙蒙行行列列式

3、式计计算算 第2页/共35页 1112131112131221222321222322313233313233322,2,2AB8.C12D2. aaaaaaaAaaaBaaaaAmBaaaaaaammmm设设且且则则. . . . . C 1231223311223311231212312,_A B .C2 2 D AA 设设是是三三阶阶矩矩阵阵 则则. . . . . . . .C第3页/共35页4分块矩阵分块矩阵初等变换初等变换特殊矩阵特殊矩阵 概念概念矩阵运算及其性质运算及其性质 方阵的运算方阵的运算 矩阵的秩矩阵的秩 矩阵的逆矩阵的逆第4页/共35页矩阵及其运算矩阵及其运算概概念念m

4、nmn 个个数数排排成成的的 行行 列列的的表表格格特特殊殊矩矩阵阵单单位位矩矩阵阵对对称称矩矩阵阵TijjiAAaa反反对对称称矩矩阵阵,0TijjiiiAAaaa 正正交交矩矩阵阵1TTTAAA AEAA 伴伴随随矩矩阵阵对对角角矩矩阵阵*AAA AA E0()ijaij 运运算算,TAB kA AB A 方方阵阵的的幂幂初初等等变变换换初初等等矩矩阵阵概概念念性性质质()PAPA APP初初等等矩矩阵阵 左左（右右）乘乘 所所得得就就是是对对作作了了一一次次与与 同同样样的的行行（列列）变变换换111,( )(),1( )()EEEkEijijiikEkEkijij 等等价价,ABPAQ

5、BPQ其其中中 与与 可可逆逆第5页/共35页矩阵及其运算矩阵及其运算逆逆矩矩阵阵求求法法定定义义法法1*1AAA 伴伴随随矩矩阵阵法法1A EE A 初初等等变变换换法法（）（）11111100,000000AABBAABB 分分块块矩矩阵阵法法证证法法定定义义法法0A ( )r An 反反证证法法第6页/共35页7 0min,0(123456789)0( ),max,min,0m nrrTm nn lR Am nifDR ArifDR ArR AR AA BR AR BP QR PAQR AR AR BR A BR AR BR ABR AR BR ABR AR BABR AR Bn 矩矩阵

6、阵秩秩的的性性质质性性质质性性质质性性质质性性质质性性质质性性质质性性质质性性质质性性 ； 若若，则则 若若可可逆逆，则则 若若，则则质质第7页/共35页 122 (1),;(2),(),();(3),;(4),.A (1)(2)B (1)(4).C (2)(3)D3(2)(4)ABEAABnA BABEBAEA BnABA BnAB下下列列命命题题中中如如果果矩矩阵阵则则 可可逆逆且且如如果果 阶阶矩矩阵阵满满足足则则如如果果矩矩阵阵均均 阶阶不不可可逆逆 则则必必不不可可逆逆如如果果矩矩阵阵均均 阶阶不不可可逆逆 则则必必不不可可逆逆正正确确的的是是_. . . . . . . *11,4

7、(3)1. 31AB 3.C 6D 93AAAAAA设设 为为三三阶阶方方阵阵, ,为为 的的伴伴随随矩矩阵阵则则. . . . . D 11 ,0,1,2,3,1,2,3,22A 0B 2.C 4D 8TijijAaAaijA设设 是是三三阶阶矩矩阵阵 其其中中则则. . . . .BD第8页/共35页 111213212223212223111213313233311132123313123132323 ,222100100010010 ,010 ,100 ,201021001ABD5.CaaaaaaAaaaBaaaaaaaaaaaaPPPBP P AP P AAP PA设设则则. . .

8、 . . .13.P P 122112*22*2222222 ,A () =2()B () =2()C () =2()D ()4=2TTTAnAAAAAAAAAAAAAAAAAAAEAAEE设设 是是 阶阶可可逆逆矩矩阵阵 则则下下列列等等式式不不成成立立的的是是. . . . . .CB第9页/共35页 21324264 2,=0,123A12B11.C11D.1 26aABABaaBaBaBaB设设, , 是是的的非非零零矩矩阵阵 且且则则_时时， 的的秩秩必必为为 . . 时时， 的的秩秩必必为为时时， 的的秩秩必必为为 . . 时时， 的的秩秩必必为为 C *1111011 ,()1.

9、2343519A 3B 2.C 1D 13.7aAAAr Aaa已已知知是是 的的伴伴随随矩矩阵阵 若若则则. . 或或. . . AD 2 ,( )()_A 4B 3.C 2D81.AAAr Ar AE设设 为为四四阶阶矩矩阵阵 且且满满足足则则秩秩秩秩. . . . . . 第10页/共35页11111213141413121121222324242322213132333434333231414243444443424110001010000101000aaaaaaaaaaaaaaaaABaaaaaaaaaaaaaaaaP 设设, , 21111112121221100000100100

10、0001( )( )( )()PABAA P PBP A PCP P ADP A P 其其中中 可可逆逆，则则 C第11页/共35页12(2)( )( )( )()An nABABABAABBABCABDAB 设设 为为阶阶可可逆逆矩矩阵阵，交交换换 的的第第1 1行行与与第第2 2行行得得矩矩阵阵，分分别别为为 ， 的的伴伴随随矩矩阵阵，则则 交交换换的的第第1 1列列与与第第2 2列列得得到到 交交换换的的第第1 1行行与与第第2 2行行得得到到 交交换换的的第第1 1列列与与第第2 2列列得得到到- - 交交换换的的第第1 1行行与与第第2 2行行得得到到- -CD第12页/共35页13

11、C()1( )2R AR A ,1( )20( )20( )20()20abbAbabAbbaAababBababCababDabab 设设3 3阶阶矩矩阵阵若若 的的伴伴随随矩矩阵阵的的秩秩等等于于 ，则则必必有有 或或 或或 且且 且且19第13页/共35页146000060060600301 A第14页/共35页1523 D第15页/共35页16线性组合线性组合向量n维向量维向量向量定义向量定义n维向量组维向量组 线性表示线性表示向量线性运算向量线性运算 线性相关线性相关 向量组的秩向量组的秩第16页/共35页 n 维维向向量量与与向向量量空空间间n维维向向量量运运算算加加法法、数数乘乘

12、、内内积积Schmidt正正交交化化线线性性表表出出概概念念判判定定1 12 2xxxs s方方程程组组有有解解充充要要条条件件充充分分条条件件,121,2ss线线性性无无关关， 线线性性相相关关向向量量组组等等价价,11st 与与， ，可可互互相相线线性性表表出出线线性性相相关关概概念念判判别别充充分分条条件件充充要要条条件件(,12)0 xs 齐齐次次方方程程组组有有非非零零解解(,)1rss (1,2,)1isis 某某可可由由其其余余个个向向量量线线性性表表出出1nn 个个 维维向向量量多多数数向向量量可可由由少少数数向向量量线线性性表表出出第17页/共35页 n 维维向向量量与与向向

13、量量空空间间向向量量空空间间n维维向向量量线线性性无无关关概概念念判判别别充充要要条条件件充充分分条条件件(,12,)0 xs 齐齐次次方方程程组组只只有有零零解解(,)12rss () ii 向向量量不不能能由由其其余余向向量量线线性性表表出出阶阶梯梯形形向向量量组组极极大大线线性性无无关关组组概概念念求求法法向向量量组组的的秩秩矩矩阵阵的的秩秩第18页/共35页 12121122121122121112 ,.,A,.,.=0.B,.,.0.C,.1.,.0.D,.,.sssssssssssk kkkkkk kkkkkk kkkk 向向量量组组线线性性无无关关的的充充分分必必要要条条件件是是

14、_存存在在全全为为零零的的一一组组数数使使存存在在不不全全为为零零的的一一组组数数使使对对于于任任何何一一组组不不全全为为零零的的数数都都有有中中任任意意两两个个向向量量线线性性无无关关C 111121322122233313233111121314221222324331323314 :,:,A. B.C. 2 D.TTTaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa设设 则则正正确确的的命命题题是是_ 相相关关 相相关关 无无关关 无无关关 无无关关 无无关关 相相关关 无无关关. .B第19页/共35页 123123123123123123123123123 ,(1),(2),(3),(4)

15、,A (1)(2)B (3)(43).C ( 设设向向量量组组, , 均均为为三三维维向向量量, ,现现有有四四个个命命题题若若 不不能能由由线线性性表表示示 则则线线性性相相关关. .若若线线性性相相关关 则则 不不能能由由线线性性表表示示. .若若 能能由由线线性性表表示示 则则线线性性无无关关. .若若线线性性无无关关 则则 能能由由线线性性表表示示. .以以上上正正确确的的是是_. . . . 1)(4)D (2)(3). . .C 1234123412312344123412341234123 ,A,B,.C,.D,4.AB 设设矩矩阵阵经经过过初初等等变变换换变变为为, ,且且线线

16、性性无无关关, ,线线性性相相关关, ,则则不不能能由由线线性性表表示示. .能能由由线线性性表表示示 但但表表法法不不唯唯一一能能由由线线性性表表示示 且且表表法法唯唯一一能能否否由由线线性性表表示示不不能能确确定定. .C第20页/共35页 12 ,.,A1B.C1.D1.5srrrrr 如如果果向向量量组组的的秩秩为为则则下下列列命命题题正正确确的的是是_向向量量组组中中任任意意个个向向量量都都线线性性无无关关. .向向量量组组中中任任意意 个个向向量量都都线线性性无无关关向向量量组组中中任任意意个个向向量量都都线线性性. .相相关关向向量量组组中中任任意意个个向向量量都都线线性性相相关

17、关 D 12341134224334423512312345 ,2.,A 1 B 2. C 3. D64.r 已已知知四四维维向向量量组组线线性性无无关关 且且向向量量则则. . . C第21页/共35页D 12341223344112233412233441112233441 ,A,B,.C,7.D,. 设设向向量量组组 线线性性无无关关 则则与与向向量量组组 等等价价的的向向量量组组是是_ _. . ._第22页/共35页23A3第23页/共35页24A1 第24页/共35页25 齐次齐次线性方程组解的性质解的性质 解的结构解的结构 解的判定解的判定非齐次非齐次第25页/共35页线性方程组

18、线性方程组矩矩阵阵形形式式0Ax 有有非非0 0解解判判定定( )r An 基基础础解解系系Axb 阶阶梯梯形形初初等等行行变变换换 有有解解判判定定( )= ( )r Ar A解解的的结结构构导导出出组组01 1nnxx0有有非非 解解1,n线线性性相相关关1 1nnxx有有解解1,n可可由由线线性性表表出出向向量量形形式式解解的的结结构构特特解解、通通解解自自由由变变量量解解的的性性质质,01212AxbAx若若是是的的两两个个解解，则则是是的的解解1 12 2,0012kAxkAx+ +若若是是的的两两个个解解，则则是是的的解解0+AxbAxAxb 若若 是是的的解解， 是是的的解解,

19、,则则是是的的解解第26页/共35页 1231212321123,2, 2, (), 3230A 4 B 3. C 2. D 11. .AxbAx 已已知知是是非非齐齐次次方方程程组组的的三三个个不不同同的的解解 那那么么下下列列向向量量 中中是是导导出出解解的的向向量量共共有有_个个. .个个个个个个 A 12 2,1,1,1, 2, 10,211135AB.121135142131CD1212622TTAxA要要使使都都是是齐齐次次线线性性方方程程组组的的解解 只只要要系系数数矩矩阵阵 为为_. . . . . . B第27页/共35页 12121212,2,( )10AB.3C(D(. .nAxbr AnAxkkkk 已已知知是是 元元非非齐齐次次线线性性方方程程组组的的 个个不不同同的的解解若若秩秩, ,则则的的通通解解是是_. ) ). ) ) D ,00,AB.CD4TTAnAAAxA Ax设设 为为 阶阶矩矩阵阵, ,是是 的的转转置置矩矩阵阵 对对于于线线性性方方程程组组 和和 必必有有_的的解解是是 的的解解, , 的的解解也也是是 的的解解. .的的解解是是 的的