2021年普陀区高三第二次模拟数学试卷2021.04

1、2021年普陀区高三第二次模拟数学试卷2021.04 2021学年普陀区其次次高三数学质量检测数学试 2021. 04 时间：120分钟；满分：150分 一、填空题（每小题4分，共56分） x 1已知集合a 1,0,a ,b x 2 2，若aib ，则实数a的取值范围是 用n的表达式对tn赋值，则空白处理框中应填入：tn_ 12不等式x 1 a 2 siny对一切非零实数x,y均成立，则实数a的范围为x 13平面直角坐标系xoy中，o为坐标原点.定义p(x1,y1)、q(x2,y2)两点之间的“直角距离”为d(p,q)=x1-x2+y1-y2，已知点b(1,0)，点m是直线kx-y+k+3=0

2、(k 1)上的动点，d(b,m)的最小值为 14当n为正整数时，用n(n)表示n的最大奇因数，如n(3) 3,n(10) 5,设sn n(1) n(2) n(3) n(4) 和的表达式为 二、选择题（每小题5分，共20分） 15已知l，m是两条不同的直线， 是一个平面，以下命题正确的是（ ） （a ） 若l , l m, 则m ， 2函数y cos(x ) sin (x )的最小正周期为 3在等差数列an中，已知a1 2,a2 a3 13,则a4 a5 a6 4若tan 2， 是直线y kx b的倾斜角，则 （用 的反正切表示） 5设(1 2i) 3 4i（i为虚数单位），则|z| 6直角坐标

3、系xoy内有点a（2，1），b（0，2），将线段ab绕直线y 1旋转一周，所得到几何体的体积为 n(2n 1) n(2n)，则数列 sn sn 1 (n 2)的前n项 x y1 7.已知平面对量a (x1,y1),b (x2,y2)，若a 2,b 3,a b 6，则1 x2 y2ax 8设a 0,a 1，行列式d 2 2 13 01中第3行第2列的代数余子式记作y，函数y f x 4 3 ； （b）若l/ , m , 则 l/m； （c）若l , m/ , 则 l m； （d） 若l , l m, 则 m/ ； 16以下是科学家与之相讨论的领域不匹配的是（ ） （a）笛卡儿解析几何； （b）帕

4、斯卡概率论；（c）康托尔集合论；（d）祖暅之复数论； 17已知各项均不为零的数列an,定义向量cn (an,an 1)，bn (n,n 1)，n n*. 下列命题中真命题是（ ） (a) 若n n*总有cn/bn成立，则数列an是等差数列(b) 若n n*总有cn/bn成立，则数列an是等比数列 (c) 若n n*总有cn bn成立，则数列an是等差数列(d) 若n n*总有cn bn成立，则数列 的反函数经过点 2,1 ，则a= 9某同学参与3门课程的考试。假设该同学第一门、其次门及第三门课程取得合格水平的概率依次为 432 ，,，且不同课程是否取得合格水平相互独立。 555 （第11题图）

5、 则该生只取得一门课程合格的概率为 x2y2 10已知p是椭圆2 2 1(a b 0)上的一点， ab an是等比数列 11 的最小值为 f1,f2为椭圆的左、右焦点，则 pf1pf2 11已知an是等差数列，设tn a1 a2 an(n n) 某同学设计了一个求tn的算法框图（如图），图中空白处理框中是 18方程sinx xcosx 0的正根从小到大地依次排列为a1,a2,（ ） （a）0 an 1 an ,an, ，则正确的结论为 2 （b）2an 1 an 2 an 1 （c）2an 1 an 2 an 1 （d）2an 1 an 2 an 1 三、解答题（12+14+14+16+18，

6、共74 分） 19已知向量 1 coswx,1 , 1,a sinwx （w为常数且w 0），函数f x 在r 上的最大值为2（1）求实数a的值；（2）把函数y f x 的图象向右平移 6w 个单位，可得函数 y g x 的图象，若y g x 在 0,4 上为增函数，求w的最大值 20已知三棱柱abc a1b1c1的侧棱与底面垂直，aa1 ab ac 1 ,ab ac,m是cc1的中点，n是bc的中点，点p在a1b1上，且满意a1p a1b1（1）证明： pn am；（2）当 取何值时，直线pn与平面abc所成的角 最大？并求该角的最大值的正切值。 b1 b 21近年来玉制小挂件备受人们的青睐

7、，某玉制品厂去年的年产量为10万件，每件小挂件的销售 价格平均为100元，生产成本为80元。从今年起工厂投入100万元科技成本，并方案以后每年比上一年多投入100万元科技成本，估计产量每年递增1万件。设第n 年每件小挂件的生产成本 g(n) n年的年利润为万元（今年为第1年） （1）求利润的表达式f(n);（2）问从今年算起第几年的利润最高？最高利润为多少万元？ 22存在对称中心的曲线叫做有心曲线明显圆、椭圆和双曲线都是有心曲线若有心曲线上两点的连线段过中心，则该线段叫做有心曲线的直径 （1）已知点p 1 x2 1,2 ，求使 pab时，椭圆3 y2 1的直径ab所在的直线方程；（2）若过椭圆

8、x2 3 y2 1的中心作斜率为k的直线交椭圆于m,n两点，且椭圆的左、右焦点分别为f1,f2，若以m为圆心，mf2长度为半径作m，问是否存在定圆r，使得m恒与r相切？若存在，求出r的方程。若不存在，请说明理由。 （3）定理：若过圆x2 y2 1的一条直径的两个端点与圆上任意一点（不同于直径两端点）的连线所在直线的斜率均存在，那么此两斜率之积为定值 1请对上述定理进行推广说明：第（3） 题将依据结论的一般性程度给与不同的评分 23已知数列 an 中，a1 0，an 1 n n*)（1）试求a1的值，使数列 an 是一个常数列； （2）试求a1的取值范围，使得数列 an 是单调增数列；（3）若

9、an 不为常数列，设 b*n an 1 an(n n)，sn为数列 b1 n 的前n项和，请你写出a1的一个值， 使得sn 2 恒成立，并说明理由。 2021学年普陀区其次次高三数学质量检测数学试 2021. 04参考答案 1、(0,1)、 3、42 4、 arctan2 5 6、2 3 7、 2 3 8、a 4 9、37125 10、223a 11、n 9n 40 12、 1,3 13、2 k (k 1) 1 14、 4 n 4 3 15、c 16、d 17、a 18、b 三、解答题（12+14+14+16+18，共74 分） 19已知向量 1 coswx,1 , 1,a sinwx （w为

10、常数且w 0），函数f x 在r上的最大值为2（1）求实数a的值； （2）把函数y f x 的图象向右平移 6w 个单位，可得函数y g x 的图象，若y g x 在 0, 4 上为增函数，求w的最大值解：（1） f(x) 1 cos x a x 2sin( x 6) a 1 由于函数f(x)在r上的最大值为2，所以3 a 2故a 1 （2）由（1）知：f x 2sin wx 6 ，把函数f x 2sin wx 6 的图象向右平移6w个单位，可得函数y g(x) 2si nx又y g(x)在 0, 4 上为增函数， g(x)的周期t 2 w 即0 w 2所以w的最大值为2 20已知三棱柱abc

11、 a1b1c1的侧棱与底面垂直，aa1 ab ac 1 ,ab ac,m是cc1的中点，n是bc的中点，点p在a1b1上，且满意a1p a1b1（1）证明： pn am；（2）当 取何值时，直线pn与平面abc所成的角 最大？并求该角的最大值的正切值。 解：(1)以ab,ac,aa1分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系a xyz则 b1 pn (12 ,12, 1),am 0,1,1 2 .pn am (1112 ) 0 2 1 1 2 0, pn am. （2）明显平面abc的一个法向量为n (0,0,1) 则sin cos pn,n pn npnn （*） 于是问题转化为二次函数求最值，

12、而 0, 2 ，当 最大时，sin 最大，即tan 最大( 12 除外)，由（*）式： 2时，(sin )max )max 2 21近年来玉制小挂件备受人们的青睐，某玉制品厂去年的年产量为10万件，每件小挂件的销售 价格平均为100元，生产成本为80元。从今年起工厂投入100万元科技成本，并方案以后每年比上一年多投入100万元科技成本，估计产量每年递增1万件。设第n年每件小挂件的生产成本 g(n) n年的年利润为万元（今年为第1年）（1）求利润的表达式f(n);（2）问从今年算起第几年的利润最高？最高利润为多少万元？ 解：（1）f(n) (10 n) 100 (10 n) 100n 1000

13、（2）f(n) 1000y 1000 ，当n 8时， f(n)最大，最高利润为520万元。 22存在对称中心的曲线叫做有心曲线明显圆、椭圆和双曲线都是有心曲线若有心曲线上两点的连线段过中心，则该线段叫做有心曲线的直径（1）已知点p 1,1 ，求使 pab 2 时，椭圆x23 y2 1的直径ab所在的直线方程；（2）若过椭圆x23 y2 1的中心作斜率为k的直线 交椭圆于m,n两点，且椭圆的左、右焦点分别为f1,f2，若以m为圆心，mf2长度为半径作 m，问是否存在定圆r，使得m恒与r相切？若存在，求出r的方程。若不存在，请 说明理由。（3）定理：若过圆x2 y2 1的一条直径的两个端点与圆上任

14、意一点（不同于直径两端点）的连线所在直线的斜率均存在，那么此两斜率之积为定值 1请对上述定理进行推广说明：第（3）题将依据结论的一般性程度给与不同的评分 解：（1）设直线ab的方程为y kx，代入椭圆方程得x2 1， 则k2 13 d ab 得k 2 解s 3故直线ab的方程为y 2 3 x （2）存在r ：(x2 y2 12与m恒相切，圆心n为椭圆的左焦点f 1.由椭圆的定义知，mf1 mf2 2a mf1 mf2. 两圆相内切。 （3）依据结论的一般性程度给与不同的评分（问题1-4层）过圆x2 y2 r 2 r 0 的一条直径 的两个端点与圆上任意一点（不同于直径两端点）的连线所在直线的斜

15、率均存在，那么此两斜率之积为定值 1 若过圆 x a 2 y b 2 r 2 r 0 的一条直径的两个端点与圆上任意一点 （不同于直径两端点）的连线所在直线的斜率均存在，那么此两斜率之积为定值 1过椭圆 x22 a2 y b2 1 a 0,b 0 的一条直径的两个端点与椭圆任意一点（不同于直径两端点）的连线所那么此两斜率之积为定值 b2在直线的斜率均存在，22 a 2过有心圆锥曲线mx ny 1(mn 0)的 一条直径的两个端点与曲线上任意一点（不同于直径两端点）的连线所在直线的斜率均存在，那么此两斜率之积为定值 m n 证明：设曲线上任始终径ab,p为异于a,b的曲线上任一点。 设a xy

16、y1y y1 1,y1 ,b x1, y1 ,p x,y ,kap x x,kbp ，由于a,p在曲线上，所以1x x1 2k y2 1map kybp x2 x2 1 n 23已知数列 an 中，a1 0，an 1 n n*)（1）试求a1的值，使数列 an 是一个常数列； （2）试求a1的取值范围，使得数列 an 是单调增数列；（3）若 an 不为常数列，设 b1 n an 1 an(n n*)，sn为数列 bn 的前n项和，请你写出a1的一个值， 使得sn 2 恒成立，并说明理由。 解：（1 ）由an an 1 aa33 n 0,得n 2. a1 2时， an 为常数数列。 (2) an