2021年普通高等学校招生全国统一考试北京卷理科数学试题及答案

1、2021年普通高等学校招生全国统一考试北京卷理科数学试题及答案 2021 2021年一般高等学校招生北京卷理工农医类数学试题 本试卷分第i 卷（选择题）和第ii 卷（非选择题）两部分第i 卷1至2页第ii 卷3至9页共150分考试时间120分钟 第i 卷（选择题 共40分） 留意事项： 1. 答第i 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上 2. 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦洁净后，再选涂其他答案，不能答在试题卷上 3. 考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回 参考公式： 三角函数的积化和差公式 s i n cos s

2、in()sin()=+-12 cos sin sin()sin()=+-12 cos cos cos()cos()=+-12 s i n s i n c o s ()cos()=-+-12 正棱台、圆台的侧面积公式 s c c l 台侧=+12 () 其中c，c 分别表示上、下底面周长，l 表示斜高或母线长 球体的表面积公式s r 球=42 其中r 表示球的半径 一. 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分项是符合题目要求的 （1）设全集是实数集r ，m x x =-|22，n x x =|1，则m n ?等于 a. |x x -2 b. |x x -21 c. |x x 1 d. |x

3、 x -21 （2）满意条件|z i i -=+34的复数z 在复平面上对应点的轨迹是 a. 一条直线 b. 两条直线 c. 圆 d. 椭圆 （3）设m 、n 是两条不同的直线，,是三个不同的平面，给出下列四个命题： 2021 若m ，n /，则m n 若/，/，m ，则m 若m /，n /，则m n / 若，则/ 其中正确命题的序号是 a. 和 b. 和 c. 和 d. 和 （4）如图，在正方体abcd a b c d -1111中，p 是侧面bb c c 11内一动点，若p 到直线bc 与直线c d 11的距离相等，则动点p 的轨迹所在的曲线是 a c a 1 c 1 a. 直线 b. 圆

4、 c. 双曲线 d. 抛物线 （5）函数f x x ax ()=-223在区间1，2上存在反函数的充分必要条件是 a. a -(,1 b. a +,)2 c. a ,12 d. a -?+(,)12 （6）已知a 、b 、c 满意c b a ，且ac 0，那么下列选项中肯定成立的是 a. ab ac b. c b a ()-0 c. cb ab 22 d. ac a c ()-0 （7）从长度分别为1，2，3，4，5的五条线段中，任取三条的不同取法共有n 种在这些取法中，以取出的三条线段为边可组成的钝角三角形的个数为m ，则 m n 等于 a. 110 b. 15 c. 310 d. 25 （

5、8）函数f x x x p x x m (),=-? ，其中p 、m 为实数集r 的两个非空子集，又规定f p y y f x x p ()|(),=，f m y y f x x m ()|(),=，给出下列四个推断： 若p m ?=?，则f p f m ()()?=? 若p m ?，则f p f m ()()? 若p m r ?=，则f p f m r ()()?= 若p m r ?，则f p f m r ()()? 2021 其中正确推断有 a. 1个 b. 2个 c. 3个 d. 4个 第ii 卷（非选择题 共110分） 二. 填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分把答案填在题中横

6、线上 （9）函数f x x x x ()cos sin cos =-223的最小正周期是_ （10）方程lg()lg lg 4223x x +=+的解是_ （11）某地球仪上北纬30 纬线的长度为12cm ，该地球仪的半径是_cm ，表面积是_cm 2 （12）曲线c ：x y =-+? cos sin 1（为参数）的一般方程是_，假如曲线c 与直线x y a +=0有公共点，那么实数a 的取值范围是_- （13）在函数f x ax bx c ()=+2中，若a ，b ，c 成等比数列且f ()04=-，则f x ()有最_值（填“大”或“小”），且该值为_ （14）定义“等和数列”：在一个数

7、列中，假如每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和 已知数列a n 是等和数列，且a 12=，公和为5，那么a 18的值为_，这个数列的前n 项和s n 的计算公式为_ 三. 解答题：本大题共6小题，共80分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 （15）（本小题满分13分） 在?abc 中，sin cos a a += 22，ac =2，ab =3，求tga 的值和?abc 的面积 2021 （16）（本小题满分14分） 如图，在正三棱柱abc a b c -111中，ab 3，aa 14=，m 为aa 1的中点，p 是bc 上一点，且由p 沿

8、棱柱侧面经过棱cc 1到m 的最短路线长为29，设这条最短路线与cc 1的交点为n ，求： （i ）该三棱柱的侧面绽开图的对角线长 （ii ）pc 和nc 的长 （iii ）平面nmp 与平面abc 所成二面角（锐角）的大小（用反三角函数表示） a c a 1n m （17）（本小题满分14分） 如图，过抛物线y px p 220=()上肯定点p （x y 00,）（y 00），作两条直线分别交抛物线于a （x y 11,），b （x y 22,） （i ）求该抛物线上纵坐标为p 2 的点到其焦点f 的距离 （ii ）当pa 与pb 的斜率存在且倾斜角互补时，求 y y y 120 +的值，并

9、证明直线ab 的斜率是非零常数 y p o x a b 2021 （18）（本小题满分14分） 函数f x ()是定义在0，1上的增函数，满意f x f x ()()=22且f ()11=，在每个区间(,1212 1i i -（i =1，2）上，y f x =()的图象都是斜率为同一常数k 的直线的一部分 （i ）求f ()0及f ()12，f ()14的值，并归纳出f i i ( )(,)1212= 的表达式 （ii ）设直线x i =12，x i =-121，x 轴及y f x =()的图象围成的矩形的面积为a i （i =1，2），记s k a a a n n ()lim()=+ 12

10、，求s k ()的表达式，并写出其定义域和最小值 （19）（本小题满分12分） 某段城铁线路上依次有a 、b 、c 三站，ab=15km ，bc=3km ，在列车运行时刻表上，规定列车8时整从a 站发车，8时07分到达b 站并停车1分钟，8时12分到达c 站，在实际运行中，假设列车从a 站正点发车，在b 站停留1分钟，并在行驶时以同一速度vkm h /匀速行驶，列车从a 站到达某站的时间与时刻表上相应时间之差的肯定值称为列车在该站的运行误差 （i ）分别写出列车在b 、c 两站的运行误差 （ii ）若要求列车在b ，c 两站的运行误差之和不超过2分钟，求v 的取值范围 （20）（本小题满分13

11、分） 给定有限个正数满意条件t ：每个数都不大于50且总和l 1275现将这些数按下列要求进行分组，每组数之和不大于150且分组的步骤是： 首先，从这些数中选择这样一些数构成第一组，使得150与这组数之和的差r 1与全部可能的其他选择相比是最小的，r 1称为第一组余差； 然后，在去掉已选入第一组的数后，对余下的数按第一组的选择方式构成其次组，这时的余差为r 2；如此连续构成第三组（余差为r 3）、第四组（余差为r 4）、，直至第n 组（余差为r n ）把这些数全部分完为止 （i ）推断r r r n 12, 的大小关系，并指出除第n 组外的每组至少含有几个数 （ii ）当构成第n （nn ）组

12、后，指出余下的每个数与r n 的大小关系，并证明r n l n n -11501 2021 （iii）对任何满意条件t的有限个正数，证明：n 11 2021 2021年一般高等学校招生北京卷理工农医类数学试题 参考答案 一. 选择题：本大题主要考查基本学问和基本运算每小题5分，满分40分 （1）a （2）c （3）a （4）d （5）d （6）c （7）b （8）b 二. 填空题：本大题主要考查基本学问和基本运算每小题5分，满分30分 （9） （10）x x 1201=, （11）43 192 （12）x y 2211+=() 1212-+a （13）大 -3 （14）3 当n 为偶数时，s

13、n n =52；当n 为奇数时，s n n =-5212 三. 解答题：本大题共6小题，共80分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 （15）本小题主要考查三角恒等变形、三角形面积公式等基本学问，考查运算力量分13分 解法一： s i n c o s c o s ()c o s ()a a a a +=-= -= 245224512 又0180 a -=+=+-=-a a t g a tg 45601054560131323 ,() s i n s i n s i n ()s i n cos cos sin a =+=+=+105456045604560264 s ac ab a abc ?

14、=?=?+=+12122326434 26sin () 解法二： s i n cos a a +=22 （1） 2021 += =-(sin cos )sin cos ,sin ,cos a a a a a a a 212212 018000 (s i n cos )sin cos a a a a -=-=21232 -=s i n cos a a 62 （2） （1）+（2）得：sin a =+264 （1）（2）得：cos a = -264 =+?-=-t g a a a s i n c o s 264426 23 （以下同解法一） （16）本小题主要考查直线与平面的位置关系、棱柱等基本学

15、问，考查空间想象力量、规律思维力量和运算力量满分14分 解：（i ）正三棱柱abc a b c -111的侧面绽开图是一个长为9，宽为4的矩形，其对角线长为949722+= （ii ）如图1，将侧面bb c c 11绕棱cc 1旋转120 使其与侧成aa c c 11在同一平面上， 点p 运动到点p 1的位置，连接mp 1，则mp 1就是由点p 沿棱柱侧面经过棱cc 1到点m 的最短路线 a a m 设pc x =，则p c x 1=，在rt map ?1中，由勾股定理得()322922+=x 求得x =2 2021 = pc p c nc ma p c p a nc 1112 25 4 5

16、（iii ）如图2，连结pp 1，则pp 1就是平面nmp 与平面abc 的交线，作nh pp 1于h ，又cc 1平面abc ，连结ch ，由三垂线定理得，ch pp 1 a a m 1 nhc 就是平面nmp 与平面abc 所成二面角的平面角（锐角） 在rt phc ?中， = =pch pcp 12601 =ch pc 2 1 在rt nch ?中，tg nhc nc ch =4 5145 故平面nmp 与平面abc 所成二面角（锐角）的大小为arctg 45 （17）本小题主要考查直线、抛物线等基本学问，考查运用解析几何的方法分析问题和解决问题的力量满分14分 解：（i ）当y p =

17、2时，x p =8 又抛物线y px 22=的准线方程为x p =- 2 由抛物线定义得，所求距离为p p p 8258 -=() y p o a b （2）设直线pa 的斜率为k pa ，直线pb 的斜率为k pb 2021 由y px 1212=，y px 0202= 相减得()()()y y y y p x x 1010102-+=- 故k y y x x p y y x x pa =-=+101010 102() 同理可得k p y y x x pb = +22021() 由pa ，pb 倾斜角互补知k k pa pb =- 即221020 p y y p y y +=-+ 所以y y

18、 y 1202+=- 故y y y 120 2+=- 设直线ab 的斜率为k ab 由y px 2222=，y px 1212= 相减得()()()y y y y p x x 2121212-+=- 所以k y y x x p y y x x ab =-=+212112 122() 将y y y y 120210+=-()代入得 k p y y p y ab =+=-2120 ，所以k ab 是非零常数 （18）本小题主要考查函数、数列等基本学问，考查分析问题和解决问题的力量满分14分 解：（i ）由f f ()()020=，得f ()00= 由f f ()()1212=及f ()11=，得f

19、 f ()()1 2 12112= 同理，f f ()()1412124 =1 归纳得f i i i ()(,)121212= 2021 （ii ）当 12121 i i x -时 f x k x i i ()()=+-1212 11 a k i i i i i i i =+-12121212121212 1111()() =-1=-()(,)142 1221k i i 所以a n 是首项为1214 ()-k ，公比为14的等比数列 所以s k a a a k k n n ()lim()()()=+=-=-1212 14114 2314 s k ()的定义域为0k 1，当k =1时取得最小值12 （19）本小题主要考查解不等式等基本学问，考查应用数学学问分析问题和解决问题的力量满分12分 解：（i ）列车在b ，c 两站的运行误差（单位：分钟）分别是 |3007v -和|48011v - （ii ）由于列车在b ，c 两站的运行误差之和不超过2分钟，所以 | |3007480112v v -+- （*） 当03007v