计算机数学基础第章导数与微分PPT课件

1、对于匀速直线运动来说，其速度公式为: 路路程程速速度度时时间间一物体作变速直线运动，物体的位置 与时间st00()( )ss tts t 的函数关系为 , 称为位置函数( )ss t 2.1.1 引例到时刻0tt s 设物体在时刻内经过的路程为0t例1 变速直线运动的速度2.1 导数的概念第1页/共51页00()()s tts tsvtt 00000()( )( )limlimttss tts tv ttt 0( )v t瞬时速度无限变小时，平均速度就无限接近于vt 0( )v t时刻的越小,平均速度 就越接近于物体在0tt v0t0t 时，平均速度的极限值就是物体在v时刻的瞬时速度 ，即0(

2、 )vt0tt 到时刻0t于是，物体在时刻的平均速度为第2页/共51页例2 平面曲线的切线斜率 曲线 的图像如图所示,在曲线上任取两点 和 ，作割线 ，割线的斜率为)(xfy 00()M x ,y),(00yyxxN 00()()tanMNf xxf xykxx MNyxO( )yf x MNTx0 xxx0yP第3页/共51页这里 为割线MN的倾角，设 是切线MT的倾角，当 时，点N沿曲线趋于点M。若上式的极限存在，记为k，则此极限值k就是所求切线MT的斜率，即xxfxxfxykxxx )()(limlimtanlimtan00000 0 xyxO( )yf x MNTx0 xxx0yP第4

3、页/共51页定义 设y=f(x)在点x0的某邻域内有定义， 属于该邻域，记 若存在，则称其极限值为y = f (x)在点x0 处的导数，记为xx0),()(00 xfxxfy xyx0limxxfxxfx )()(lim000.|dd,|dd,|)(0000 xxxxxxxfxyyxf或或或.)()(limlim)(00000 xxfxxfxyxfxx 或2.1.2 导数的概念与几何意义1.导数的概念第5页/共51页导数定义与下面的形式等价：.)()(lim)(0000 xxxfxfxfxx 若y =f (x)在x= x0 的导数存在，则称y=f(x)在点x0 处可导，反之称y = f (x)

4、在x = x0 不可导，此时意味着不存在.函数的可导性与函数的连续性的概念都是描述函数在一点处的性态，导数的大小反映了函数在一点处变化(增大或减小)的快慢.第6页/共51页2.左导数与右导数 左导数:.)()(lim)(0000 xxfxxfxfx 右导数:.)()(lim)(0000 xxfxxfxfx显然可以用下面的形式来定义左、右导数,)()(lim)(0000 xxxfxfxfxx .)()(lim)(0000 xxxfxfxfxx 定理3.1 y = f (x)在x =x0可导的充分必要条件是y = f (x)在x=x0 的左、右导数存在且相等.第7页/共51页3.导数的几何意义 当

5、自变量 从变化到 时，曲线y=f(x)上的点由 变到).(,(00 xxfxxM此时 为割线两端点M0，M的横坐标之差，而 则为M0，M 的纵坐标之差，所以 即为过M0，M两点的割线的斜率.0 x).(,(000 xfxMxyxyxx0M0M0 xxx0第8页/共51页 曲线y = f (x)在点M0处的切线即为割线M0M当M沿曲线y=f(x)无限接近 时的极限位置M0P，因而当 时，割线斜率的极限值就是切线的斜率.即：0 0 xD D00()limlimtantanxyfxkx 所以，导数 的几何意义是曲线y = f (x) 在点M0(x0,f(x0)处的切线斜率.)(0 xf M0M0 x

6、xx0P P0 0M 第9页/共51页 设函数y=f(x)在点处可导，则曲线y=f(x)在点处的切线方程为： 而当 时,曲线 在 的切线方程为0001()().()yf xxxfx 0 xx (即法线平行y轴).0 xx 000()()().yf xfxxx 当 时,曲线 在 的法线方程为0()0fx ( )f x0M而当 时,曲线 在 的法线方程为0()0fx ( )f x0M0()fx ( )f x0M第10页/共51页例3 求函数 的导数解: (1)求增量: (2)算比值: (3)取极限: 同理可得:特别地, . 2xy ()( )yf xxf x 222()2()xxxx xx xxx

7、y2xxxxyyxx2)2(limlim00为正整数）nnxxnn()(111( )()xn 第11页/共51页例4 求曲线 在点 处的切线与法线方程.解:因为 ,由导数几何意义,曲线 在点 的切线与法线的斜率分别为: 于是所求的切线方程为:即法线方程为:3xy )8 , 2(233)(xx3xy )8 , 2(1211,12)3(122221kkxykxx)2(128xy01612 yx)2(1218xy即09812yx第12页/共51页2.1.3 可导性与连续性的关系定理2 若函数y = f (x)在点x0处可导，则f(x)在点x0 处连续.证 因为f (x)在点x0处可导，故有00()l

8、im.xyfxx 根据函数极限与无穷小的关系,可得:00()lim0.xyfxx ，其其中中两端乘以 得:0()yfxxx x由此可见:000limlim()0.xxyfxxx 即函数y = f (x)在点x0 处连续.证毕.第13页/共51页例5 证明函数 在x=0处连续但不可导.|yx 证 因为0lim| 0 xx 所以 在x =0连续|yx 00(0)limlim1xxyxfxx 1limlim)0(00 xxxyfxx而即函数 在x=0处左右导数不相等,从而在|yx x=0不可导.由此可见，函数在某点连续是函数在该点可导的必要条件，但不是充分条件即可导定连续,连续不一定可导.第14页/

9、共51页 设函数u(x)与v(x) 在点x处均可导，则:定理一(1) ( )( )( )( );u xv xu xv x(2) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ),u x v xu x v xu x v xuCCuCCxv ) (,()(,则则为常数）为常数）特别地特别地2)()()()()()()()3(xvxvxuxvxuxvxu ( )1,u x 2.2.1 函数的和、差、积、商的求导法则2.2 求导法则特别地,如果可得公式21( ) ( ( )0)( ) ( )v xv xv xv x 第15页/共51页wvuwvu )(注：法则（1）（2）均可推广到有限多个可导函数的情形wu

10、vwvuvwuuvw )(例：设u=u(x),v=v(x),w=w(x)在点x处均可导，则第16页/共51页)3lnsin(3 xexyx解： )3(ln)(sin)()(3 xexxxexxcos32 例2 设52 ,xyxy 求求)(52)(5 xx2xx解：)25( xxy2ln25225xxxx yxexyx ，求，求设设3lnsin3例1第17页/共51页)(tan xy)cossin( xx解：xxxxx2cos)(cossincos)(sin xxx222cossincos xx22seccos1 即 2(tan)secxx 2(cot)cscxx 类似可得例3 求y = tan

11、x 的导数第18页/共51页)cos1( xxx2cossin )(sec xy解：xxtancos1 xx tansec 即(sec )sectanxxx (csc )csccotxxx 类似可得例4 求 y = secx 的导数第19页/共51页 定理二)(xu 如果函数在x处可导，而函数y=f(u)在对应的u处可导， 那么复合函数)(xfy 在x处可导，且有dydy dudxdu dx或xuxyyu对于多次复合的函数，其求导公式类似，此法则也称链导法注：2.2.2 复合函数的导数第20页/共51页xuxuy)1()(sin2 xu 2cos )1cos(22xx 例7yxy 求求,2ln

12、sin222lncos22 xxxxxxxy2221212lncos222 解：解：复合而成复合而成可看作可看作221,sin)1sin(xuuyxy yxy 求求),1sin(2例6第21页/共51页定理三, 0)( y 且且)(yx 如果单调连续函数在某区间内可导，则它的反函数y=f(x)在对应的区间内可导，且有1dydxdydx 1( )( )fxy 或证 因为 的反函数 ( )( )yf xxy 是是( ) ( )xyf x所所以以有有dxdydydx 1上式两边对x求导得xyf 1或dydxdxdy1 或1( )( )fxy 所所以以 0)(ydydx 2.2.3 反函数的求导法则第

13、22页/共51页）内单调且可导，）内单调且可导，在区间（在区间（而而2,2sin yx, 0cos)(sin yyy且且解：y = arcsinx 是x = siny 的反函数因此在对应的区间（-1，1）内有)(sin1)(arcsin yxxycos1 y2sin11 211x 21(arcsin )1xxx 即同理21(arccos )1xxx 21(arctan )1xx 21(cot )1arcxx 求函数y = arcsinx 的导数例8 第23页/共51页基本导数公式表为常数）为常数）CC(0).(1 为常数）为常数） ().(21 xxaxxaln1).(log3 14.(ln)

14、xx xxee ).(6xxcos).(sin7 xxsin).(cos8 2.2.4 基本初等函数的导数aaaxxln)(5 . .第24页/共51页xxx22cos1sec).(tan9 xxxtansec).(sec11 xxxcotcsc).(csc12 211).(arcsin13xx 211).(arccos14xx 211).(arctan15xx 21161.(arccot ) xx xxcosh).(sinh17 xxsinh).(cosh18 xxx22sin1csc).(cot10 第25页/共51页)sin2()sin2(3222 xxxx)cos4()sin2(322

15、xxxx )sin2(32 xxy解：22)cos4()sin2(322 xxxxxxy22)12(6 2,)sin2(32 xyxxy求求设设例5第26页/共51页22xyxyeyex 1. 隐函数的导数例9 求方程 所确定的函数的导数解：方程两端对x求导得0)2(2 xyeyxxyye)0(2 xey2.2.5 隐函数和由参数方程确定的函数的导数隐函数即是由 所确定的函数，其求导方法就是把y看成x的函数，方程两端同时对x求导，然后解出 。 ( , )F x yy 20yxex ye即第27页/共51页例10dxdyyxy求求设设),2arctan( 解：两边对x求导得)21()2(112y

16、yxy 1)2(12 yxy得得解解出出 ,y 第28页/共51页)1ln(2)1(xxxexyy 2 2可可以以写写成成函函数数解一)1ln(2 xxey )1ln(2)1ln(2 xxexx )1(1)1ln(222)1ln(2xxxxexx 222212)1ln()1(xxxxxyxyx 求求设设,)1(2例11第29页/共51页)1ln(ln2xxy 两边对x求导，由链导法有xxxxyy21)1ln(122 22212)1ln(xxx 222212)1ln()1(xxxxyx 解二称为对数求导法，可用来求幂指函数和多个因子连乘积函数、开方及其它适用于对数化简的函数的求导注：两边取自然对

17、数两边取自然对数将函数将函数xxy)1(2 解二第30页/共51页)1ln(21)43ln(21)1ln(21ln2 xxxy解：将函数取自然对数得)1(21)43(23112 xxxxyy两边对x求导得2231(1)(34)(1)12(34)2(1)xyxxxxxx 所所以以yxxxy 求求设设, ) 1)(43)(1(2例12第31页/共51页且)(tx )(),(tytx 设均可导,具有单值连续反函数)(1xt ，则参数方程确定的函数可看成)(ty 与)(1xt 复合而成的函数，根据求导法则有：求得y对x的导数对参数方程所确定的函数y=f(x),可利用参数方程直接dydy dtdxdt

18、dx dtdxdtdy1 )(1)(tt ( )( )tt 此即参数方程所确定函数的求导公式2.参数方程所确定的函数的导数变量y与x之间的函数关系有时是由参数方程)()(txty 确定的，其中t 称为参数第32页/共51页 解：曲线上对应t =1的点（x, y)为（0,0）,曲线t =1在处的切线斜率为1 tdxdyk12231 ttt122 于是所求的切线方程为 y =x123 txtty求曲线在t =1处的切线方程例13第33页/共51页 dxdydxddxyd22即,)( yy )()( xfxf或22)(dxxfd,y 记作),(xf 22dxyd或二阶导数：)(xfy 如果函数f(x

19、)的导函数仍是x的可导函数，就称)(xfy 的导数为f(x)的二阶导数，n阶导数：( )( )( )( )nnnnd ddd yf xfxydx dxdxdx二阶及二阶以上的导数统称为高阶导数高阶导数的计算：运用导数运算法则与基本公式将函数逐次求导2.2.6 高阶导数第34页/共51页,lnaayx 解：nxnaay)(ln)( ,)(ln2aayx ,特别地,)(xxee xnxee )()(,)(xxee ,例15)(,sinnyxy求求设设 )2sin( xy)2cos( x)22sin( x解：)(sin xyxcos )2sin( x )22sin( xy)23sin( x)2sin

20、()( nxyn即( )(sin)sin()2nxxn 同理( )(cos )cos()2nxxn )(,nxyay求求设设 例14第35页/共51页解如图，正方形金属片的面积 A 与边长 x 的函数关系为A = x2 , 受热后当边长由x0伸长到x0+ 时, 面积A相应的增量为x2.3.1 微分的概念例1 设有一个边长为x0的正方形金属片，受热后它的边长伸长了 ，问其面积增加了多少？x 2 0 x A 0 x x x 0 x x 0 x 2 x 202020)(2)(xxxxxxA 2.3 微分第36页/共51页的线性函数同阶的无穷小；同阶的无穷小；时与时与是当是当xxxx 0,20从上式可

21、以看出，xA是分成两部分：第一部分xA 是是分分成成两两部部分分：第第一一部部分分高阶的无穷小。高阶的无穷小。时比时比是当是当第二部分第二部分xxx 0,)(2这表明的的近近似似值值：数数作作为为很很小小时时，可可用用其其线线性性函函Ax 02.Axx这部分就是面积A 的增量的主要部分（线性主部）,2)()(0200 xxxxx A A因因为为所以上式可写成0().AA xx 第37页/共51页)()(00 xfxxfy 可以表示为定义设函数)(xfy 在点0 x的某邻域内有定义，处的增量0 x在点)(xf如果函数),( xoxAy 于是,（2.3.1)式可写成0 xxdAA 处的微分，0 x

22、)(xfxA 可微，称为在点0 x处在点)(xf高阶的无穷小，则称函数时0 x)( xo x其中A是与无关的常数，是当比x00 d | d |.x xx xyyAx，即即记为第38页/共51页由微分定义，函数f (x)在点x0处可微与可导等价，且0()Afx ,因而)(xf在点 x0处的微分可写成00d()x xyf xx上式两端同除以自变量的微分，得d( )dyf xx因此导数也称为微商可微函数：如果函数在区间(a , b)内每一点都可微， 则称该函数在(a , b)内可微。00d()dx xyf xx于是函数通常把x 记为，称自变量的微分，f (x)在点x0 处的微分又可写成d xd( )

23、dyfxxf(x) 在(a,b)内任一点x处的微分记为第39页/共51页解：0201. 0101. 1)(2222 xxxy例2 求函数 y=x2 在 x=1,01. 0 x时的改变量和微分。于是 110.010.01d20.02xxxxyx x 面积的微分为 d2.rssrr r .)(2)(222rrrrrrs解：面积的增量面积的增量与微分r当半径增大2rs例3半径为r的圆的面积时，求2d()2yxxx x 在点1x处，第40页/共51页2.3.2 微分的几何意义x当自变量x有增量时，切线MT 的纵坐标相应地有增量tan( )dPxf xxy Q( , )M x y因此，微分d( )yfx

24、x几何上表示当x有增量x时，曲线 ( )yf x在对应点处的切线的纵坐标的增量 y用d y近似代替dyyPN 就是用QP近似代替QN，并且tan( )f x设函数y = f (x)的图形如下图所示.过曲线y = f (x)上一点M(x,y)处作切线MT,设MT的倾角为则则, y ( )yf x MNOxy d yxxx Q QPT第41页/共51页2.3.3 微分的运算法则1. 微分的基本公式：(1) d0 () CC为为常常数数1(2) dd () aaxaxxa 为为常常数数(4) dee dxxx 1(6) dlndxxx (8) dcossin dxx x (3) dln d (01)

25、xxaaaxa,a11(5) dlogd (01)lnaxxa,axa(7) dsincos d xx x 第42页/共51页21(16) d arccot d 1xxx 21(14) d arccos d1xxx 21(13) darcsin d1xxx 21(15) d arctan d 1xxx 2(10) dcotcscdxx x 2(9) d tan secdxx x (12) dcsc csccot dxxx x (11) dsec sectan dxxx x 续前表第43页/共51页2. 微分的四则运算法则设u=u(x)，v=v(x)均可微 ，则d()dd ;uvuvd()dd ;uvv uu vd()dCuCu （C 为常数）；2ddduvuu vvv0().v 第44页/共51页3复合函数的微分法则都是可导函数，则( )( )yf uux，设函数的微分为)(xfy复合函数d( )d( ) ( )dxyfxxf uxx 利用微分形式不变性，可以计算复合函数和隐函数的微分.这就是一阶微分形式不变性.可见，若y=f(u)可微，不论u是自变量还是中间变量，d(