2021高考数学第一轮复习 数列概念及通项公式

1、2021高考数学第一轮复习 数列概念及通项公式 1.本讲复习主要以数列的概念、通项公式的求法为主.2.对于归纳通项公式的题目,归纳出通项后要进行验证.3.娴熟把握求解数列通项公式的基本方法,尤其是已知递推关系求通项这种基本的方法,另外留意累加法、累积法的敏捷应用. 第1讲 数列的概念与简洁表示法 【2021年高考会这样考】 1以数列的前几项为背景，考查“归纳推理”思想 2考查已知数列的通项公式或递推关系，求数列的某项 3考查由数列的递推关系式求数列的通项公式，已知sn与an的关系求an等 【复习指导】 1本讲复习主要以数列的概念、通项公式的求法为主 2对于归纳通项公式的题目，归纳出通项后要进行

2、验证 3娴熟把握求解数列通项公式的基本方法，尤其是已知递推关系求通项这种基本的方法，另外留意累加法、累积法的敏捷应用 基础梳理 1数列的定义 根据肯定挨次排列着的一列数称为数列数列中的每一个数叫做这个数列的项 2数列的分类 1.本讲复习主要以数列的概念、通项公式的求法为主.2.对于归纳通项公式的题目,归纳出通项后要进行验证.3.娴熟把握求解数列通项公式的基本方法,尤其是已知递推关系求通项这种基本的方法,另外留意累加法、累积法的敏捷应用. 3.数列的表示法 数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和解析法 4数列的通项公式 假如数列an的第n项an与n之间的函数关系可以用一个式子那么这个公式叫

3、做这个数列的通项公式 5sn与an的关系 s1，n1， an已知sn，则an 在数列an中，若an最大，则 若 s，n2.aa. n11 anan最小，则 ana. 一个联系 数列是一种特别的函数，即数列是一个定义在非零自然数集或其子集上的函数，当自变量依次从小到大取值时所对应的一列函数值，就是数列因此，在讨论函数问题时既要留意函数方法的普遍性，又要考虑数列方法的特别性 两个区分 这有别于集合中元素的无序性 三种方法 由递推式求通项a的方法： f(n)型，采纳叠乘法； 双基自测 1(人教a版教材习题改编)已知数列an的前4项分别为2,0,2,0，则下列各式不行以作为数列an的通项公式的一项是(

4、 ) aan1(1)n1 n ban2sin2 1.本讲复习主要以数列的概念、通项公式的求法为主.2.对于归纳通项公式的题目,归纳出通项后要进行验证.3.娴熟把握求解数列通项公式的基本方法,尤其是已知递推关系求通项这种基本的方法,另外留意累加法、累积法的敏捷应用. can1cos n 解析 依据数列的前4项验证 答案 b 2，n为奇数 dan 0，n为偶数 2在数列an中，a11，an2an11，则a5的值为( ) a30 b31 c32 d33 解析 a52a412(2a31)122a32123a2222124a123222131. 答案 b 3已知an1an30，则数列an是( ) a递增

5、数列 c常数列 b递减数列 d不确定 解析 an1an30，an1an30，an1an. 故数列an为递增数列 答案 a 4设数列an的前n项和snn2，则a8的值为( ) a15 b16 c49 d64 解析 由于snn2，a1s11. 当n2时，ansnsn1n2(n1)22n1，又a11适合上式 an2n1，a828115. 答案 a 5(2021泰州月考)数列1,1,2,3,5,8,13，x,34,55， 中x的值为_ 解析 观看数列中项的规律，易看出数列从第三项开头每一项都是其前两项的和 答案 21 考向一 由数列的前几项求数列的通项 【例1】 写出下面各数列的一个通项公式： (1)

6、3,5,7,9， ； 1371531 (2)2，4，8，16，32， ； 1.本讲复习主要以数列的概念、通项公式的求法为主.2.对于归纳通项公式的题目,归纳出通项后要进行验证.3.娴熟把握求解数列通项公式的基本方法,尤其是已知递推关系求通项这种基本的方法,另外留意累加法、累积法的敏捷应用. 31313 (3)1，2，3，4，5，6， ； (4)3,33,333,3 333， . 审题视点 先观看各项的特点，然后归纳出其通项公式，要留意项与项之间的关系，项与前后项之间的关系 解 (1)各项减去1后为正偶数，所以an2n1. n21 (2)每一项的分子比分母少1，而分母组成数列21,22,23，2

7、4， ，所以an2(3)奇数项为负，偶数项为正，故通项公式中含因子(1)n；各项肯定值的分母组成数列1,2,3,4， ；而各项肯定值的分子组成的数列中，奇数项为1，偶数项为 n 2 1 3，即奇数项为21，偶数项为21，所以an(1)nn. 1 nn为正奇数， 也可写为an 3 nn为正偶数. 9999999 999 (4)将数列各项改写为：3，3，3，3 1 分母都是3，而分子分别是101,1021,1031，1041， ，所以an3(10n1) 依据数列的前几项求通项公式时，需认真观看分析，抓住以下几方面 的特征：(1)分式中分子、分母的特征；(2)相邻项的变化特征；(3)拆项后的特征：把

8、数列的项分成变化的部分和不变的部分；(4)各项符号特征若关系不明显时，应将部分项作适当的变形，统一成相同的形式，让规律凸现出来 【训练1】 已知数列an的前四项分别为1,0,1,0，给出下列各式： 1 1 n1 1 n1cos n2nan；a；asin；a；annnn 2222 1 n为正偶数 1 1 n1 ；an(n1)(n2)其中可以作为数列an的通 2 0 n为正奇数 项公式的有_(填序号) 答案 考向二 由an与sn的关系求通项an 1.本讲复习主要以数列的概念、通项公式的求法为主.2.对于归纳通项公式的题目,归纳出通项后要进行验证.3.娴熟把握求解数列通项公式的基本方法,尤其是已知递

9、推关系求通项这种基本的方法,另外留意累加法、累积法的敏捷应用. 【例2】 已知数列an的前n项和为sn3n1，则它的通项公式为an_. 审题视点 利用ansnsn1(n2)求解 解析 当n2时，ansnsn13n1(3n11)23n1；当n1时，a1s12也满意an23n1. 故数列an的通项公式为an23n1. 答案 23n1 s1，n1， 数列的通项an与前n项和sn的关系是an 当n snsn1， n2. 1时，a1若适合snsn1，则n1的状况可并入n2时的通项an；当n1时，a1若不适合snsn1，则用分段函数的形式表示 【训练2】 已知数列an的前n项和sn3n22n1，则其通项公

10、式为_ 解析 当n1时，a1s13122112； 当n2时，ansnsn13n22n13(n1)22(n1)16n5，明显当n1时，不满意上式 2，n1，故数列的通项公式为an 6n5，n2. 2，n1 答案 an 6n5，n2 考向三 由数列的递推公式求通项 【例3】 依据下列条件，确定数列an的通项公式 (1)a11，an13an2； n1 (2)a11，annan1(n2)； (3)已知数列an满意an1an3n2，且a12，求an. 审题视点 (1)可用构造等比数列法求解(2)可转化后利用累乘法求解(3)可利用累加法求解 解 (1)an13an2，an113(an1)， an113，数

11、列an1为等比数列，公比q3， an1又a112，an123n1，an23n11. 1.本讲复习主要以数列的概念、通项公式的求法为主.2.对于归纳通项公式的题目,归纳出通项后要进行验证.3.娴熟把握求解数列通项公式的基本方法,尤其是已知递推关系求通项这种基本的方法,另外留意累加法、累积法的敏捷应用. n1n21 (2)annan1(n2)，an1an2， ，a221.以上(n1)个式子相乘 n1n1a112 得ana1 23nnn(3)an1an3n2，anan13n1(n2)， n 3n1 an(anan1)(an1an2) (a2a1)a1(n2)当n1时， 213na12(311)2符合

12、公式，an222 已知数列的递推关系，求数列的通项时，通常用累加、累乘、构造法 求解当消失anan1m时，构造等差数列；当消失anxan1y时，构造等比数列；当消失anan1f(n)时，用累加法求解；当消失法求解 【训练3】 依据下列各个数列an的首项和基本关系式，求其通项公式 (1)a11，anan13n1(n2)； 1 (2)a12，an1anln 1n. 解 (1)anan13n1(n2)，an1an23n2， an f(n)时，用累乘an1 an2an33n3， a2a131， 以上(n1)个式子相加得 ana13132 3 n1 1332 3 n1 3n12. 1 1 (2)an1a

13、nln， n n11 1an1anln lnn， n n1n anan1ln，an1an2ln， n1n2 2 a2a11 1.本讲复习主要以数列的概念、通项公式的求法为主.2.对于归纳通项公式的题目,归纳出通项后要进行验证.3.娴熟把握求解数列通项公式的基本方法,尤其是已知递推关系求通项这种基本的方法,另外留意累加法、累积法的敏捷应用. 以上(n1)个式相加得， n1n2 ana1ln ln1ln n又a12， n1n2anln n2. 考向四 数列性质的应用 10 【例4】 已知数列an的通项an(n1) 11 n(nn)，试问该数列an有没有最 大项？若有，求最大项的项数；若没有，说明理

14、由 审题视点 作差：an1an，再分状况争论 10n1 10n 10n9n 解 an1an(n2)11(n1) 11 1111 当n9时，an1an0，即an1an； 当n9时，an1an0，即an1an； 当n9时，an1an0，即an1an； 故a1a2a3 a9a10a11a12 ，所以数列中有最大项为第9,10项 (1)数列可以看作是一类特别的函数，因此要用函数的学问，函数的思 想方法来解决 (2)数列的单调性是高考常考内容之一，有关数列最大项、最小项、数列有界性问题均可借助数列的单调性来解决，推断单调性时常用作差法，作商法，结合函数图象等方法 【训练4】 已知数列an的前n项和snn

15、224n(nn*) (1)求an的通项公式； (2)当n为何值时，sn达到最大？最大值是多少？ 解 (1)n1时，a1s123. n2时，ansnsn1n224n(n1)224(n1)2n25.阅历证，a123符合an2n25， an2n25(nn*) (2)法一 snn224n，n12时，sn最大且sn144. 法二 an2n25， 25 an2n250，有n2a120，a130， 1.本讲复习主要以数列的概念、通项公式的求法为主.2.对于归纳通项公式的题目,归纳出通项后要进行验证.3.娴熟把握求解数列通项公式的基本方法,尤其是已知递推关系求通项这种基本的方法,另外留意累加法、累积法的敏捷应用. 故s12最大，最大值为144. 难点突破13数列中最值问题的求解 从近几年新课标高考可以看出，对求数列中的最大项是高考的热点，一般难度较大解决这类问题时，要利用函数的单调性讨论数列的最值，但要留意数列的单调性与函数的单调性有所不同，其自变量的取值是不连续的，只能取