宏观强度理论基础

1、1 材料强度的宏观（表象）理论材料强度的宏观（表象）理论 材料的本构关系是指材料在受力变形时表现出来的材料的本构关系是指材料在受力变形时表现出来的应力应力应变应变时间时间之间的关系（若与时间无关，本构关系又可称之间的关系（若与时间无关，本构关系又可称为应力应变关系）。不同类型的材料具有不同的本构关系，为应力应变关系）。不同类型的材料具有不同的本构关系，本节讨论如下几种类型固体的本构关系：本节讨论如下几种类型固体的本构关系：线弹性体（弹性变形）；线弹性体（弹性变形）；粘弹性体（粘弹性变形）；粘弹性体（粘弹性变形）；弹塑性体（塑性变形）；弹塑性体（塑性变形）；1.1 材料的变形及本构关系材料的变形

2、及本构关系1.1.1 弹性变形弹性变形1 1、简单加载下的弹性变形、简单加载下的弹性变形xxE纯拉伸时：纯拉伸时：xyxyG纯剪切时：纯剪切时：xy泊松比：泊松比：剪切弹性模量：剪切弹性模量：xyxyG正弹性模量：正弹性模量：xxE12EG三个弹性常数之间的关系：三个弹性常数之间的关系：弹性变形弹性变形施加外力即刻产生、去除外力即刻回复的变形。其特征为：施加外力即刻产生、去除外力即刻回复的变形。其特征为： 变形量与作用力呈单值、唯一正比关系，与加载路径无关；变形量与作用力呈单值、唯一正比关系，与加载路径无关； 变形是瞬时达到的，与时间无关。变形是瞬时达到的，与时间无关。2、复杂加载下的弹性变形

3、广义虎克定律、复杂加载下的弹性变形广义虎克定律1 1）普遍表达式）普遍表达式 在在 连续连续、 均匀均匀、 无初应力无初应力、 变形微小变形微小的基本假设下，可推导的基本假设下，可推导出表示线弹性固体中任意一点的应力应变关系的广义虎克定律。出表示线弹性固体中任意一点的应力应变关系的广义虎克定律。xyzxyzzzyyxxxxf,1xyzxyzzzyyxxyyf,2xyzxyzzzyyxxzzf,3xyzxyzzzyyxxyzf,4xyzxyzzzyyxxzxf,5xyzxyzzzyyxxxyf,6由由连续性连续性假设假设1）普遍表达式（续）普遍表达式（续1） 在在变形微小变形微小的假设下，将上式

4、在的假设下，将上式在ij = 0 处展开成处展开成Tailor级数，并略去二级数，并略去二次方及以上的项：次方及以上的项：xyxyyyyyxxxxxxffff11110 , 0 , 0 xyxyyyyyxxxxxyffff66660 , 0 , 0在在无初应力无初应力的假设下，当的假设下，当ij = 0 时，时，ij = 0 ，于是有：，于是有：f(0,0,0) = 0，则有：，则有： ijC式中，式中，和和均为均为 6 阶列矢量，阶列矢量，Cij为为 66阶方阵，且有：阶方阵，且有：jiijfC6 , 2 , 1,ji1）普遍表达式（续）普遍表达式（续2）xyzxyzzzyyxxxyzxyz

5、zzyyxxCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCC666564636261565554535251464544434241363534333231262524232221161514131211 由由均匀性均匀性假设可知，若各点应力状态相同，则必对应相同的应变状态；假设可知，若各点应力状态相同，则必对应相同的应变状态；反之亦然。这说明反之亦然。这说明Cij为常数，称为为常数，称为刚度系数刚度系数，即上式为线性关系，此即广义，即上式为线性关系，此即广义Hooke 定律：定律：广义广义Hooke定律的应变表达式：定律的应变表达式： ijS式中，式中，Sij 称为称

6、为柔度系数柔度系数，可由刚度系数求逆得到，即：，可由刚度系数求逆得到，即： 1ijijCS2）刚度系数的对称性）刚度系数的对称性jiijCC ijijW以应变能密度表示应力应变关系：以应变能密度表示应力应变关系：由广义由广义Hook定律的第一式，得：定律的第一式，得：xyzxyzzzyyxxxxxxCCCCCCW161514131211再将此式对再将此式对yy 求偏导，得：求偏导，得：122CWyyxx同样对广义同样对广义Hook定律的第二式处理可得：定律的第二式处理可得：212CWxxyy因偏导数与微分顺序无关，故：因偏导数与微分顺序无关，故：2112CC线弹性体单位体积应变能：线弹性体单位

7、体积应变能： CWTT21213）弹性对称性）弹性对称性 在弹性体内，若过每一点的不同方向的弹性都不相同，则称为在弹性体内，若过每一点的不同方向的弹性都不相同，则称为各向各向异性异性，Cij 有有21个；若过每一点的不同方向的弹性都相同，则称为个；若过每一点的不同方向的弹性都相同，则称为各向同各向同性性，独立的，独立的Cij 有有2个。而介于二者之间的则具有某类弹性对称性。个。而介于二者之间的则具有某类弹性对称性。 所谓所谓弹性对称面弹性对称面：是指过物体中的每一个点都有这样一种平面，相：是指过物体中的每一个点都有这样一种平面，相对于该平面的对称方向上，弹性相同。垂至于弹性对称面的轴称为对于该

8、平面的对称方向上，弹性相同。垂至于弹性对称面的轴称为弹性弹性主轴主轴。 由弹性对称面的定义可知，当把弹性主轴倒置时，应具有相同的应由弹性对称面的定义可知，当把弹性主轴倒置时，应具有相同的应力应变关系，即力应变关系，即Cij 不会改变。不会改变。 然而，应变能然而，应变能W是应变的是应变的单值单值、标量标量函数，不会因坐标的改变（弹函数，不会因坐标的改变（弹性轴倒置）而改变其量值，但是当坐标轴倒置后，某些应变分量将变号，性轴倒置）而改变其量值，但是当坐标轴倒置后，某些应变分量将变号，因此会限制某些刚度系数的取值。因此会限制某些刚度系数的取值。应变能密度展开式应变能密度展开式xyxxzxxxyzx

9、xzzxxyyxxxxCCCCCCW161514131221121xyyyzxyyyzyyzzyyyyCCCCC2625242322221xyzzzxzzyzzzzzCCCC36353423321xyyzzxyzyzCCC464524421xyzxzxCC562552126621xyC（1）有一个弹性对称面（）有一个弹性对称面（xoy面）面）将将 z 轴倒置成轴倒置成 z轴，有轴，有 z=-z，w=-w，考察与，考察与 z有关的应变分量：有关的应变分量：zzzzzwzwzwyzzyzvywzvywzxxzxwzuxwzu为保证应变能为保证应变能W值不变，含值不变，含yz 和和zx 一次方的项前

10、的弹性常数必须为一次方的项前的弹性常数必须为0，即：，即：05646353425241514CCCCCCCC 66362616554545443633231326232212161312110000000000000000CCCCCCCCCCCCCCCCCCCCC 刚度系数减少了刚度系数减少了8个，仅剩下个，仅剩下13个。个。u、分别为x、y、z轴方向上的位移分量一个弹性对称面，13个刚度系数（2）有三个相互垂直的对称面正交异性）有三个相互垂直的对称面正交异性沿用上述方法，取沿用上述方法，取 x、y、z 三轴为弹性主轴，则：三轴为弹性主轴，则：首先将首先将 z 轴倒置后有：轴倒置后有：0564

11、6353425241514CCCCCCCC其次将其次将 y 轴倒置，因轴倒置，因yz 变号有：变号有： （已有）（已有）056342414CCCC 因因xy 变号有：变号有： （新增）（新增）045362616CCCC最后将最后将 x 轴倒置，但不会得到新的为轴倒置，但不会得到新的为0的系数。的系数。故在正交各向异性状态下，弹性常数减少了故在正交各向异性状态下，弹性常数减少了12个，只剩下个，只剩下9个：个： 665544332313232212131211000000000000000000000000CCCCCCCCCCCCC拉压剪切耦合（交叉效应）拉压剪切耦合（交叉效应）出面剪切耦合出面

12、剪切耦合两个或者三个互相垂直的弹性对称面，都是9个刚度系数（3）横观各向同性）横观各向同性定义定义：若过物体每一个点都有这样一种平面，在此面内的各个方向上弹性：若过物体每一个点都有这样一种平面，在此面内的各个方向上弹性相同，则此面称为横观各向同性面。相同，则此面称为横观各向同性面。另外，另外，x、y 轴不论转过任何角度，应力应变关系都保持相同，可得：轴不论转过任何角度，应力应变关系都保持相同，可得：12116621CCC因此，独立的弹性常数仅剩下因此，独立的弹性常数仅剩下5个：个： 1211444433131313111213121121000000000000000000000000CCCC

13、CCCCCCCCCC2211CC5544CC2313CC设设 xoy 面为横观各向同性面，当面为横观各向同性面，当xx 和和yy 互换，以及互换，以及yz 和和zx 互换时，应有：互换时，应有：（4）完全各向同性）完全各向同性任意方向都是弹性主方向，既有：任意方向都是弹性主方向，既有：332211CCC231312CCC121156554421CCCCC此时，独立的弹性常数仅剩下此时，独立的弹性常数仅剩下2个：个：C11 和和 C12： 200000020000002000000000000121112111211111212121112121211CCCCCCCCCCCCCCCC4）广义）广

14、义Hook定律的工程表示法定律的工程表示法在各向同性条件下，令：在各向同性条件下，令：111SE 1112SS121121SSG则广义则广义Hooke定律可写成工程上广泛应用的形式：定律可写成工程上广泛应用的形式：zzyyxxxxE1xxzzyyyyE1yyxxzzzzE1yzyzG1zxzxG1xyxyG11.1.2 粘弹性变形粘弹性变形1 1、粘性流动、粘性流动d/dtttt1t1概念概念：在很小外力下便会发生，且在外力去除后不会恢复的流动。：在很小外力下便会发生，且在外力去除后不会恢复的流动。特点特点：屈服值为：屈服值为 0 ； 变形不仅取决于应力，同时依赖于应力作用的时间；变形不仅取决

15、于应力，同时依赖于应力作用的时间；11 1）NewtonNewton流动流动dtd2）非）非Newton流动流动y宾汉流动宾汉流动假塑性流动假塑性流动（切变变稀）（切变变稀）切变增稠流动切变增稠流动在非在非Newton流动区，可用指数方程来描述流动规律：流动区，可用指数方程来描述流动规律：nC式中，式中，n 为非为非Newton指数，其值愈低，愈呈假塑性；指数，其值愈低，愈呈假塑性；n = 1 时，即为时，即为Newton流体。流体。2、粘弹性变形、粘弹性变形1 1）MaxwellMaxwell模型模型 粘弹性变形是粘性变形和弹性变形的混合变形，因此，常用代表弹性变粘弹性变形是粘性变形和弹性变

16、形的混合变形，因此，常用代表弹性变形的弹簧元件和代表粘性变形的活塞元件组合起来构筑描述粘弹性体的本构形的弹簧元件和代表粘性变形的活塞元件组合起来构筑描述粘弹性体的本构方程。方程。 属两元件属两元件串连串连模型，模型，其特点为：其特点为： 两元件中应力相等，且两元件中应力相等，且等于总应力；等于总应力； 两元件应变不等，且非两元件应变不等，且非同时产生，总应变为同时产生，总应变为vetMaxwell模型本构关系模型本构关系 在恒应力在恒应力0 作用作用 t1 时间后，总变形为时间后，总变形为： tJtEtEt0101001 式中，式中，J(t) 称为蠕变柔量，是时间的线性函数。称为蠕变柔量，是时

17、间的线性函数。总应变速率为：总应变速率为：dtdEdtdt1 在恒应变时，应力将松弛在恒应变时，应力将松弛： ， 则有：则有：0dtdtEdtd积分得：积分得： ttEtexpexp00式中，式中， 称为松弛常数。称为松弛常数。E经无限长时间后，应力将仅由弹簧变形决定。经无限长时间后，应力将仅由弹簧变形决定。2）Voigt-Kelvin模型模型 属两元件属两元件并联并联模型：模型： 两元件等应变，且等于总应变；两元件等应变，且等于总应变； 总应力等于两元件应力之和。总应力等于两元件应力之和。dtdEveve或：或：Edtd13）三元件模型）三元件模型 1弹簧弹簧2活塞活塞 2弹簧弹簧1活塞活塞

18、1弹簧弹簧Maxwell组合件（并联）；组合件（并联）；1弹簧弹簧V-K组合件（串连）组合件（串连） 在该模型中，总应变在该模型中，总应变为弹簧应变为弹簧应变1及及V-K组件应变组件应变2 之和，而总应力之和，而总应力为为V-K组件中两元件应力之和。则有：组件中两元件应力之和。则有：dtddtdEdtddtddtd21211而：而：122222EdtdEdtd代入前式得：代入前式得：121211EEdtdEEdtd4）Zener模型标准线性固体模型标准线性固体组成：组成：Maxwell组件和组件和Voigt组件串联而成。组件串联而成。思路：思路：高聚物的变形是由三部分组成的：高聚物的变形是由三

19、部分组成的： 瞬时完成的普弹性变形，可用弹簧来瞬时完成的普弹性变形，可用弹簧来E1模拟；模拟； 链段伸展的高弹性变形，可以用弹簧链段伸展的高弹性变形，可以用弹簧E2和活塞和活塞2并联起来去模拟；并联起来去模拟； 高分子相互滑移引起的粘性变形，这种变形随高分子相互滑移引起的粘性变形，这种变形随时间线性发展，可以用一个活塞时间线性发展，可以用一个活塞3模拟。模拟。 用此模型描述线性高聚物的蠕变过程特别合适。蠕变过程中，因而用此模型描述线性高聚物的蠕变过程特别合适。蠕变过程中，因而高聚物的总变形为高聚物的总变形为 ttEEt302010321exp1Zener模型模拟的蠕变曲线及验证模型模拟的蠕变曲

20、线及验证5） 广义广义Maxwell模型模型 取任意多个取任意多个Maxwell 组件组件并联而成，让每个单元由不同并联而成，让每个单元由不同模量的弹簧和不同粘度的活塞模量的弹簧和不同粘度的活塞组成，因而具有不同的松弛时组成，因而具有不同的松弛时间，当模型在恒定应变时，其间，当模型在恒定应变时，其应力应为诸单元应力之和，即应力应为诸单元应力之和，即 nitiieEt0而应力松弛模量为而应力松弛模量为 nitiieEtE当当 n时，上式可写成积分形式时，上式可写成积分形式 0deftEt式中，式中，f( () )称为松弛时间谱。称为松弛时间谱。 广义广义Maxwell模型验证模型验证2 个个Ma

21、xwell单元并联组合模型单元并联组合模型应力松弛行为应力松弛行为聚异丁烯（聚异丁烯（25）应力松弛叠合曲线应力松弛叠合曲线6） 广义广义Voigt-Kelvin模型模型 广义广义Voigt模型是取任意多个模型是取任意多个Voigt单元串联单元串联而成，如右图。假设其第而成，如右图。假设其第i个单元的弹簧模量为个单元的弹簧模量为Ei，松弛时间为松弛时间为i，则在拉伸蠕变时，其总变形应为，则在拉伸蠕变时，其总变形应为全部全部Voigt单元形变的加和，即单元形变的加和，即 itiet1蠕变柔量为蠕变柔量为 nitiieDtD13、三维粘弹性变形、三维粘弹性变形 若设想弹簧和活塞可沿三轴方向变形，便

22、可以推广建立若设想弹簧和活塞可沿三轴方向变形，便可以推广建立Maxwell固体的三固体的三维本构关系。弹簧的应变率可由广义维本构关系。弹簧的应变率可由广义Hooke定律对时间微分得到，粘性变形与定律对时间微分得到，粘性变形与塑性变形一样，可假设体积不变，即泊松比为塑性变形一样，可假设体积不变，即泊松比为0.5，则将弹簧与活塞应变率相，则将弹簧与活塞应变率相加可得：加可得：zzyyxxzzyyxxxxdtddtddtdEdtd2111xxzzyyxxzzyyyydtddtddtdEdtd2111yyxxzzyyxxzzzzdtddtddtdEdtd2111yzyzyzdtdGdtd2321zxz

23、xzxdtdGdtd2321xyxyxydtdGdtd23211.1.3 塑性变形塑性变形 当受力物体中的某一点的应力满足屈服条件时，该点进当受力物体中的某一点的应力满足屈服条件时，该点进入塑性变形阶段。入塑性变形阶段。 对于大多数材料，总是先经过弹性变形，再过渡到塑性对于大多数材料，总是先经过弹性变形，再过渡到塑性变形，所以合称为弹塑性变形。变形，所以合称为弹塑性变形。 塑性变形最显著的两个特点是：塑性变形最显著的两个特点是： 应力应变为非线性关系应力应变为非线性关系； 应力应变关系的不唯一性应力应变关系的不唯一性。 应变不仅与应力状态有关，而且与达到该应力状态应变不仅与应力状态有关，而且与

24、达到该应力状态的途经（即变形历史）有关，应变不能单值地由应力唯的途经（即变形历史）有关，应变不能单值地由应力唯一确定。一确定。1、单向应力下的几种理想模型、单向应力下的几种理想模型1 1）理想刚塑性）理想刚塑性s 仅适合于材料塑性变形量很大，且强化仅适合于材料塑性变形量很大，且强化程度很低的状况。程度很低的状况。刚性（无变形）刚性（无变形）无强化塑性流动无强化塑性流动2 2）理想弹塑性）理想弹塑性Ess 时时s 时时无强化塑性流动无强化塑性流动理想（线）弹性理想（线）弹性3）刚塑性线性强化）刚塑性线性强化1Es式中，式中， E1 塑性模量。塑性模量。刚性（无变形）刚性（无变形）线性强化塑性线性

25、强化塑性4）弹塑性线性强化）弹塑性线性强化Es 时时ssE1s 时时线性强化塑性线性强化塑性线弹性线弹性5）弹性非线形强化）弹性非线形强化 常以幂硬化律来表达。代表性的幂常以幂硬化律来表达。代表性的幂硬化率有硬化率有Ramberg-Osgood法则：法则：nsssA式中，式中， A硬化系数；硬化系数； n 硬化指数。硬化指数。重要假设：重要假设：塑性变形体积不可压缩。塑性变形体积不可压缩。s如果如果 x 方向受拉或压后产生的塑性应变为方向受拉或压后产生的塑性应变为px则其它两个方向的塑性应变为则其它两个方向的塑性应变为pxpzpy5 . 02、复杂应力状态下的塑性本构方程、复杂应力状态下的塑性

26、本构方程Reuss（1930年）假定：年）假定：ijpijdd（1）式中，式中，i, j =x, y, z；d非负标量比例系数；应力偏量定义为：非负标量比例系数；应力偏量定义为：mijijijiji = j 时；时；i j 时；时；（2）其中，其中， 。zzyyxxm31（3）zzyyxxpxxdd2132xxzzyypyydd2132yyxxzzpzzdd2132yzpyzddzxpzxddxypxydd将（将（2）式代入（）式代入（1）式，可得）式，可得Reuss增量方程：增量方程：1）增量理论）增量理论1）增量理论（续）增量理论（续）仿照等效应变的概念，可定义仿照等效应变的概念，可定义“

27、等效塑性应变增量等效塑性应变增量”为：为：21222222632pxypzxpyzpxxpzzpzzpyypyypxxpdddddddddd（4）而等效应力为：而等效应力为：21222222621xyzxyzxxzzzzyyyyxx（5）将（将（4）和（）和（5）式代入（）式代入（3）式得：）式得：pdd23（6）则则Reuss本构方程的普遍形式为：本构方程的普遍形式为：zzyyxxppxxdd21xxzzyyppyydd21yyxxzzppzzdd21yzppyzdd23zxppzxdd23xyppxydd23（7）2）全量理论）全量理论基本假设基本假设： 比例变形：比例变形：iC13133

28、2322121（1）由（由（1）式和（）式和（3）式联立得：）式联立得：32112132iC13222132iC21332132iC（4）0321（3）0V1111321（2） 塑性变形体积不变：塑性变形体积不变： 小变形：小变形：2）全量理论（续）全量理论（续）Ci可通过等效应力和等效应变来确定：可通过等效应力和等效应变来确定：21213232221212121323222132（5）（6）实验表明，当实验表明，当 时，材料屈服，在单轴应力下，时，材料屈服，在单轴应力下， 根据根据V=0，也，也可证明：可证明： ，则在单轴应力下，由（，则在单轴应力下，由（4）、（）、（5）、（）、（6）式解

29、得：）式解得：23iCs11（7）则全量理论表达式为：则全量理论表达式为：321121132221213321（8）1.2 经典强度理论经典强度理论定义定义：三个主应力中任意一个达到单向强度：三个主应力中任意一个达到单向强度0 时，材料便时，材料便失效。失效。形式形式： i =1, 2, 3适用适用：过量弹性变形失效；：过量弹性变形失效； 无裂纹脆性材料受拉应力断裂。无裂纹脆性材料受拉应力断裂。原因原因：对金属材料，塑性变形是由剪应力控制的，而该理：对金属材料，塑性变形是由剪应力控制的，而该理论忽略了其作用。论忽略了其作用。0i1.2.1 最大正应力理论最大正应力理论1.2.2 最大正应变理论

30、最大正应变理论定义定义：三个主应变中任意一个达到单向拉伸失效正应变极限值：三个主应变中任意一个达到单向拉伸失效正应变极限值0 时，材料便失效。时，材料便失效。形式形式： i =1, 2, 3适用适用：过量弹性变形失效；：过量弹性变形失效； 无裂纹脆性材料受拉应力断裂。无裂纹脆性材料受拉应力断裂。0i利用利用Hooke定律，还可将最大正应变理论写成应力表达式：定律，还可将最大正应变理论写成应力表达式：032101320213最大正应力理论和最大正应变理论的实验验证最大正应力理论和最大正应变理论的实验验证灰铸铁薄壁圆管试件内压与轴向载荷试验灰铸铁薄壁圆管试件内压与轴向载荷试验1.2.3 最大剪应力

31、理论最大剪应力理论定义定义：在三向应力状态下，最大剪应力达到纯剪切失效的剪应：在三向应力状态下，最大剪应力达到纯剪切失效的剪应力时，材料便失效。力时，材料便失效。形式形式：0max200由于在单向拉伸（或压缩）时，由于在单向拉伸（或压缩）时， ，则该理论的正应力表，则该理论的正应力表达式为：达式为：021032013 该理论形式简单，在预测延性材料屈服或断裂时有相当高该理论形式简单，在预测延性材料屈服或断裂时有相当高的准确度，因而得到广泛应用。的准确度，因而得到广泛应用。0312312,max或或平面应力状态下最大剪应力理论的几何表示平面应力状态下最大剪应力理论的几何表示1200O-0-0 在

32、平面应力状态时，设三个主应力分别是在平面应力状态时，设三个主应力分别是 1 1、 2 2 、 3 3=0=0 （主应（主应力大小没有顺序关系）。这样，前式可分解为：力大小没有顺序关系）。这样，前式可分解为： 02101当当时，则：时，则：当当时，则：时，则：01202当当时，则：时，则：0, 02102102101当当时，则：时，则：01202当当时，则：时，则：当当时，则：时，则：0, 021012 在应力主轴坐标系在应力主轴坐标系 （ 1 1, ,2 2 ）中，以上六种情况的判据成为由六）中，以上六种情况的判据成为由六条直线围成的六边形。条直线围成的六边形。 在六边形内：安全；在六边形线上

33、：临界状态；在在六边形内：安全；在六边形线上：临界状态；在六边形外：失效。六边形外：失效。（1）（2）（3）（4）（5）（6）（1）（2）（3）（4）（5）（6）1.2.4 畸变能理论畸变能理论定义定义：在多向应力状态下，单位体积畸变能（：在多向应力状态下，单位体积畸变能（Ud）达到单向拉伸失效时的）达到单向拉伸失效时的畸变能（畸变能（Ud0）时，材料便失效，即：）时，材料便失效，即：单位体积畸变能为：单位体积畸变能为：VdUUUU单位体积应变能；单位体积应变能；UV单位体积形状改变能（歪形能）单位体积形状改变能（歪形能）（1）（2）0ddUU 1332212322213322112121EU

34、32213321EUV（3）20031EUd（4）（5）根据弹性力学原理根据弹性力学原理：联立（联立（1）（）（5）式，可得：）式，可得：2021323222121平面应力状态下畸变能理论的几何表示平面应力状态下畸变能理论的几何表示 在平面应力状态（在平面应力状态（ 3 = 0 ）下：）下： 0222121 在应力主轴坐标系（在应力主轴坐标系（ 1 1, ,2 2 ）中，）中，上式表示一椭圆（见右图）。椭圆的长上式表示一椭圆（见右图）。椭圆的长轴过一、三象限，短轴过二、四象限。轴过一、三象限，短轴过二、四象限。其端点坐标分别为：其端点坐标分别为：1200O-0-0ABDDCC纯切应力状态纯切应

35、力状态0.500.5770A:（0，0）B: （-0，-0）C: （-0.5770，0.5770）D: （0.5770，-0.5770）最大剪应力理论和畸变能理论的实验验证最大剪应力理论和畸变能理论的实验验证四种强度理论的综合表达式四种强度理论的综合表达式综合以上四个强度理论的强度条件，可以把它们写成如下的统一形式：综合以上四个强度理论的强度条件，可以把它们写成如下的统一形式： r式中，式中，r 称为相当应力。四个强度理论的相当应力分别为称为相当应力。四个强度理论的相当应力分别为 ：11r3212r313r)()()(212132322214r四种强度理论的选用原则四种强度理论的选用原则q塑性

36、材料塑性材料 ：第三强度理论：第三强度理论 可进行偏保守（安全）设计；第四强度理论可进行偏保守（安全）设计；第四强度理论 可用于更精确设计，要求对材料强度指标，载荷计算较有把握。可用于更精确设计，要求对材料强度指标，载荷计算较有把握。q脆性材料脆性材料：第一强度理论：第一强度理论 用于拉伸型和拉应力占优的混合型应力状态；用于拉伸型和拉应力占优的混合型应力状态；第二强度理论第二强度理论 仅用于石料、混凝土等少数材料。仅用于石料、混凝土等少数材料。q对于对于某些特殊应力状态某些特殊应力状态的情况，不能只看材料，还必须考虑应力状态对的情况，不能只看材料，还必须考虑应力状态对材料弹性失效状态的影响，根

37、据所处失效状态选取强度理论：材料弹性失效状态的影响，根据所处失效状态选取强度理论：塑性材料塑性材料（如低碳钢）在三向拉伸应力状态下呈脆断破坏（如低碳钢）在三向拉伸应力状态下呈脆断破坏,应选用第一强应选用第一强度理论，但此时的失效应力应通过能造成材料脆断的试验获得。度理论，但此时的失效应力应通过能造成材料脆断的试验获得。脆性材料脆性材料（如大理石）在三向压缩应力状态下呈塑性屈服失效状态，应（如大理石）在三向压缩应力状态下呈塑性屈服失效状态，应选用第三、第四强度理论，但此时的失效应力应通过能选用第三、第四强度理论，但此时的失效应力应通过能 造成材料屈服的造成材料屈服的试验获得。试验获得。1.2.5

38、 Mohr强度理论强度理论321NMCBAO3O1O2 Mohr理论实质上是最大切应力理论的修正，是从理论实质上是最大切应力理论的修正，是从Mohr应力圆出发提出应力圆出发提出来的一种判断破坏和强度的作图方法。来的一种判断破坏和强度的作图方法。Mohr圆圆心：圆圆心：221122322321331单由外圆就足以决定临界应力状态。单由外圆就足以决定临界应力状态。Mohr圆半径：圆半径：221232213最大剪应力面最大剪应力面通过一点各截通过一点各截面上应力状态面上应力状态1.2. 5 Mohr强度理论（续）强度理论（续） Mohr强度理论认为，在物体内一点的某个截面上，当其正应力和剪应力达到某

39、强度理论认为，在物体内一点的某个截面上，当其正应力和剪应力达到某种最不利的组合时就导致破坏。破坏临界条件可写为：种最不利的组合时就导致破坏。破坏临界条件可写为： f 在在-平面上，该方程表示一条极限曲线，由试验确定。对不同的达到破坏条平面上，该方程表示一条极限曲线，由试验确定。对不同的达到破坏条件的应力状态作件的应力状态作Mohr圆，极限曲线就是这些圆的包络线。圆，极限曲线就是这些圆的包络线。LYL31则则Mohr理论的安全条件为：理论的安全条件为：LYL31 为简化，只以单向拉伸和单向压缩极限为简化，只以单向拉伸和单向压缩极限应力圆的公切线作为包络线（右上图），将应力圆的公切线作为包络线（右

40、上图），将它除以安全系数后，得到右下图所示的许用它除以安全系数后，得到右下图所示的许用情况。，其中情况。，其中O3 圆为其他应力状态下的极限圆为其他应力状态下的极限情况。根据简单的几何推导可得：情况。根据简单的几何推导可得：Mohr强度理论的讨论强度理论的讨论当当L=Y时：时： Mohr强度条件转化为最大切应力理论强度条件。强度条件转化为最大切应力理论强度条件。若拉伸许用应力很小（脆性材料），可近似为若拉伸许用应力很小（脆性材料），可近似为L= 0 ： Mohr强度条件转化为最大正应力理论强度条件。强度条件转化为最大正应力理论强度条件。在平面应力条件下，当在平面应力条件下，当2= 0 ，及，及

41、L / Y=时：时： Mohr强度条件转化为最大正应变理论强度条件。强度条件转化为最大正应变理论强度条件。可见，可见，Mohr理论在一定程度上概括和推广了前三种强度理理论在一定程度上概括和推广了前三种强度理论，它很好地代表了对拉和压具有不同抗力的材料的塑性变论，它很好地代表了对拉和压具有不同抗力的材料的塑性变形和以剪断形式破坏的现象。形和以剪断形式破坏的现象。Mohr理论仍然不是普遍适用的，与最大剪应力理论一样，理论仍然不是普遍适用的，与最大剪应力理论一样，它没有考虑第二主应力的影响。它没有考虑第二主应力的影响。1.3 强度的统计学特性强度的统计学特性 即使对同一型号、同批生产的材料，由于成分

42、、组织、缺陷的不均匀性，即使对同一型号、同批生产的材料，由于成分、组织、缺陷的不均匀性，其力学性能也会有一定分散度。将材料制成构件后，使用环境、温度、承受其力学性能也会有一定分散度。将材料制成构件后，使用环境、温度、承受载荷都有随机性。这自然引出了下列问题：载荷都有随机性。这自然引出了下列问题： 用小试样或少数试样测定的性能数据究竟能否代表材料的强度？用小试样或少数试样测定的性能数据究竟能否代表材料的强度？ 依据实验室数据进行强度设计，可靠性有多大？寿命预测准确度如何？依据实验室数据进行强度设计，可靠性有多大？寿命预测准确度如何？ 从数理统计观点看，材料强度和构件承载都是随机变量。为表征一个随

43、从数理统计观点看，材料强度和构件承载都是随机变量。为表征一个随机变量，不仅需给出其取值大小，还要给出其取该值的频率（即概率）。机变量，不仅需给出其取值大小，还要给出其取该值的频率（即概率）。 分布函数描述随机变量取值的统计学规律，定义为随机变量分布函数描述随机变量取值的统计学规律，定义为随机变量小于某一小于某一实数实数 x 的概率，即：的概率，即： xPxF 随机变量在一个区间内取值的概率可以由分布函数求出：随机变量在一个区间内取值的概率可以由分布函数求出： 1221xFxFxxP1.3.1 强度统计学分析常用的统计分布强度统计学分析常用的统计分布1、Weibull分布分布 Weibull W

44、eibull分布的提出源于分布的提出源于最弱连接理论最弱连接理论。最弱连接理论基于以下假设：。最弱连接理论基于以下假设：将材料看成许多链节连接而成的链，只要链中有一个链节失效，整个链就失将材料看成许多链节连接而成的链，只要链中有一个链节失效，整个链就失效。在应力从效。在应力从0 0增加到增加到，链节的失效概率用，链节的失效概率用F F( () )表示，则该链节的存活概表示，则该链节的存活概率为：率为：)(1)(FS 假设假设 F F( () )反映了链节的强度分布并且各个链节的强度分布相互独立，反映了链节的强度分布并且各个链节的强度分布相互独立，则材料的存活概率为：则材料的存活概率为： nnF

45、S)(1 )(于是材料于是材料( (链链) )在在作用下的失效概率为作用下的失效概率为 nnFF)(1 1)(F F( () )函数更一般的形式为：函数更一般的形式为： )(1)(eF1）最弱连接理论）最弱连接理论 2）Weibull分布形式分布形式 Weibull提出了的一个分布，它即是至提出了的一个分布，它即是至今仍然被广泛使用的今仍然被广泛使用的Weibull分布：分布： mu0)(于是，失效概率可以表示成：于是，失效概率可以表示成： muFexp10式中：式中：F失效概率；失效概率；随机变量，可以为强度，断裂韧性等；随机变量，可以为强度，断裂韧性等；0 0尺度尺度参数；参数； u u位

46、置参数；位置参数； m 形状参数，通常又称为形状参数，通常又称为Weibull模量。模量。上式为三参数上式为三参数Weibull分布。若取分布。若取u u=0, ,则上式简化为二参数则上式简化为二参数Weibull分布分布 )(exp10mF将上式做双对数变换可得：将上式做双对数变换可得： )ln()ln()11lnln(0mmF3）Weibull分布参数的影响分布参数的影响（1）位置参数）位置参数u u0时，时，F 的一阶导数也就是的一阶导数也就是Weibull分布的概率密度函数为：分布的概率密度函数为： exp)(010mmmmf 只要只要0和和m值不变，概率密度函数曲线形状不会改变，曲线

47、只会随值不变，概率密度函数曲线形状不会改变，曲线只会随着着u的变化沿着轴平移到相应的位置。若随机变量为强度，则的变化沿着轴平移到相应的位置。若随机变量为强度，则 u为开始为开始失效时的应力，即该材料的最低强度。故我们有时为了简便令失效时的应力，即该材料的最低强度。故我们有时为了简便令u 0，一般认为这是保守的处理。一般认为这是保守的处理。（2）尺度参数）尺度参数0（特征强度）（特征强度）01001exp0.3679uummuummRde令：令：6321. 01RF即即0为从为从u开始材料失效概率为开始材料失效概率为0.6321时的强度值。时的强度值。 （3）形状参数）形状参数m 形状参数形状参

48、数m决定了曲线的形状决定了曲线的形状特征。特征。Weibull分布的概率密度函分布的概率密度函数是偏态的，在数是偏态的，在m为为3.25时，曲线时，曲线的对称性较好；的对称性较好；m 越大，越大，分布就分布就越集中，即分散性越小。越集中，即分散性越小。由由图可由由图可看出，越大，分布就越集中，即分看出，越大，分布就越集中，即分散性越小。散性越小。 不同不同形状参数形状参数 m 下的概率密度函数下的概率密度函数材料材料 钢钢 热压热压Si3N4 SiCw/Si3N4 SiC 高铝瓷器高铝瓷器 铝基复材铝基复材 玻璃纤维玻璃纤维 Weibull 模量模量 5060 925 24 10 8 1030

49、 1 在材料科学中，在材料科学中，m又称又称Weibull模量，表征了材料的均匀性和可靠性，模量，表征了材料的均匀性和可靠性，m值越大，材料的均匀性越好，可靠性越高。值越大，材料的均匀性越好，可靠性越高。4）数学期望及方差）数学期望及方差)11 ()21 ()11 (2200mmSm式中，式中，( x)为误差函数，可查表。为误差函数，可查表。两参数两参数Weibull分布的期望值和方差可由下式给出：分布的期望值和方差可由下式给出：5）Weibull分布举例分布举例单纤维强度分布单纤维强度分布 单纤维强度的单纤维强度的WeibullWeibull分布密度函数分布密度函数( (双参数双参数) )为

50、为 LLfexp1式中：式中：L纤维长度；纤维长度；尺度参数；尺度参数；形状参数；形状参数；f () 机率密度函数，即在机率密度函数，即在d之间破坏应力的或然率。之间破坏应力的或然率。尺度参数及形状参数对尺度参数及形状参数对 f ()的影响的影响随随增大增大： 分散性减小；分散性减小； 峰值应力（峰值应力（* ）增大。）增大。随随增大增大： 分散性减小；分散性减小； 峰值应力（峰值应力（*） 减小。减小。几个关键参数几个关键参数（1）平均强度平均强度（数学期望）：（数学期望）： 1110Ldf（2）标准偏差标准偏差（方差）：（方差）： 2102121121LdfS（3）变异系数变异系数（相对偏

51、差）：（相对偏差）：111121212S可见，可见，仅与仅与有关，在有关，在0.050.5时，可简化为：时，可简化为：1（4）最可几应力最可几应力（*）：）：111L当当较大时：较大时：1L（5）纤维强度分布函数纤维强度分布函数： LdfPFexp10令令 ，则上式变为：，则上式变为： 0exp1LF102、正态分布、正态分布 正态分布是在机械产品和结构工程中，研究应力分布和强度分布时，最正态分布是在机械产品和结构工程中，研究应力分布和强度分布时，最常用的一种分布形式。常用的一种分布形式。 正态分布的密度函数为：正态分布的密度函数为：202121)(ef 式中式中0为平均值，表示随机变量（如强

52、度、断裂韧性等）的数学期望；为平均值，表示随机变量（如强度、断裂韧性等）的数学期望；为标准偏差，表示随机变量偏离均值的散布程度，为标准偏差，表示随机变量偏离均值的散布程度，越小，越小，落在落在0附近的附近的概率越大。概率越大。 正态分布是对称分布，其概率密度函数正态分布是对称分布，其概率密度函数f( (x) )对于直线对于直线 x=0是对称函数。是对称函数。正态分布概率密度曲线正态分布概率密度曲线 y=f( (x) )的位置完全由均值的位置完全由均值0确定，故确定，故0为位置参数。为位置参数。 为了计算上的方便，并令为了计算上的方便，并令=1, ,并并x=( (-0)/)/则可将一般的正态分布

53、化为则可将一般的正态分布化为标准分布，其密度函数为：标准分布，其密度函数为：2221)(xexf2、正态分布（续）、正态分布（续） 化成标准分布后，可根据化成标准分布后，可根据 x 查正态分布表，这也是正态分布应用广查正态分布表，这也是正态分布应用广泛的一个重要原因。由于腐蚀、磨损，老化而引起的失效，是许多微小泛的一个重要原因。由于腐蚀、磨损，老化而引起的失效，是许多微小的独立因素造成的，没有单独起压倒作用的因素，是长期累积效应引起的独立因素造成的，没有单独起压倒作用的因素，是长期累积效应引起的，到某一段时间后，材料（或构件）失效比较集中地发生。在这种情的，到某一段时间后，材料（或构件）失效比

54、较集中地发生。在这种情况下，其强度分布可用正态分布来表示。况下，其强度分布可用正态分布来表示。 对于正态随机变量有：对于正态随机变量有： 9974. 0)33(00P 即正态随机变量的值落在即正态随机变量的值落在（03）区间内几乎是肯定的事件，而区间内几乎是肯定的事件，而它落在区间之外的事件是小概率事件。这就是所谓的它落在区间之外的事件是小概率事件。这就是所谓的“3规则规则”，通常，通常作为异常数据的取舍标准。作为异常数据的取舍标准。 正态分布举例正态分布举例纤维束强度分布纤维束强度分布221exp21BBBBB纤维束强度分布密度函数：纤维束强度分布密度函数：式中，式中，B纤维束强度标准偏差；

55、纤维束强度标准偏差； 纤维束强度平均值（数学期望）。纤维束强度平均值（数学期望）。BDaniels首先发现单纤维强度与纤维束强度存在下列关系：首先发现单纤维强度与纤维束强度存在下列关系：maxmax1ffBF式中，式中，F()单纤维强度分布函数；单纤维强度分布函数；fmax最大断裂载荷那一束纤维中的最大断裂载荷那一束纤维中的纤维平均应力。纤维平均应力。令：令： ，可解得：，可解得： 01Fdd1max Lf将此式代入上式可得：将此式代入上式可得：111expeLLB可见：可见：B3、对数正态分布、对数正态分布 如果随机变量的对数符合正态分布，则称其符合对数正态分布。对数正如果随机变量的对数符合正态分布，则称其符合对数正态分布。对数正态分布的密度函数为：态分布的密度函数为： 2ln21021)(ef其均值和方差分别为其均值和方差分别为 202020