第八章第1-2节二元一次方程组;二元一次方程组的解法一

1、第八章第1-2节二元一次方程组；二元一次方程组的解法一课程解读一、学习目标： 1. 了解二元一次方程组及其相关概念，能设两个未知数，列方程组表示实际问题中两种相关的等量关系； 2. 掌握用代入法解二元一次方程组，体会“消元”思想。二、重点、难点：重点：二元一次方程组的有关概念及用代入法解二元一次方程组。难点：消元思想在解方程组中的运用。三、考点分析：二元一次方程组的有关概念与多项式等有关内容综合出题是中考的常见题型，二元一次方程组的解法一般融于实际问题或其他知识中，多以填空题、选择题的形式出现，难度不大。知识梳理 1、二元一次方程（1）二元一次方程：含有两个未知数（x和y），并且含有未知数的项

2、的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程。如2x3y15，5x10 y等。注意：在方程中“元”是指未知数，“二元”就是指方程中只有两个未知数。含有未知数的项（单项式）的次数是1，不可理解为两个未知数的次数都是1。如4xy的次数是2，所以方程4xy90不是二元一次方程。二元一次方程的左边和右边都必须是整式，例如方程y7的左边不是整式，它就不是二元一次方程。（2）二元一次方程的解：一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解。注意：一般情况下，一个二元一次方程有无数多个解，但如果对其未知数的取值附加某些限制条件，那么也可能只有有限个解。二元一次方程的每一个解，都是一对

3、数值，而不是一个。 2、二元一次方程组（1）二元一次方程组：两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组。注意：组成方程组的各方程不必都同时含有两个未知数，只要共含两个未知数的几个一次方程组成的一组方程都是二元一次方程组。方程组各方程中同一个字母必须代表同一个量，否则不能将两个方程合在一起。（2）二元一次方程组的解：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解。注意：方程组的解必须满足方程组中的各个方程，而方程组中某一个方程的一个解不一定是方程组的解。在同一方程组中，各个相同未知数应取相同的值。 3、二元一次方程组的解法（1）消元思想：二元一次方程组中有两个未知数，

4、如果消去其中一个未知数，将二元一次方程组转化为我们熟悉的一元一次方程，就可以先解出一个未知数，然后再设法求另一个未知数。这种将未知数的个数由多化少，逐一解决的想法，叫做消元思想。（2）代入消元法：二元一次方程组中的一个方程，将一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程中，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解。注意：用代入法解题时，先比较两个方程的特点，选出一个系数较简单的方程，并用一个未知数表示另一个未知数。代入时，不要将变形后的方程代入变形前的那个方程中，否则，只能得到一个恒等式，而解不出方程。当求出一个未知数的值后，通常把这个值代入用这个未知数表示另一个未知数的那个方程

5、中，去求另一个未知数的值；它远比把这个值代入原方程组中任意一个方程去求另一个未知数的值要简便得多。典型例题知识点一：二元一次方程组 例1：下列方程是不是二元一次方程，为什么？2xy1；xy20；yz4；yz；5x2y；2y3；xyz6。思路分析：1）题意分析：本题考查二元一次方程的定义。2）解题思路：根据二元一次方程的定义判断。解答过程：2xy1是二元一次方程；xy20中y2是二次项，所以它不是二元一次方程；yz4是二元一次方程；yz中yz项是二次项，所以它不是二元一次方程；5x2y是代数式，不是方程，当然也不是二元一次方程；2y3的左边不是整式，所以不是二元一次方程；xyz6含有三个未知数，

6、所以它不是二元一次方程。解题后的思考：任何一个二元一次方程经过整理、化简后都可化成axbyc0（a、b、c为常数，a0，b0）的形式，这种形式叫做二元一次方程的一般形式。一般地，整式方程都是用“元”和“次”来定义。例2：已知是方程组的解，求mn的值。思路分析：1）题意分析：本题考查方程组的解的定义。2）解题思路：因为是方程组的解，所以同时满足方程和方程，将分别代入方程和方程，可得由和可求出m、n的值。解答过程：因为是方程组的解，所以将其代入原方程组中的两个方程仍成立，即解得所以mn101。解题后的思考：应该仔细体会“已知方程组的解是”这类已知条件的用法，并加深理解方程组的解的意义。 例3：写出

7、二元一次方程4xy20的所有正整数解。思路分析：1）题意分析：一般地，二元一次方程的解有无数组，但正整数解是有限的。2）解题思路：为了求解方便，先将原方程变形为y204x，由于题中所要求的解限定于“正整数解”，所以x和y的值都必须是正整数。解答过程：将原方程变形，得y204x，因为x、y均为正整数，所以x只能取小于5的正整数。当x1时，y16；当x2时，y12；当x3时，y8；当x4时，y4。即4xy20的所有正整数解是：，。解题后的思考：对“所有正整数解”的含义的理解要注意两点：一要范围正确，二要不重不漏。“正确”的标准是两个未知数的值都必须是正整数，且适合此方程。 例4：一辆汽车从甲地到乙

8、地，若以60km/h的速度行驶，比预计时间提前1小时，若以40km/h的速度行驶，则超出预计时间1小时，求甲、乙两地的距离和预计时间。思路分析：1）题意分析：把预计时间设为x h，甲、乙两地的距离设为y km，相等关系是：路程速度×时间。2）解题思路：解本题的关键是弄清两个时间，即（x1）h与（x1）h，可列两个方程组成方程组。解答过程：设预计时间为x h，甲、乙两地的距离为y km， 则可列方程组。所以60（x1）40（x1）。解得x5（h），所以y60×（51）240（km）。答：预计时间为5h，甲、乙两地的距离为240km。解题后的思考：解决此类题时先要认真分析题意，

9、再弄清每一句话、每一个条件，最后从中找出正确的等量关系列出方程。小结：与二元一次方程及二元一次方程组定义有关的问题主要有两类：一是通过把一组未知数的值代入方程组，检验其是不是方程组的解，或求出方程组中字母系数的值；二是求二元一次方程在特定条件下的解。知识点二：用代入消元法解二元一次方程组 例5：用代入法解方程组。思路分析：1）题意分析：本题考查用代入消元法解方程组，观察发现方程中x的系数最简单，是1。2）解题思路：要考虑将一个方程中的某个未知数用含另一个未知数的代数式表示，方程中x的系数是1，因此可将方程变形，用含y的代数式表示x，再代入中求解。解答过程：由得：x83y 把代入得：2（83y）

10、5y21解得：y37把y37代入得：x83×37103所以这个方程组的解是。解题后的思考：用代入法解方程组时，一般选择系数较简单的方程进行变形，在本例中是方程。求出一个未知数的值以后，求另一个未知数时，通常将值代入变形后的方程中，在本例中是方程。例6：用代入法解方程组：思路分析：1）题意分析：这两个方程中未知数的系数都不是1或1，但比较而言，方程的系数较为简单。2）解题思路：选择其中一个方程，将其变形成yaxb或xayb的形式，再代入另一个方程求解。方程中x、y的系数相对较小，考虑到x3y，而y，显然在接下来的计算中将x3y代入方程计算较简捷。解答过程：由得：x3y 把代入得：8（3

11、y）3y10解得：y125将y125代入，得：x47所以这个方程组的解为解题后的思考：用代入法解方程组时，（1）选择变形的方程要尽可能简单，表示的代数式也应尽可能简捷。（2）要对后面的计算进行预见、估计，以选择较好的方法。 例7：用代入法解方程组。思路分析：1）题意分析：这个方程组中两个方程的各项都含有分母，应先去分母，再求解。2）解题思路：当二元一次方程组中未知数的系数不是整数，要求我们用代入法求解时，通常应先将方程中的系数化为整数，后求解。解答过程：原方程组化简得。由得：x13y 将代入得：4（13y）3y18解得y6，把y6代入，得x9所以，原方程组的解为。解题后的思考：方程组中的方程不

12、是最简方程的，最好是先将其化成最简方程，再求解。 例8：解方程组的最好办法是（ ）A. 由得m，再代入B. 由得m，再代入C. 由得3m4n7，再代入D. 由得9m10n3，再代入思路分析：1）题意分析：本题考查用代入法求解时方程变形和代入的技巧。2）解题思路：选项A、B都带有分数计算，D代入时9m不能取代3m，需除以3，也带有分数计算，而C的代入只需在方程两边乘3，即9m12n21，后代入即可。可见方法C最简捷，最好计算，应选C。解答过程：C解题后的思考：系数存在整数倍数关系时，用代入法求解可先将整数倍数关系系数中较小的一个变形，再用含另一个字母的代数式表示它，之后代入另一方程中。小结：用代

13、入法解方程组的步骤：选取一个系数较简单的二元一次方程变形，用含一个未知数的代数式表示另一个未知数；将变形后的方程代入另一个方程中，消去一个未知数，得到一个一元一次方程（在代入时，要注意不能代入原方程，只能代入另一个没有变形的方程中，以达到消元的目的。）；解这个一元一次方程，求出未知数的值；将求得的未知数的值代入式变形后的方程中，求出另一个未知数的值；用“”联立两个未知数的值，就是方程组的解；最后检验求得的结果是否正确（代入原方程组中进行检验，看方程是否满足左边右边）。提分技巧 1. 二元一次方程应满足的条件：是方程；含两个未知数；含未知数的式子是整式；含未知数的项的最高次数是1。 2. 用代入

14、消元思想解题的注意事项：代入消元的最终目的是通过代入消去一个未知数，转化为一元一次方程。在这个过程中需要把一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，我们通常选择系数较简单的（如1或1）或后续计算较简捷的变形方式。如果某个方程能以整体的形式代入另一方程中，那就不必用一个未知数表示另一个未知数了。如中，把3m看成整体，以3m4n7代入。预习导学二元一次方程组的解法二（8.2）一、预习新知用加减消元法解二元一次方程组二、预习点拨探究与反思探究任务一：用加减消元法解二元一次方程组【反思】（1）什么是加减消元法？ （2）什么样的方程组适合用加减消元法来解？探究任务二：代入法和加减法的比较【反思】（1）从

15、解方程组的思想来讲，代入法和加减法的共同点是什么？ （2）如何根据方程组的具体情况选择合适的解法？同步练习（答题时间：60分钟）一、选择题。1. 在方程x2y1，2x15x，xy23，x4中，是二元一次方程的有（ ）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个2. 下列各对数值中，哪一个不是二元一次方程x2y2的解（ ）A. B. C. D. *3. 用代入法解方程组，正确的解法是（ ）A. 先将变形为x，再代入B. 先将变形为y，再代入C. 先将变形为xy1，再代入D. 先将变形为y9（4x1），再代入4. 若mxy1是关于x、y的二元一次方程，那么m的值应是（ ）A. m0B. m0C. m是

16、正有理数D. m是负有理数*5. 已知二元一次方程组的解为xa，yb，则ab等于（ ）A. 1B. 11C. 13D. 16*6、若二元一次方程3x2y1有正整数解，则x的取值应为（ ）A. 正奇数B. 正偶数C. 正奇数或正偶数D. 0*7. 方程组的解有（ ）A. 0个B. 1个C. 2个D. 无数个*8. 我国民间流传着许多有趣的数学题，令人耳目一新，你能解决“鸡兔同笼”问题吗？“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？”设鸡为x只，兔为y只，则可列方程组（ ）A. B. C. D. 二、填空题。9. 方程4（3xy）x3y，用含x的代数式表示y，则y_。10. 用代入法

17、解方程组，最好是先把方程_变形为_，再代入方程_求得_的值，最后再求_的值，写出方程组的解。11. 方程x2y7有_个解，正整数解是_。12. 已知（x3）22x3y70，则x_，y_。13. 买12支铅笔和5本练习本，其中铅笔每支x元，练习本每本y元，共需用4.9元。（1）列出关于x、y的二元一次方程为_；（2）若再买同样的铅笔6支和同样的练习本2本，价钱是2.2元，列出关于x、y的二元一次方程为_；（3）若铅笔每支0.2元，则练习本每本_元。*14. 已知是方程组的解，那么m_，n_。三、解答题。*15. 解下列方程组：（1）；（2）；（3）；（4）。*16. 若7a2x8b与5a2xb3

18、xy4是同类项，求y2x的值。*17. 如果方程4x2y7的一个解是，求a的值。*18. 当x是不大于5的正整数时，求方程2xy10的解。四、拓广探索。*19. 已知ykxb，当x1时，y2，当x1时，y2，求当x2时，y的值。试题答案一、选择题：1. A 2. D3. B 解析：注意本题要求选择正确解法，而不是最佳解法。4. A5. B 解析：原方程变形为，解得，所以ab11。6. A 解析：原方程可变形为3x2y1，因为原方程有正整数解，所以2y必是正偶数，2y1必是正奇数，只有当x为正奇数时，3x才是正奇数，此时x的取值应为正奇数，故选A。7. D 解析：第2个方程2x2y10两边同除以2得xy5，与第1个方程相同。所以这个方程组实际上是一个二元一次方程，故有无数个解。8. D 解析：注意鸡有2只脚，兔有4只脚。二、填空题：9. 11x 10. x2y4， y，x11. 无数，、 12. 3，1