统计学原理计算题复习资料

1、统计学原理复习资料（计算部分）一、 编 制分配数列（次数分布表）统计整理公式a)组距上限下限b)组中值（上限 +下限）÷2c)缺下限开口组组中值上限1/2 邻组组距d)缺上限开口组组中值下限+1/2 邻组组距1某班 40 名学生统计学考试成绩分别为：57894984868775737268758297816781547987957671609065767270868589896457838178877261要求： 根据上述资料按成绩分成以下几组： 60 分以下， 6070 分， 7080 分， 8090 分， 90100 分， 整理编制成分配数列。 根据整理后的分配数列，计算学生的平

2、均成绩。解： 分配数列平均成绩xff55 4 65 6 75 12 85 15 95 34030704076.75 （分）成绩（分）学生人数（人）频率（ %）60 以下41060706157080123080901537.59010037.5合计40100或 x x f 55 10% 65 15% 75 30% 85 37.5% 95 7.5% 76.75 (分)2某生产车间40 名工人日加工零件数（件）如下：302642 41 36 44403743 3537254529 43313649 34 47 33433842 3225304629 34384643 39 35 40483327 2

3、8要求：根据以上资料分成如下几组：2530，3035，3540，4045，4550，整理编制次数分布表。根据整理后的次数分布表，计算工人的平均日产量。（作业 P101）解： 次数分布表日加工零件数（件）工人数（人）频率（ %）2530717.530358203540922.5404510254550615合计40100平均日产量 x xf 27.5 7 32.5 8 37.5 9 42.5 10 47.5 6 1500 37.5 件f 40 4027.5 17.5% 32.5 20% 37.5 22.5% 42.5 25% 47.5 15% 37.5 件二、 算 术平均数和调和平均数的计算加权

4、算术平均数公式xxff （常用）x 代表各组标志值，f 代表各组单位数，ff 代表各组的比重）加权调和平均数公式x 代表各组标志值，m 代表各组标志总量）1 某企业 20XX 年某月份生产资料如下：组中值按工人劳动生产率分组 （件/人） x生产班组实际产量（件） m工人数 mx55506038250656070565007570808525085809022550959010024750计算该企业的工人平均劳动生产率。分析： 工人平均劳动生产率 x总产量 m（结合题目）总工人人数 mx从公式可以看出， “生产班组”这列资料不参与计算，是多余条件，将其删去。其余两列资料，根据问题“求平均

5、5;×” 可知“劳动生产率”为标志值 x ，而剩余一列资料“实际产量”在公式中做分子，因此用调和平均数公式计算，并将该资料记作 m 。每一组工人数每一组实际产量 劳动生产率 ，即 m 。同上例，资料是组距式分组，应以各组的组中值来代替各x组的标志值。m x8250 65005565 若把上题改成： （作业 P11组中值按工人劳动生产率分组5550606560707570808580909590 以上2件/人）x8250 6500 5250 2550 47505250 2550 475075 85 9524703000 68.25（件 /人）3）生产班组生产工人数（人） f150100

6、703050产量 xf20400合计计算该企业的工人平均劳动生产率。分析： 工人平均 劳动生产率 x 总产量 xf （结合题目） 总工人人数 f从公式可以看出， “生产班组”这列资料不参与计算，是多余条件，将其删去。其余两列资料，根据问题“求平均××” 可知“劳动生产率”为标志值 x ，而剩余一列资料“生产工人数”在公式中做分母，因此用算术平均数公式计算，并将该资 料记作 f 。 每一组实际产量 劳动生产率 组工人数 ，即 xf 。同上例，资料是组距式分组，应以各组的组中值来代替各组 的标志值。解：x xf 55 150 65 100 75 70 85 30 95 50 =

7、68.25（件/人）4003某企业产品的有关资料如下：产品单位成本（元 /件） x98年产量（件） f99 年成本总额 （元） m98 年成本总额 xf 99 年产量 mx甲25150024500乙28102028560丙3298048000试计算该企业 98 年、 99 年的平均单位成本。分析：平均单位成本 x 总总成产本量mf计算 98 年平均单位成本， “单位成本”这列资料为标志值 x ，剩余一列资料“ 98 年产量”在实际公式中做分母，因此 用算术平均数公式计算，并将该资料记作 f ；计算 99 年平均单位成本， “单位成本”依然为标志值 x ，剩余一列资料“ 99 年成本总额”在实际

8、公式中做分子，因此用调和平均数公式，并将该资料记作m 。解： 98 年平均单位成本：xff25 1500 28 1020 32 980 9742027.83 （元 /件）1500 1020 980 350099 年平均单位成本：m xmx24500 2 8560 4800024500 2 8560 4 8 03050025 28 3212081. 08（670元 /件）4 2000 年某月甲、乙两市场某商品价格、销售量、销售额资料如下：商品品种价格（元 /件） x甲市场销售额 （元） m乙市场销售量 （件） f甲105735001200乙120108000800丙137150700700甲销售

9、量 m 乙销售额 xf x合计 332200分别计算该商品在两个市场的平均价格。2700分析：平均单价 x总销售额 m计算甲市场的平均价格， “价格”这列资料为标志值 x ，剩余一列资料“甲市场销售额”在实际公式中做分子，因此用调和平均数公式计算，并将该资料记作m ；计算乙市场的平均价格， “价格”依然为标志值 x ，剩余一列资料“乙市场销售量”在实际公式中做分母，因此用算术平均数公式，并将该资料记作 f 。3232720000 123.04 （元/件）m 73500 108000 150700 解：甲市场平均价格： xm 73500 108000 150700x 105 120 137三、

10、变 异系数比较稳定性、均衡性、平均指标代表性通常用标准差系数 V 来比较）x公式： 标准差 :加权乙市场平均价格：xf 105 1200 120 800 137 700 317900（元 /件）x117.74 （元 / 件）f 1200 800 700 27001. 有甲、乙两种水稻，经播种实验后得知甲品种的平均亩产量为998斤，标准差为 162.7 斤，解：xfx乙f500551001 （斤）x x 2ff2624572.45（斤）72.45x 10017.24%162.7x 99816.30%V 乙 V 甲 乙品种的亩产量更具稳定性2甲、乙两班同时参加统计学原理课程的测试，甲班平均成绩为

11、分组资料如下：81 分，标准差为 9.5 分；乙班成绩组中值按成绩分组 x学生人数 fxfx x 2f乙品种实验资料如下：亩产量（斤） x播种面积（亩） fxf2xxf9001.199011221.19500.98552340.910000.88000.810501.212602881.211001.011009801合计5.0500526245试计算乙品种的平均亩产量，并比较哪一品种的亩产量更具稳定性？分析：平均亩产量 x 总总产面量积xff总面积 f根据表格数据资料及实际公式可知，用算术平均数公式计算乙品种的平均亩产量。 比较哪一品种亩产量更具稳定性，用标准差系数 V ，哪个 V 更小，哪

12、个更稳定。5560 以下42201600656070106501000757080251875085809014119014009590 10021908002541254800试计算乙班的平均成绩，并比较甲、乙两个班哪个平均成绩更具代表性。 分析： 用标准差系数 V 比较两个班平均成绩的代表性大小，哪个 V 更小，哪个更具代表性。 解： x乙xf 4125 75 （分）V乙x x 2ff9.34 （分）9.34x 7512.45%乙f559.5V 甲 x 98.15 11.73%V 甲 V 乙 甲班的平均成绩更具代表性3甲、乙两个生产班组，甲组工人平均日产量为36件，标准差为 9.6 件；乙

13、组工人日产量资料如下：日产量（件）工人数（人）102018203039304031405012作业 P12 5）计算乙组工人平均日产量，并比较甲、乙两个生产小组哪个组的日产量更均衡？解： x乙xf 15 18 25 39 35 31 45 12 2870 28.7（件）f 18 39 31 12 100222215 28.7 2 18 25 28.7 2 39 35 28.7 2 31 45 28.7 2 121009.13（件）9.13 31.81%28.79.63626.67%V 甲 V 乙 甲班的平均成绩更具代表性四、总 体参数区间估计（总体平均数区间估计、总体成数区间估计） 具体步骤：

14、计算样本指标 x、 ； p计算抽样平均误差 x ； p由给定的概率保证程度F（t） 推算概率度 t计算抽样极限误差 x ； p估计总体参数区间范围 x x X x x ； p p P p p抽样估计公式1. 平均误差：重复抽样：p(1 p)不重复抽样：2(1 nN)2. 抽样极限误差tx3. 重复抽样条件下：22t平均数抽样时必要的样本数目n2n t2 p(1 p)n成数抽样时必要的样本数目p24. 不重复抽样条件下：22Nt 2 2平均数抽样时必要的样本数目N 2x t 2 21从某年级学生中按简单随机抽样方式抽取50 名学生，对会计学课程的考试成绩进行检查，得知平均分数为 76.5 分，样

15、本标准差为 10 分，试以 95.45%的概率保证程度推断全年级学生考试成绩的区间范围； 如果其他条件不变，将允许误差缩小一半，应抽取多少名学生？解： x 75.6 10 n 5010 1.414 (分) n 50F(t) 95.45% t 2x t x 2 1.414 2.828 (分)75.6 2.83 X 75.6 2.8372.77 X 78.4372.77 78.43 分之间以 95.45%的概率保证程度推断全年级学生考试成绩的区间范围为 t 2 2 n 2 （由 x ； x t x 推得） xn1根据条件， x 1 x ，则 n 4n 4 50 200 （人） x 2 x（或直接代

16、公式：2 2 2 2t 2 222 102n 2 2 200 ） x22.828 222某企业生产一种新的电子元件，用简单随机重复抽样方法抽取100 只作耐用时间试验，测试结果，平均寿命 6000 小时，标准差 300 小时，试在 95.45% 的概率保证程度下，估计这种新电子元件的平均寿命区 间。假定概率保证程度提高到 99.73%，允许误差缩小一半，试问应抽取多少只灯泡进行测试？ 解： x 6000 300 n 100300x 30 （小时）x n 100F（t） 95.45% t 2x t x 2 30 60 （小时）6000 60 X 6000 605940 X 60605940606

17、0 小时之间在 95.45% 的概率保证程度下，估计这种新电子元件的平均寿命区间在 1 x 60 30 x2F （ t） 99.73% t 322t 2 2 nx2x32 30023023003采用简单重复抽样的方法，抽取一批产品中的200 件作为样本，其中合格品为 195件。要求： 计算样本的抽样平均误差； 以 95.45% 的概率保证程度对该产品的合格率进行区间估计。（作业 P20 4）解： n 200n1 195 F t 99. 45% t 2 样本合格率 p nn1 129050 97.5%抽样平均误差97.5% 1 97.5%2001.10% 抽样极限误差 p t p 2 1.10%

18、 2.20%总体合格品率： p p P p p97.5% 2.2% P 97.5% 2.2%95.3% P 99.7%95.3%99.7%之间以 95.45%的概率保证程度估计该产品的合格率进行区间在五、相 关分析和回归分析相关分析公式1. 相关系数n xy x yn x2 ( x) 2 n y2 ( y)22. 配合回归方程n xy x yn x2 ( x) 2a y bx3. 估计标准误：y2 a y b xy syn21根据某地区历年人均收入（元）与商品销售额（万元）资料计算的有关数据如下：n 9 x 546 y 260x2 34362 xy 16918计算： 建立以商品销售额为因变量的

19、直线回归方程，并解释回归系数的含义。 若 20XX 年人均收入 14000 元，试推算该年商品销售额。作业 P21 6）解：n xy x y 9 16918 5426 206.09259 34362 52 46b nx2x2a y bx 260 0.925 546 27.2399yc a bx 27.23 0.925x回归系数 b的含义：人均收入每增加 1 元，商品销售额平均增加0.925 万元。x= 14000元， yc27.23 0.925 14000 12922.77(万元)2根据 5 位同学西方经济学的学习时间（ x ）与成绩（ y ）计算出如下资料：n 5 x 40 y 310x2

20、370y2 20700 xy 2740要求： 计算学习时间与学习成绩之间的相关系数，并说明相关的密切程度和方向。 编制以学习时间为自变量的直线回归方程。 （要求计算结果保留 2 位小数）n xy x y解： rn x2 x 2 n y2 y 25 2740 40 3100.96225 370 402 5 20700 3102由计算结果可得，学习时间与学习成绩呈高度正相关。 b n xy x 2y 5 2740 40 2310 5.20n x2x 2 5 370 40231 0 4 0a y bx 5. 20 2 0. 4055yc a bx 20.40 5.20x3根据某企业产品销售额（万元）

21、和销售利润率（%）资料计算出如下数据：n 7 x 1890 y 31.1x2 535500 y2 174.15 xy 9318要求： 计算销售额与销售利润率之间的相关系数，并说明相关的密切程度和方向。 确定以利润率为因变量的直线回归方程。 解释式中回归系数的经济含义。 当销售额为 500 万元时，利润率为多少？解： rn xy x yn x2 x n y2y7 9318 1890 31.17 535500 18902 7 174.15 31.120.967由计算结果可得，销售额与销售利润率呈高度正相关。n xy x y 7 9318 1890 31.1b 2 2 0.0365 n x2x 2

22、7 535500 1890231.1 1890 a y bx 0.0365 5.41 77 yc a bx 5.41 0.0365x 回归系数 b的经济含义：销售额每增加 1 万元，销售利润率平均增加 0.0365%。 x= 500 万元， yc5.41 0.0365 500 12.84%4某部门 5 个企业产品销售额和销售利润资料如下：企业编号产品销售额（万元）x销售利润（万元）yxy2x2y2143022.09460184900484248026.512720230400702.25365040.0208004225001024495064.06080090250040965100069.

23、069000100000047613510213.5172780274030011067.25要求： 计算产品销售额与销售利润之间的相关系数，并说明相关的密切程度和方向。 确定以利润额为因变量的直线回归方程，说明回归系数的经济含义。 当产品销售额为 500 万元时，销售利润为多少？（结果保留三位小数）解：n xy x yn x2x n y2 y5 172780 3510 213.52740300 351025 11067.25 213.5 20.986由计算结果可得，销售额与销售利润呈高度正相关。b n xy2x 2yn x2x5 172780 3510 213.525 2740300 351

24、020.083213.5 3510a y bx 0.083 15.566 55yc a bx 15.566 0.083x 回归系数 b的经济含义：销售额每增加 1 万元，销售利润平均增加 0.083万元。 x= 500 万元， yc 15.566 0.083 500 25.934(万元)五、指数分析计算指数分析公式一、综合指数的计算与分析(1) 数量指标指数q1 p0 q0 p0此公式的计算结果说明复杂现象总体数量指标综合变动的方向和程度。( q1p0 -q0 p0 )此差额说明由于数量指标的变动对价值量指标影响的绝对额。(2) 质量指标指数q1p1 q1 p0此公式的计算结果说明复杂现象总体

25、质量指标综合变动的方向和程度。q1 p1- q1p0 )此差额说明由于质量指标的变动对价值量指标影响的绝对额。加权算术平均数指数kq0p0q0 p01 某企业产品总成本和产量资料如下：产品品种总成本（万元）产量增加或减少（ % ）kq(%)基期 q0 p0报告期 q1 p1A5060+10110B3045+20120C1012199试计算总成本指数、产量总指数及单位成本总指数。加权调和平均数指数=q1 p1=1q1p1 k（3） 复杂现象总体总量指标变动的因素分析相对数变动分析：q1 p1q0 p0q1 p0q1p1×q0 p0q1p0绝对值变动分析：q1p1-q0p0 =( q1p

26、0 -q0 p0)×( q1p1- q1p0)分析： 总成本指数等于两个时期实际总成本的比率。产量总指标是数量指标指数，知道两个时期的总值指标和数量指标个体指数，计算数量 指标指数应用算术平均数指数公式。单位成本指数 总成本指数 产量指数117130%90而 总成本 产量 单位成本 ，因此，解：总成本指数q1p1 60 45 12q0p0产量总指数 kq0p050 30 1050 110% 30 120% 10 99% 100.9112.11%50 30 10 90单位成本指数 总成本指数 产量指数 130% 112.11% 115.96%2 某公司销售的三种商品的销售额及价格提高幅

27、度资料如下：商品品种商品销售额（万元）价格提高（ %）kp(%)基期 q0 p0报告期 q1 p1甲10112102乙15135105丙20220100试求价格总指数、销售额总指数和销售量总指数。分析： 价格总指标是质量指标指数，知道两个时期的总值指标和质量指标个体指数，计算质量 指标指数应用调和平均数指数公式。销售额总指数等于两个时期实际销售额的比率。而 销售额 单位价格 销售量 ，因此， 销售量指数 销售额指数 价格指数解： 价格总指数p1q111 13 22 101.86%1 11 13 22 p1q1k 1 1 102% 105% 100%销售额总指数p1q1 11 13 22 102

28、.22%p0q0 10 15 20销售量总指数 销售额总指数 价格总指数 102.22% 101.86% 100.35%3 某超市三种商品的价格和销售量资料如下：商品品种单位价格（元）销售量p1q1p0q1q0 p0基期 p0报告期 p1基期 q0报告期 q1A袋3035100120420036003000B瓶2022200160352032004000C公斤232515015037503450345011470 10250 10450求： 价格总指数，以及由于价格变动对销售额的绝对影响额； 销售量总指数，以及由于销售量变动对销售额的绝对影响额； 销售额总指数，以及销售额实际变动额。 分析：

29、已知数量指标和质量指标在两个时期具体的指标值，用综合指数公式计算。解： 价格总指数p1q1 11470 111.90%p0q1 10250由于价格变动对销售额的绝对影响额p1q1p0q1 11470 10250 1220 （元）销售量总指数q1 p0 10250 98.09%q0 p0 10450由于销售量变动对销售额的绝对影响额q1p0q0 p0 10250 10450 200 （元）销售额总指数p1q1 11470 109.76%p0q0 10450销售额实际变动额p1q1p0q0 11470 10450 1020 （元）六、动态数列分析的计算一、平均发展水平的计算方法：（1） 由总量指标

30、动态数列计算序时平均数a由时期数列计算 a n由时点数列计算在间断时点数列的条件下计算：a. 若间断的间隔相等，则采用“首末折半法”计算。公式为：11a1 a2anan 12 1 2 n 2 n1an1b. 若间断的间隔不等，则应以间隔数为权数进行加权平均计算。公式为：a1 a2a2a2 a3f1f 21 2 2fan 1an2n1（2） 由相对指标或平均指标动态数列计算序时平均数基本公式为： c ab式中： c 代表相对指标或平均指标动态数列的序时平均数；a代表分子数列的序时平均数； b 代表分母数列的序时平均数；逐期增长量之和 累积增长量平均增长量逐期增长量的个数逐期增长量的个数（1） 计

31、算平均发展速度的公式为： x n x（2） 平均增长速度的计算平均增长速度平均发展速度 -（ 100%）（一）时点数列序时平均数的计算1某商店 1990 年各月末商品库存额资料如下：月份12345681112库存额（万元）605548434050456068又知 1 月 1 日商品库存额为 63 万元。试计算上半年、下半年和全年的月平均商品库存额。分析： 月末商品库存额为时点指标，因此该数列为时点数列，且以月为间隔，上半年间隔相等，用首末折半法计算序时平 均数；下半年间隔不等，用通式计算。解： 上半年：11a 12a0 a1an 1 12a63 60 55 48 43 40 5022 50.4

32、2 （万元）下半年：b1b2 fb2b3 fbn 1bnb 2f12 f2f 2fn150 45 2 45 60 3 60 68 12 2 2 52.75 （万元） 6全年：c a b 50.42 52.75 51.58（万元）22某工厂某年职工人数资料如下：时间上年末2 月初5 月初8 月末10 月末12 月末职工人数（人）354387339362383360试计算该厂该年的月平均人数。a1 a2f1a2 a3解：f2anan分析： 总人数为时点指标，因此该数列为时点数列，且以月为间隔，间隔不相等，用通式计算。354 387 1 387 339 3 339 362 4 362 383 2 3

33、83 360 22222212解：a12a2an 1 a2nn1124136129 133 13422 131.5 （万人）513 已知某市 2000 年人口资料如下：日期1月1日4月1日7月1日10 月 1 日12 月 31 日人口数（万人）124129133134136计算：该市 2000 年平均人口数。4我国人口自然增长情况如下单位：万人年份200020012002200320042005人口数（年底数）126743127627128453129227129988130756比上年增加人口-884826774761768试计算我国在“十五”时期年平均人口和年平均增加的人口数量。分析：人口

34、数是间断登记资料且间隔相等的时点数列。登记资料的时点在各年底，将2000 年底的人口数视为 20XX年初的人口数。用首末折半法计算。而人口增加数是时期数列，所以直接平均即可。a1 a2an 1 an 126743 127627 128453 129227 129988 130756年平均人口数 a 2 2 2 2n 1 6 1年平均增加的人口数a 884 826 774 761 768 an5二）平均指标动态数列序时平均数的计算1某工业企业资料如下：（作业 P29 4）指标一月二月三月四月工业总产值（万元）180160200190月初工人数（人）600580620600计算： 第一季度月平均劳动生产率。 第一季度平均劳动生产率。分析： 数据资料由两个具有相互联系的总量指标动态数列构成。计算平均劳动生产率，即算平均指标动态数列的序时平均 数。同样，先算出两个动态数列各自的序时平均数，再加以对比。其中，产值动态数列为时期数列，计算序时平均数用算术平均数公式；而工人数动态数列为时点数列，以月为间隔，间隔相等