第四章不等式

1、第四章 不等式知识网络考纲要求1 不等关系 了解现实世界和日常生活中存在大量的不等关系，了解不等式（组）的实际背景。2 一元二次不等式（ 1） 会从实际情景中抽象出一元二次不等式模型；（ 2） 通过函数图像了解一元二次不等式与相应二次函数、一元二次方程的联系；（ 3） 会解一元二次不等式、对给定的一元二次不等式会设计求解程序框图。3 二元一次不等式组与简单的线性规划问题（ 1） 会从实际情景中抽象出二元一次不等式组；（ 2） 了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组；（ 3） 会从实际情景中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决。ab4 基本不等式： ab2（1）

2、 了解基本不等式的证明过程（2） 会用基本不等式解决简单的最值问题备考建议1 复习不等关系时，要克服“想当然”和“显然成立”的思维定势，要以不等式基本性质 及实数运算法则为依据；2 复习一元二次不等式时，应了解一元二次不等式的实际背景，求解一元二次不等式，首 先可求出相应方程的根，然后根据相应函数的图像求出不等式的解，也可运用代数手段 求解；3 不等式有丰富的实际背景，是刻画区域的重要工具，刻画区域是解决线性规划问题的一 个基本步骤，学习中可以从实际背景研究二元一次不等式组；4 线性规划是优化的具体模型之一，在本章的学习中，应注重体会线性规划的基本思想， 借助几何图形的直观性解决一些简单的线性

3、规划问题；5 在复习时应强化不等式组的应用，提高应用意识，要总结不等式的应用规律，以便提高 解决问题的能力，如在实际问题中，主要有构造不等式求解或构造函数求最值等方法，1 1 的最小值为 abA解：因为 3a3b 3 ，所以 a b 1，111 1 b aba(a b)( ) 2 2 24，aba b a babB 4C 1D14a 求最值时要注意等号成立的条件， 另外利用函数 f （x） x （a 0） 的单调性解决最值x问题是近几年高考命题的热点，应加强这方面的训练；6 注重不等式知识与其它知识的联系，从而提高知识的迁移能力及综合能力，这也是近几 年高考对不等式知识考察的一个特点。真题解析

4、x1例 1. （2013 年新课标 卷数学）已知 a 0, x, y满足约束条件 x y 3 ,若 z 2x y y a（x 3）的最小值为 1, 则 a（ ）11AB C 1D 242【答案】 B1, 2a 时， z 有最小值且解：画出约束条件所表示的平面区域，当目标函数经过点1zmin 2 2a 1 ，因此 a2思路点拨：本题主要考察线性规划知识及数形结合思想。例 2（1）（2009 天津卷）设 a 0,b 0. 若 3是3a与3b的等比中项，则b a1当且仅当即 a b 时“ =”成立，故选择 Ca b22）若实数 a,b,c满足 2a 2b 2a b,2a 2b 2c 2a b c,则

5、c的最大值是解：依题意得 2a 2b 2a b 2a 2b2a 22, 由此得2a 2b 4 ；由 2a 2b 2c 2a b c 2a 2b 2c ，得 2c2a 2 b 12a 2 b1 11 1 4 1， ab2 2a 1 b 4 1 34所以 c log2 2 log 2 3 （当且仅当 a b 1时取等号）3，因此 c的最大值是 2 log 23.思路点拨： 本题主要考察数列知识与基本不等式的简单应用。例 3（2010 辽宁文卷） 已知函数 f （x） （a 1）ln x ax2 1I ）讨论函数 f （x） 的单调性；II）设 a2，证明：对任意 x1,x2(0, )， f (x1

6、) f (x2) 4| x1 x2 |。22ax 4x a 1x于是g'(x)24x2 4x 1x2(2x 1)2解：() f (x)的定义域为( 0，+). f '(x) a 1 2ax 2ax a 1 xx当a 0时， f '( x) > 0，故 f (x)在( 0，+)单调增加；当a 1时， f '(x)<0，故 f(x) 在( 0，+)单调减少；当-1<a<0时，令 f '(x) =0，解得 x a 12aa 1 a 1则当 x (0,)时， f '(x)>0；x ( , )时， f '(x)<

7、0.2a 2a故 f(x)在(0, a2a1)单调增加，在 ( a2a1, )单调减少 .)不妨假设 x1 x2 ，而 a 2，由()知在( 0，+)单调减少，从而x1,x2 (0, ) ， f (x1) f (x2) 4 x1 x2等价于x1,x2 (0, ) ， f(x2) 4x2 f(x1) 4x1a1令 g(x) f (x) 4x，则 g'(x) 2ax 4 x从而 g(x) 在( 0，+)单调递减，故 g(x1) g(x2)即 f (x2) 4x2 f(x1) 4x1故对任意 x1,x2 (0, )， f(x1) f(x2) 4| x1 x2|利用分思路点拨： 本题主要考察利

8、用导数研究函数的单调性的基本方法以及通过构造函数， 类讨论思想，提高分析解决问题的能力。4.1 不等关系与一元二次不等式基础知识21设 x1,x2 是一元二次方程 ax2 bx c 0的两实根，且 x1 x2。)当 a 0时，一元二次不等式 ax2 bx c 0 解集为)当 a 0时，一元二次不等式 ax2 bx c 0 解集为2不等式性质1）对称性： a b；（ 2）传递性： a b,b c3）加法法则： a b；（ 4）乘法法则： a b,c 0a b,c 0； a b 0,c d 05）乘方法则：a b 0,； (n N,n 1)6）开方法则：a b 0,； (n N,n 1)基础训练1

9、已知不等式：2 2 2x2 4x 3 0；x2 6x 8 0； 2x2 9x m 0 ,若同时满足的 x 也满足，则有（）A m 9 B m 9 C m 9 D 0 m 92已知函数 f(x) x 2,x 0x 2,x 0，则不等式 f （x） x2 的解集为（）A 1,1 B 2,2 C 2,1 D 1,23不等式 x2 ax b 0 的解集为 x|2 x 3 ，则 bx2 ax 1 0的解集为（ ）1111A x|2 x 3 B x| xC x|x D x| 3 x 23223若 1 a b 0，则 a 1,b 1,a2,b2 由大到小排序是5不等式 ax 1 x 1 0 的解集为 , 1

10、 1, 2，则 a 的值典型例题例 1 已知关于 x的不等式 （a b）x （2a 3b） 0的解集为 x|x 1 ，求关于 x3的不等式 （a 3b）x （b 2a） 0 的解集2例 2 解关于 x 的不等式： ax2 x 1 0例 3 设不等式 2x 1 m(x2 1)对满足 m 2的一切 m值都成立，求 x的取值范围规律总结1 解一元二次不等式应注意如果不等式两边都乘以负数必须改变不等号方向，所得的 不等式才和原不等式同解；2 解一元二次不等式可利用图像，解不等式组要充分利用数轴；3 判定不等式是否成立，常利用不等式基本性质、函数的单调性和特殊值等方法； 拓展训练一选择题1如果不等式 a

11、x2 bx c0的解集为 x|x 2,或 x 4，那么对于函数2f(x) ax bx c 应有()Af(5) f(2) f( 1) B f(2) f(5) f( 1)C f ( 1) f (2) f (5) D f (2) f ( 1) f(5)若不等式 mx2 2mx 4 2x2+4x 对一切 x R恒成立，则实数 m 的取值范围是()A ( 2,2) B 2,2 C,2 2,D,2若不等式 4 2x 3 4与不等式 x2 px q 0 的解集相同，则 p q12161612ABCD7777二填空题已知关于x 的方程22x 2ax a1 的两根介于2和 4 之间，则实数 a 的取值范围22若

12、关于 x的方程 x2 ax a2 1 0有一正根和一个负根，则 a 的取值范围是 。x x 2 已知 a 为正的常数，若不等式 1 x 1 对一切非负实数 x 恒成立，则 a 的最2a大值为 。三解答题若 x R,比较 x6 1与 x4 x2 的大小。解关于 x 的不等式 ax2 2 2x ax, a R设 y f (x) 是定义在 ,4 上的增函数，如果 f (m2 sin x) f (m 2 cosx) 恒 成立，求 m 的取值范围。10汽车行驶中，由于惯性作用，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，我们把 这段距离叫“刹车距离” ，刹车距离是分析事故原因的一个重要参考条件，在一个限速4

13、0 千米 /小时以内的弯道上，甲，乙两辆汽车相向而行，发现情况紧急，同时刹车，但 两车还是相撞了， 事后现场测得甲车的刹车距离略小于12m，乙车的刹车距离超过 10m，又知甲乙两种车型的刹车距离S( m)与车速 x(千米 /小时)之间分别有如下关系：S甲 0.1x 0.01x2， S乙 0.05x 0.005 x2问两车相撞的主要责任是谁？4.2 二元一次不等式（组）与简单的线性规划 基础知识1 （）在平面直角坐标系中，直线Ax By C 0 将平面所有的点分成三类， 一类在直线 上，另外两类分居直线 Ax By C 0 的两侧的两 个半平面内， 其中一个半平面内的点的坐标适合不等式 ，而另一

14、 个半平面内的点的坐标适合不等式 ，因此半平面就是二元一次不 等式的几何表示。（）判断不等式 Ax By C 0 所表示的平面区域， 可在直线 Ax By C 0 的某一侧的半平面内选取一个特殊点，如选原点或坐标轴上的点来验证 Ax By C 的符号的正负，当 C 0 时，常选用；2（） Z f （x, y）是欲达到最大值或最小值所涉及变量x，y 的解析式，叫做； 如果 Z f （x,y）又是关于 x， y的一次式，则称 Z f （x,y）为（）求线性目标函数在线性约束条件下的 问题，称为线性规划问题。 基础训练1 （x 2y 1）（x y 3） 0 表示的平面区域为（）ABCDx y 3 0

15、2设 Z=x-y ， x 和 y 满足条件 ，则 Z 的最小值为( )x 2y 0A 1 B 1 C3 D 33不在 3x 2y 6 表示的平面区域内的点是( )A (0,0) B (1,1) C (0, 2) D (2,0)x 2y 3 04已知变量 x, y满足约束条件 x 3y 3 0，若z ax y(其中 a 0 )仅在点( 3，0) y10处取得最大值，则 a 的取值范围为115已知正整数 a,b 满足 4a b 30， 取最小值时，实数对 a,b 是 。ab典型例题x y 1 0例 1 画出不等式组 表示的平面区域2x y 3 0xy20例 2 已知 x y 4 0 ，求2x y

16、5 01) Z x 2y 4的最大值；22) Z x2 y2 10y 25 的最小值；) Z 2y 1 的范围。x1例 3 预算用 2000 元购买单价为 50 元的桌子和 20 元的椅子， 希望使桌子的总数尽可 能的多，但椅子数不能少于桌子数， 且不多于桌子数的 1.5 倍，问桌子和椅子各买多少合适？规律总结1 画二元一次不等式表示的平面区域一般是 “线定界，点定域” ，注意不等式中不等号 有无等号，无等号时画虚线，有等号时画实线，点通常选原点；2 画二元一次不等式组表示的平面区域是求各个不等式表示平面点集的交集，即各个 不等式所表示平面区域的公共部分；3 线性目标函数 Z ax by 取最

17、大值的最优解与 b 的正负有关，若 b 0 ，最优解是 将直线向上平移到端点的位置得到，若 b 0 ，则是向下平移4 解线性规划的关键是作图尽可能精确，图上操作尽可能规范，假若最优点并不明显 易辨时，不妨将几个有可能的最优点的坐标逐一检验。拓展训练一选择题1 ABC 中，三顶点坐标分别为 A(2,4), B( 1,2), C(1,0) ，点 P(x,y)在 ABC 内部及边界运动，则 Z x y 的最大值和最小值分别为( )A 3,1B 1, 3C1, 3D 3, 1x 2y 1 0设实数 x, y满足不等式组 x 3y 6 0 ，则 x2 y2 的取值范围是xy20A. 55 , )5B.

18、2 ,已知 x，y 满足条件xy50x 3 ，k 为常数， 若 Z 2x 4y 的最小值为 xyk0则 k 的值为(A2BC 3 10D0二填空题4若正数 x,y满足 2x y 3 0，则 x 2y 的最小值为 xyx0y15实数 x，y满足不等式组x y 0 则 w 的取值范围是2x y 2 0x1x y 1 0226已知 x y 1 0，且x2 y2 4x 4y 8 ，则 的最小值为三解答题设变量x，xy30y 满足条件 x y 0 ，求目标函数 Z 2x y 的最小值2x3x 2y 7 0求 Z x2 y2 的最大值和最小值，使式中 x，y 满足约束条件 4x 3y 12 0x 2y 3

19、 0某投资人打算投资甲、乙两个项目，根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利率分别 为 100%和 50%，可能最大的亏损率分别为 30%和 10% ，投资人计划投资金额不超过 万元，要求确保可能的资金亏损不超过 1.8 万元，问投资人对甲、乙两项目各投资多少 万元，才能使可能的盈利最大？10210已知一元二次方程 x2 ax 2b 0 有两个根，一个根在区间（ 0，1）内，另一个 根在区间（ 1， 2）内，求：（1）点 （a,b） 对应的区域的面积；b2） 的取值范围；a1） （a 1）2 （b 2）2 的值域。4.3 基本不等式 基础知识1 如果 a,b R ，那么 a b ab ，当且仅当 时

20、，式中等号成立；22 若a,b R ，且 a b p （p为常数），则 ab存在值为；若 a,b R ，且 ab s （ s为常数），则 a b 存在值为；基础训练1 设 lna lnb 2，则 a b 的最小值为（ ）22A.2e B.2e C.e D.e2已知a 0,b0 ，且 a b2，则（）Aab 1B ab 1C2 ab2 2 D a2 b2 3223已知1 x，则函数 y 2x1的最大值是（）22x 1A2B1C1D 24若正数 a,b 满足 ab a b 3，则 ab的取值范围是。25设 x, y, z是正实数，满足 x 2y 3z 0 ，则 y 的最小值为xz典型例题19例1

21、（1）已知 x 0,y 0，且 1，求 x y的最小值；xy（）已知 x、y （0,+ ），且 2x 8y xy 0，求 x y 的最小值；例31）求函数x4 2x2 1的最小值2 x2）求函数例 2 已知 a 0,b 0 ， a b 1，求证：规律总结1使用基本不等式要明确各式成立的前提条件；2.利用基本不等式求最值，一定要注意使用的条件：一正（各数为正） ，二定（和或积为定值） ，三相等（等号在允许取值范围内能取到）3.利用基本不等式证明或求最值要熟悉基本不等式的各种变式：aba2baba2 b2a2b 2 a22b2拓展训练一选择题xy1已知向量 a （x 1,2）, b （4, y）

22、，若a b，则 9x 3y的最小值为（A 2 3B6C12D 3 2某工厂年产量第二年增长率为a，第三年增长率为 b，则这两年的平均增长率 x 满足( )ababababAxB xC xD x2222设 M (1 1)(1 1)(1 1)，且 a b c 1(a,b,c R ) ，则 M 的取值范围是 abc)A 0,1B1,1C1 ,1D8,A 8B8C8D二填空题x11 24设正数 x, y 满足y ，则 的最小值为 ；22x y5设正数 a,b满足 a b 3，则直线 a b x aby 0 的斜率的取值范围是 ；3x y 6 06设变量 x，y 满足条件 x y 2 0 ，若目标函数

23、Z ax by(a 0,b 0) 的最大x 0, y 023值为 12，则的最小值为 ；ab三解答题2 sin 5sin 7 求函数 y 的值域；3 sinab已知 a ,b是正常数， x,y R ，且 a b 10，1，x y的最小值为 18，xy求 a, b 函 数 y a1 x (a 0且, a 1的） 图 像 恒 经 过 定 点 A ， 点 A 在 直 线m x n y1 0 ( 、m11n 上0 ，） 求的最小值；mn10如图：动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其它各面 用钢筋网围成。（ 1）现有可围成 36m 长的网的材料，每间虎笼长、宽各设计为多少时，可使

24、每间虎笼 面积最大？2（）若是每间虎笼面积为 24m2 ，则每间虎笼长、宽各设计为多少时，可使围成的四间虎笼的钢筋网总长最小？本章综合测试选择题1若 a b 0 ，则下列不等式不成立的是（1 11 1BC a b aa bf （x） 在 （0, ） 上是增函数，且A a b2设奇函数)D a2 b2f (1) 0 ，则不等式 x f (x) f ( x) 0 的解集为 （ ）Ax| 1 x 0,或x 1B x|x 1,或0 x 1Cx|x1,或x 1D x| 1 x 0,或 0 x 1223设实数 x, y满足 x2 y2 1，则 （x y） 的最大值为（ ）A 2 B 2 C 2 2 D 2

25、 24已知等比数列 an 的各项均为正数，公比 q 1，设Pa3 a92,Q a5 a7 ，则、 Q 大小关系是(A P Q B P Q CP Q D不能确定5下面给出四个点中，到直线x y 1 0的距离为且位于x y 1 0 ，表xy10示的平面区域内的点是(A (1,1) B ( 1,1) C( 1, 1) D (1, 1)6"a b 0"是" a2bab"的(A 充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件7设 f (x) x3 x,x R ，当0 时， f (msin )2f (1 m) 0 恒成立，则实数 m 的取值范围是 (

26、)A( 0,1 )B ( ,0)1C( ,2)D ( ,1)8若不等式 (1 a)n alg a 0 对于任意正整数 n 恒成立，则实数 a 的取值范围是111Aa|a 1 Ba|0 a Ca|0 a或a 1 Da|0 a 或a 12239若不等式 x2 ax 1 0对一切 x (0,1 成立，则 a的最小值是(A 0 B 25C210 ABC满足 AB义 f(M)=(x,y,z) f(M)=(x,y, 1 ) ，则2A 9 B 8AC 2 3 ， BAC=30°，设 M是 ABC内的一点 (不在边界上 )，定其 中 x,y,z 分 别 表 示 MBC， MCA, MAB 的 面 积

27、 ， 若 141 4 的最小值为 ( )xyC 18D 162 2 111定义在 (0, )上的函数 f (x) (ax2 bx)(ax 2 bx 1)(ab 0)，则 f (x)(A 有最大值 (a b) ，无最小值B有最小值 (a b) ，无最大值D无最大值也无最小值C有最大值 (a b)2 ，有最小值 (a b)212 f(x) 是偶函数，且 f(x) 在 (0, )上是增函数，如果 x 1 ,1时，不等式 2f(ax 1) f(x 2)恒成立，则实数 a 取值范围是(A 2,0 B 5,0 C 5,1 D 2,1填空题13不等式 xlg(x 2) lg(x 2) 的解集是 ；14某居民小区收取冬季供暖费，根据规定，住户可以从以下两种方案任选其一：(1)按使