第三节二重积分的变量变换

1、第三节 二重积分的变量变换在重积分的计算过程中，有一种方法可以简化计算，这就是变量变换。 我们从简单的开始。定理 12. 10 U是 uv平面 R2的区域， D=a,b×c,d 是U子集，T是U到 xy平面 R2 上的一一的映射(或变换) ，T 的表达式为：xu, (u,v) U, (如图 ) y y(u,v)如果 y(u, v)有连续偏导数， 那么像集 T(D)=T(u,v)| (u,v)U是可求面积的， 并存在 (u0, v0)D 使得mT(D)(x, y)(u,v) (u0 ,v0)mD，xx (x, y)u v(u,v)y yuv证明 从条件可知道 , T(D)由 x=a,

2、x=b, y= y(u, c), y= y(u,d) , u a,b所围成的 . 即不妨设 y 0,即,T(D) (x,y)|a x b,y(x,c) y y(x,d) , 因此 T(D)是可求面积的 vb它的面积为 mT(D) (y(x,d) y( x, c)dx ,由积分中值定理得ay(x0,v0) (d c)(b a)bmT(D) (y(x0,d) y( x0, c) dx因 x= u,记 x0= u0 ,又(x,y)(u,v)10yyuvy,mD=(b-a)(d-c),故得证 .v类似的 ,我们有 ,定理 12. 11U 是 uv平面 R2的区域，D=a,b×c,d 是 U

3、子集， T 是 U 到 xy 平面 R2上的一一的映射(或变换) ，T 的表达式为：x x(u,v)yv(u,v) U,如果 x(u, v)有连续偏导数，那么像集T(D)是可求面积的，并存在 (u0, v0) D 使得mT(D)(x,y)(u,v) (u0 ,v0)mD，xx (x,y)u v(u,v)y yuv定义 定理 12.10和 12.11 中的映射称为本原映射或本原变换T 是 a,b×c,d D 到定理 12.12 设 D 是 uv 平面 R2 中的有界可求面积的闭区域，xy 平面 R2上的本原映射， x=x(u, v), y=y (u, v), 且作为向量值函数时有连续偏

4、导数. 如果 f(x, y)是 T(D) 上的连续函数 , 那么f (x, y)dxdyf(x(u,v),y(u,v)(xu,vy)dudv.T(D)D证明 设 D 包含于 a,b×c,d之中(如图 12-3-2)。对任取正整数 n, 分别将 a,b和 c,d作 2n等分，过分点分别作坐标轴的平行线 . 这样得到 D 的分划 . 这些小矩形中 ,包含于 D 之中的小矩形全体的并记为 An , 而与 D 相交不空小矩形全体的并记为 Bn. 显然Bn 1 Bn .记CnBn那么 Cn 也是小矩形的并 ,且包含了D 的边界 . 因为可求面积 , 所以lim mAn lim mBnmD,nn

5、lim mCn 0. n面的分划 ,将 D 分成若干个小的区域 ,记为 D1, D2, D3, , DN显然有Di Bn(i 1,2, ,N) .如果 Di An,那么 D i是个小矩形 ,. 由定理 12.10和12.11知,存在(ui* ,vi* ) Di,使得mT(Di)(x,y)mDi, 设 xi*x(ui* ,vi* ), yi*y(ui*,vi*),(u,v) (ui*,vi*)注意到 , T(D1), T(D2), T(D3), T(DN) 是 T(D )的分划 . 相应的 Riemann 和为xi,yi mT(Di )i1f xi,yi mT(Di)f xi ,yiiimT(D

6、i).其中* 表示所有满足 iDiAn的i 求和, * 表示所有满足iDiDAn 的 i 求和 ,并当DiAn 时 , 取(xi,yi) (x*i,yi*) . 为 了方 便 ,当DiDAno 时 , 任 取n(ui ,vi )Di , 同样记 (xi,yi) (x*i,y*i) (x(u*i ,vi*),y(u*i,vi*), 这时有xi,yi mT(Di)f x(ui,vi ),y(ui ,vi)(x,y)i1* f x(u*i , vi* ), y(u i* ,vi* )(x,y)mDi (u,v) (ui*,vi*)mDi (u,v) (ui*,vi*)* f xiii,yi mT(D

7、i )f x(u*i,v*i ),y(u*i,v*i ) (ux,vy)(ui*,vi*)mDif xi ,yi mT(Di )mDi (u,v) (ui*,vi*)* * * * (x,y) f x(ui*,vi*),y(ui*,vi*)Ni1x(u*i , v*i ),y(u*i,vi*)xi ,yi mT(Di )(x,y)(u,v)mDi(ui* ,vi* )x(ui*,v*i),y(u*i ,v*i)(x, y)mDi(u,v) (ui*,vi*)又因为 (x,y) 在有界闭集上连续，所以存在常数 K ，使得 0 (x,y) K ， 从而(u,v) (u,v)mT(Cn) Km(Cn

8、)，而 * 求和中的 Di Cn以及 f ( x, y)连续，所以存在常数 H， i使得 | f (x,y)|H. 故(x,y)* f xi,yi mT(Di) f x(u*i , v*i ), y(u*i , vi* )mDii(u,v)(ui* ,vi* )Hi* mT(Di ) KmDi2HKmCn .因此 ,当n 趋于无穷大时 ,f ( x, y)dxdyf (x(u,v),y(u,v)(x,y) dudvT(D)D(u,v)引理 设 D 是 uv 平面 R2 中的有界可求面积的闭区域， T 是 D 到 xy 平面 R2 上的一一 映射， x=x (u, v), y=y (u, v).

9、, 作为向量值函数时有连续偏导数 , 且 (x,y) 0 ,则对任意(u,v)Q0 (u0,v0) D,存在 Q0的邻域使得 T 在该邻域可以表达成两个具有连续偏导数的、一 一的本原映射的复合 .证明 记 x0 x(u0,v0), y0 y(u0,v0),P0 (x0,y0).由于 (x, y)(u,v) (u0,v0)0 ,此行列式中的四个数至少有一个不为0.不妨设xu (u0 ,v0 )0,作本原映射x(u,v)它的 Jacobi 行列式 ( , )(u,v)(u0 ,v0)u(u0,v0)Q0 (u0,v0) D 的某个邻域内 ,有逆映射使得由隐函数存在定理 ( 或逆映射定理 )得 ,

10、在u g( , ), g( , )在 T1(u0,v0) 的某个邻域内有连续偏导数 . 再作则有 xy y(g(, ), )x u,v) ,y y(g(x(u,v),v),v)y(u,v),即T2 T1 T由 T T2 T1容易知道 T1和 T2是一一的 .现在给出一般的二重积分的变换公式 .定理 12.13 设 D 是 uv平面 R2中的有界可求面积的闭区域， T 是(a,b)×(c,d) D到 xy 平面 R2 上的一一映射， x=x (u, v), y=y (u, v), 且作为函数时有连续偏导数 ,并 (x,y) 0 . (u,v)如果 f(x, y)是 T(D)上的连续函数

11、 , 那么f ( x, y)dxdyT(D)f (x(u,v),y(u,v)D(xu,vy)dudv., T 在这个邻域上证明 对每一点 Q=(u,v)D, 存在它的一个邻域 U (Q) P |PQ|可以表达成两个一一本原 映射的复合. 注意到 U (Q)|Q D 是 D 的开覆盖,由2Heine-Borel 有限覆盖定理得 ,存在其中有限多个领域 :12 min , ,s22.2U 1(Q1),U 2(Q2), U s(Qs),是 D的覆盖. 设2 2 2那么对正整数 n,由 a,b和c,d的 2n等分,得到 D 的分划, 当 n充分大时 , 每个小矩形的对 角线的长度一定小于 * , 那么

12、每个与 Do 相交不空的小矩形一定包含于某个 U (Qj)(j 1,2, ,s)中, 所以这样 D 的分划得到的小区域 : D1, D2, D3, DN 中每个 必包含于某个 U (Qj)(j 1,2, ,s)中., 即在每个 Dj 上有 T T2 T1.T1和T2都是本原一一映射 .设(u,v)(u,vx x( , ), y y( , ),故有(x,y)(u,v)(x,y) ( , ). 由定理 12.12 .( , ) (u,v)f ( x, y)dxdy T( Di)T1(Di)DiDif(x( , ),y( , ) (x,y)d d(,)f (x( (u,v), (u, v), y(

13、(u,v), (u,v)( x(u, v), y(u, v)(xu,vy)dudvN因此,f ( x, y)dxdyf (x, y)dxdyT(D)i 1 T(Di)Nf(x(u,v),y(u,v)i 1 Dii(xu,vy)dudv(x,y)(,)(,)(u,v)dudv(x,y) dudv.(u,v)得证.例 1 极坐标变换 x r cos ,y r sin , 它是 R2 到 R2 的一一映射，这时的f (x(u,v), y(u,v) DJacobi 是(x,y) cos (r, ) sinr sin rcosr. 所以重积分中，D般情况下，在极坐标的变换之后，可以认为是在极坐标系中的二

14、重积分x,y d 可以写成 f r cos ,rsin rdrd D即 f x,y d f r cos ,rsin rdrd . DD 这就是极坐标系中的二重积分的表达式其计算方法也是化为二次积分来计算则此时二次积分化为f r cos D,r sin rdrdf r cosr1,r sinrdr若积分区域是如上图 12-3-3( b) 表示的区域，即可以用不等式,0 r r 表示，则f r cos ,r sin rdrd Drd f rcos0,r sinrdr .若积分区域是如图 12-3-4 所示的区域，即能用不等式 02 ,0r r 表示，图 12-3-4r cos ,r sin rdr

15、f r cos D2,r sin rdrd例 2 求二重积分Dd ，其中区域22x2 y2D 是由22x 2 y 2 1, x 0, y 0 围成的解 用极坐标计算，此时积分区域用不等式 r 1,02表示，所以d 1 1d 2 d 12 2 0 0x y 1rdr2rr2223 计算二重积分e x2 y2 d ，其中DD 为圆2a2 的内部用极坐标计算，区域可以表示为,0a 所以 ,22x2 y2 da2例 4 计算圆柱面 x 2y22ax所围的空间区域被球面2r rdr2 2 2 2x2 y2 z2 4a2 所截的解 根据对称性，只要计算出此立体在第一卦限的体积，就可以得到立体体积此立体 在

16、第一卦限的部分可以 看成是以 xoy坐标面上 的半圆 区域 D 为 底， 以曲 面z 4a2 x2 y2 为顶的曲顶柱体其体积为 V14a2 x2 y2 dD区域 D 在极坐标系下可以表示为 0V14a2 x2 y2 d02 1332 2 2acos 4a r 2 02d0d8a3 2 1 sin3 d302acos032 2所以所求的空间立体的体积为 V 4V1 32 a3 21 3 2 3图 12-3-6例 5 求由曲线 xy=1, xy=2, y=x, y=2x 解 记该区域为 D,mD dxdyD作变换 T 的逆变化 T -1:u xyyvx(x,y) 1(u,v) 2v所围成的区域的面积 .因为 T 将1,2 ×1,2 映射为 D,所以dxdyDdu dv1 2vln 22习题 12-31. 求下列积分24x2y41)dxdy , D :x21.2)2(ax22a2by2 )dxdy2x2a2by22 1 .3)(x2y 2 )dxdy ,0,y 0,1x2y2 9,2xy 4 .xxydy1dx1 1 x222xdx xydy102 1 x2dx xydy2022a a y225) dy (x y )dxa026) ln(1 x2D的闭区域；22y2)d