高中数学 第三章 三角恒等变形 1 同角三角函数的基本关系课件 北师大版必修4

1、11 同角三角函数的基本关系第三章 三角恒等变形2学习目标1.能通过三角函数的定义推导出同角三角函数的基本关系式.2.理解同角三角函数的基本关系式.3.能运用同角三角函数的基本关系式进行三角函数式的化简、求值和证明.3题型探究问题导学内容索引当堂训练4问题导学5知识点同角三角函数的基本关系式思考1计算下列式子的值：(1)sin230cos230；(2)sin245cos245；(3)sin290cos290.由此你能得出什么结论？尝试证明它.答案6答案答案3个式子的值均为1.由此可猜想：对于任意角，有sin2cos21，下面用三角函数的定义证明：设角的终边与单位圆的交点为P(x，y)，则由三角

2、函数的定义，得sin y，cos x.sin2cos2x2y2|OP|21.7思考2由三角函数的定义知，tan 与sin 和cos 间具有怎样的等量关系？答案8(1)同角三角函数的基本关系式平方关系： .商数关系： .(2)同角三角函数基本关系式的变形sin2cos21的变形公式sin2 ；cos2 .tan 的变形公式sin ；cos .梳理梳理sin2cos211cos21sin2cos tan 9题型探究10 类型一利用同角三角函数的关系式求值命题角度命题角度1已知角已知角的某一三角函数值及的某一三角函数值及所在象限，求角所在象限，求角的其余三角的其余三角 函数值函数值例例1若sin ，

3、且为第四象限角，则tan 的值为答案解析11同角三角函数的关系揭示了同角三角函数之间的基本关系，其常用的用途是“知一求二”，即在sin ，cos ，tan 三个值之间，知道其中一个可以求其余两个.解题时要注意角的象限，从而判断三角函数值的正负.反思与感悟12跟踪训练跟踪训练1已知tan ，且是第三象限角，求sin ，cos 的值.又是第三象限角，解答13命题角度命题角度2已知角已知角的某一三角函数值，未给出的某一三角函数值，未给出所在象限，求角所在象限，求角的的 其余三角函数值其余三角函数值例例2已知cos ，求sin ，tan 的值.解答14是第二或第三象限角.(1)当是第二象限角时，则(2

4、)当是第三象限角时，则15利用同角三角函数关系式求值时，若没有给出角是第几象限角，则应分类讨论，先由已知三角函数的值推出的终边可能在的象限，再分类求解.反思与感悟16跟踪训练跟踪训练2已知cos ，求13sin 5tan 的值.解答17是第二或第三象限角.(1)若是第二象限角，18(2)若是第三象限角，综上可知，13sin 5tan 0.1920类型二利用同角三角函数关系化简解答是第三象限角，cos 0.21解答这类题目的关键在于公式的灵活运用，切实分析好同角三角函数间的关系，化简过程中常用的方法有：(1)化切为弦，即把非正弦、余弦的函数都化为正弦、余弦函数，从而减少函数名称，达到化简的目的.

5、(2)对于含有根号的，常把根号下化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的.(3)对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sin2cos21，以降低函数次数，达到化简的目的.反思与感悟22解答23解答解解是第二象限角，cos 0，24类型三利用同角三角函数关系证明证明原等式成立.25证明三角恒等式的过程，实质上是化异为同的过程，证明恒等式常用以下方法：(1)证明一边等于另一边，一般是由繁到简.(2)证明左、右两边等于同一个式子(左、右归一).(3)比较法：即证左边右边0或 1(右边0).(4)证明与已知等式等价的另一个式子成立，从而推出原式成立.反思与感悟26证明27证明证明方法一

6、方法一(比较法作差)28方法二方法二(比较法作商)29方法三方法三(综合法)(1sin x)(1sin x)1sin2xcos2xcos xcos x，30类型四齐次式求值问题解答例例5已知tan 2，求下列代数式的值.31解答32(1)关于sin 、cos 的齐次式，可以通过分子、分母同除以cos 或cos2转化为关于tan 的式子后再求值.(2)注意例5第(2)问式中不含分母，可以视分母为1，灵活地进行“1”的代换，由1sin2cos2代换后，再同除以cos2，构造出关于tan 的代数式.反思与感悟33解答所以tan 3.34解答(2)sin22sin cos 1.35当堂训练361.若s

7、in ，且是第二象限角，则tan 的值等于23451答案解析3723451答案解析2.已知sin cos ，则sin cos 等于38答案解析2345139答案解析234514.若tan 2，则sin cos .40解答2345141规律与方法1.利用同角三角函数的基本关系式，可以由一个角的一个三角函数值，求出这个角的其他三角函数值.2.利用同角三角函数的关系式可以进行三角函数式的化简，结果要求：(1)项数尽量少；(2)次数尽量低；(3)分母、根式中尽量不含三角函数；(4)能求值的尽可能求值.3.在三角函数的变换求值中，已知sin cos ，sin cos ，sin cos 中的一个，可以利用方程思想，求出另外两个的值.424.在进行三角函数式的化简或求值时，细心观察题目的特征，灵活、恰当地选用公式，统一角、统一函数、降低次数是三角函数关系式变形的出发点.利用同角三角函数的基本关系主要是统一函数，要掌握“切化弦”和“弦化切”的方法.5.在化简或恒等式证明时，注