振动与波动_习题

1、振振 动动问题一：利用振动系统的已知状态求解振动方程问题一：利用振动系统的已知状态求解振动方程位移位移0cosxAt速度速度0sin()dxAtdt v加速度加速度2202cos()d xaAtdt 简谐振动的判据简谐振动的判据2.动力学判据动力学判据: kxF 0222 xdtxd1.运动学判据运动学判据: 0cos tAtx方程：方程：条件：条件： 系统的已知状态系统的已知状态问题二：如何判定一个系统是否在作简谐振动，并求频率或周期问题二：如何判定一个系统是否在作简谐振动，并求频率或周期垂直方向垂直方向,同频率简谐振动的合成同频率简谐振动的合成:同方向同方向,不同频率简谐振动的合成不同频率

2、简谐振动的合成:同方向同方向,同频率简谐振动的合成同频率简谐振动的合成:垂直方向垂直方向,不同频率简谐振动的合成不同频率简谐振动的合成:问题三：振动的合成问题三：振动的合成旋转矢量法旋转矢量法+矢量合成矢量合成拍频现象和外差探测拍频现象和外差探测光学问题中常见到光学问题中常见到李萨如图形李萨如图形1.设一物体沿设一物体沿 x 轴作简谐振动，振幅为轴作简谐振动，振幅为 12 cm ，周期为周期为2.0 s ；在在 t=0 式式的位移为的位移为 6.0cm, 且这时物体向且这时物体向 x 轴正方向运动。试问：轴正方向运动。试问： （1） 初相位；初相位； （2） t=0.5s 时物体的位置，速度和

3、加速度；时物体的位置，速度和加速度； （3） 在在 x=-6.0cm 处，且向处，且向 x 轴负方向运动时，物体的速度和加速轴负方向运动时，物体的速度和加速度，以及它从这个位置到达平衡位置所需要的时间。度，以及它从这个位置到达平衡位置所需要的时间。（1） t = 0 时时 0000cos612cos3xA 由于由于00sin0vA 因此有因此有03 （2）振动方程为）振动方程为12cos()()3xtcm速度速度12sin()(/ )3vtcm s 加速度加速度2212cos()(/)3atcm s 当当 t = 0.5 s 时时210.4(),18.8(/ ),103(/)xcmvcm sa

4、cm s12cos()()3xtcm2T（3）由旋转矢量图示，）由旋转矢量图示， 当当 x = -6 即即 -A/2 ， 且且 v 0 时时 ， 位相位相 x(cm)ot=0-/3-A/212t233t此时速度此时速度02sin()12 sin32.6(/ )3vAtvcm s 加速度加速度22202cos()12cos59.2(/)3aAtacm s 从该位置到达平衡位置所需的时间：从该位置到达平衡位置所需的时间：230.83( )ts 2 如图所示，两轮的轴相互平行，相距为如图所示，两轮的轴相互平行，相距为2d，两轮的转速相同而转向相反。现将质量，两轮的转速相同而转向相反。现将质量为为m的

5、一块匀质木板放在两轮上，木板与两轮之间的摩擦系数均为的一块匀质木板放在两轮上，木板与两轮之间的摩擦系数均为u。若木板的质心。若木板的质心偏离对称位置后，试证木板将作简谐振动，并求其振动周期。偏离对称位置后，试证木板将作简谐振动，并求其振动周期。2dOx解：解：以木板的中心为坐标原点，向右的方向以木板的中心为坐标原点，向右的方向为正，设木板的质心偏离原点为正，设木板的质心偏离原点x，木板对，木板对两轮的作用力分别为两轮的作用力分别为N1，N2根据木板所受力矩平衡条件根据木板所受力矩平衡条件12Ndmg dx22Ndmg dx木板在水平方向所受到的合力木板在水平方向所受到的合力12mgFNNxd

6、水平方向水平方向22ddxFmt22d0dxgxtd振动周期振动周期2dTg3 一匀质细杆质量为一匀质细杆质量为m，长为，长为l，上端可绕悬挂轴无摩擦的在竖直平面内转动，下端，上端可绕悬挂轴无摩擦的在竖直平面内转动，下端与一劲度系数为与一劲度系数为k的轻弹簧相联，如图所示，当细杆处于铅直位置时，弹簧不发生的轻弹簧相联，如图所示，当细杆处于铅直位置时，弹簧不发生形变。试求细杆作微小振动时的频率。形变。试求细杆作微小振动时的频率。解：解：当细杆偏离当细杆偏离 分析杆受到的恢复力矩分析杆受到的恢复力矩重力产生的力矩大小：重力产生的力矩大小：sin2gmglM弹簧产生的力矩大小：弹簧产生的力矩大小：s

7、incosFMkll建立系统的动力学方程：建立系统的动力学方程：222dsinsincos23dgFmglmlMMMkllt 当偏角当偏角 很小时，上式可变为很小时，上式可变为2222d30d2mglkltml细杆作微小振动时的频率细杆作微小振动时的频率13622mgklvmlAmR2222JmRmRmR复摆小角度摆动的周期为复摆小角度摆动的周期为222222JmRRTTmgRmgRg4.如图所示，一细圆环质量为如图所示，一细圆环质量为 m ，半径为半径为 R ，绕环上一点绕环上一点 A 并与并与环面垂直的水平轴在竖直平面内作小幅度摆动，求摆动周期。环面垂直的水平轴在竖直平面内作小幅度摆动，求

8、摆动周期。由平行轴定理，转动惯量为由平行轴定理，转动惯量为解：设圆环在竖直平面内偏离一微小角度解：设圆环在竖直平面内偏离一微小角度singMmgR22ddgMJt重力产生的恢复力矩大小为重力产生的恢复力矩大小为建立系统的动力学方程：建立系统的动力学方程：当偏角当偏角 很小时，上式可变为很小时，上式可变为22d0dmgRtJ5.图中定滑轮半径为图中定滑轮半径为 R, 转动惯量为转动惯量为 J ， 轻弹簧劲度系数为轻弹簧劲度系数为 k ，物体物体质量为质量为 , 现将物体从平衡位置拉下一微小距离后放手，不计一切摩擦和空现将物体从平衡位置拉下一微小距离后放手，不计一切摩擦和空气阻力，使证明系统作简谐

9、振动，并求其作谐振动的周期。气阻力，使证明系统作简谐振动，并求其作谐振动的周期。mkRJOXxT1mg以以 m 为研究对象。为研究对象。在平衡位置在平衡位置 O 时：合外力时：合外力00(1)Fmgk l 在任意位置在任意位置 x 时：合外力时：合外力1(2)FmgT以下由转动系统解出以下由转动系统解出 T1：fT1R11()()(3)T Rklx RJJTklxR 将将 （1），（），（3）代入（）代入（2）中，合外力）中，合外力()(4)JJFmgklxkxRR 而物块下落加速度等于滑轮旋转加速度而物块下落加速度等于滑轮旋转加速度aFRmR代入（代入（4）中得）中得2JFFkxmR 222

10、(1)()JmR kFkxFxmRmRJ 合外力与位移成正比且方向相反，系统的动力学方程为合外力与位移成正比且方向相反，系统的动力学方程为角频率为角频率为222R kmRJ周期周期2222mRJTkR2222d)d(0mR kmxmRJxt6 图为两个互相垂直的谐振动合成运动的轨迹。若cosxAt且动点运动方向如图所示y 则cos(2)2At1.平面简谐波方程：000( , )cos()cos()cos2 ()xx tAtAtkxutxAT波波 动动问题一：利用波动的已知状态求解波动方程利用波动的已知状态求解波动方程2.根据已知状态求解必要参数如振幅、频率、波长等3.根据时间初始点、位置原点以

11、及波的传播方向写出波动方程问题二：波的传播及叠加问题二：波的传播及叠加2. 半波损失1. 波的不同方向传播的描述3. 波的叠加（干涉、驻波）问题三：多普勒效应问题三：多普勒效应一般形式RRSSuvuv电磁波的多普勒效应RScvcv1 一波长为一波长为 的平面简谐波，已知的平面简谐波，已知 A 点的振动方程为点的振动方程为 y=Acos(t+) 试求在图中四种坐标选择情况下此简谐波的表达式试求在图中四种坐标选择情况下此简谐波的表达式yO AxuyO AxuyxOAlu解答提示解答提示（1)(2)(3)（1）cos()xyAtu（2）cos()xyAtu（3）cos()xlyAtu（4）cos()

12、xlyAtuxOAuy(4)l2.一平面一平面 简谐波在介质中以速度简谐波在介质中以速度u=20m/s自左向右传播，已知在传播路径上自左向右传播，已知在传播路径上的某点的振动方程为的某点的振动方程为y=3cos(4 t- ) ,另一点在右方另一点在右方9m处，处，(1)若取若取x轴轴方向向左，并以点为坐标原点，试写出波动方程，并求出点的振动方方向向左，并以点为坐标原点，试写出波动方程，并求出点的振动方程程(2)若取若取x轴方向向右，以点左方轴方向向右，以点左方5米处的点为米处的点为x坐标原点，重新写出波动坐标原点，重新写出波动方程及点的振动方程。方程及点的振动方程。(1)波动方程为：波动方程为

13、：)54cos(3xty 振动方程为：振动方程为：)5144cos(3tyD(2)mOA5)5144cos(3 tyDxyAD9muxyoAD5m9mu54cos3xty)4cos(3)205(4cos3ttyo 3. 图示为图示为 t=0 时刻的波形，求：时刻的波形，求： （1）原点的振动方程；）原点的振动方程； （2）波动方程；）波动方程； （3）p 点的振动方程；点的振动方程； （4）a,b 两点的运动方向。两点的运动方向。（1）由图，）由图，0.4 ,0.08/ ,m um s0.2p0.04ox(m)y(m)abu=0.08m/s0020.04 cos()5yt设原点振动方程为设原点

14、振动方程为由由00cos0sin0AA02020.04cos()52yt225u（2）波动方程）波动方程20.04cos()50.0820.04cos 2 ()50.42xyttx（3） p 点与点与 O 点相距一个波长，点相距一个波长，p点振动与点振动与 O 点相同点相同230.04 cos()52pyt（4） a 向向 y 轴负方向，轴负方向， b 向向 y 轴正方向。轴正方向。y(m)0.2p0.04ox(m)abu=0.08m/s 4 如图所示，波源位于如图所示，波源位于 O 处，由波源向左右两边发出振幅为处，由波源向左右两边发出振幅为 A，角频率为角频率为 ，波速为，波速为 u 的简

15、谐波。若波密介质的反射面的简谐波。若波密介质的反射面 BB 与点与点 O 的的距离为距离为 d=5/4, 试讨论合成波的性质。试讨论合成波的性质。解答提示解答提示BBOd=5/4x设设 O 为坐标原点，向右为正方向。为坐标原点，向右为正方向。12( , )cos()x tAtx自自 O 点向右的波：点向右的波：自自 O 点向左的波：点向左的波：22( , )cos()x tAtxp反射点反射点 p 处入射波引起的振动：处入射波引起的振动：25( )cos()( )cos()42pptAttAt反射波在反射波在 p 点的振动（有半波损失）：点的振动（有半波损失）：( )cos()( )cos()

16、22pptAttAt3354( , )cos()22( , )cos()xx tAtux tAtx反射波的波函数反射波的波函数在在23504x与叠加为驻波：2322cos()cos()22 coscos()AtxAtxAtx130 x在和合成为简谐波：132( , )2 cos()x tAtx5 如图所示，弹性介质沿如图所示，弹性介质沿 x 轴分布，在轴分布，在 的点的点 S1 和和 S2 处处有两个波源，它们独立存在时的振动方程有两个波源，它们独立存在时的振动方程 （ S1 位于位于 -5/8 ， S2 位于位于 +5/8）：）：58x1( )cos()4y tAt2( )cos()4ytA

17、t试求：它们的合成波的性质；试求：它们的合成波的性质；解答提示解答提示S1-5/ 8S2+5/ 8xyS1 向向 x 轴正，负方向传播的波：轴正，负方向传播的波： 1252( , )cos()cos()84x tAtxAtx1252( , )cos()cos()842x tAtxAtxS2 向向 x 轴正，负方向传播的波：轴正，负方向传播的波： 2252( , )cos()cos()84x tAtxAtx2252( , )cos()cos()842x tAtxAtx125,8x在与叠加：1222 cos()Atx125,8x 在与叠加：1201255,88x在与叠加：1222cos()cos()2322 cos()cos()44AtxAtxAtx6.蝙蝠在洞穴中飞来飞去，利用超声脉冲导航非常有效。超声脉冲持续时间蝙蝠在洞穴中飞来飞去，利用超声脉冲导航非常有效。超声脉冲持续时间约约 1ms ，每秒重复发射数次。假定蝙蝠所发射的超声频率为每秒重复发射数次。假定蝙蝠所发射的超声频率为39kHz, 在朝着在朝着表面平坦的