均匀化理论和多尺度方法

1、高等复合材料力学Advanced Mechanics of Composite Materials陈玉丽陈玉丽 航空科学与工程学院航空科学与工程学院6.1 6.1 引言引言在考察实际复合材料微结构状态变量和材料系数的演化时，由于热在考察实际复合材料微结构状态变量和材料系数的演化时，由于热载荷和机械载荷都是施加在宏观结构层面，所以研究采用的细观力学模载荷和机械载荷都是施加在宏观结构层面，所以研究采用的细观力学模型必须能够把细观响应和宏观行为联系起来。型必须能够把细观响应和宏观行为联系起来。单胞模型通过在非均匀结构中提取出一个代表性体积单元单胞模型通过在非均匀结构中提取出一个代表性体积单元(RVE

2、)从而从而可以求得有效的材料响应和演化过程。这里假设微结构是周期性重复排可以求得有效的材料响应和演化过程。这里假设微结构是周期性重复排列的单胞，与复合材料的宏观尺寸相比，它的不均匀性是很小的，此种列的单胞，与复合材料的宏观尺寸相比，它的不均匀性是很小的，此种类型的材料被称作具有周期性微观结构的复合材料类型的材料被称作具有周期性微观结构的复合材料（第三章（第三章 ） 。但是，。但是，单胞法还是存在许多不足。周期性假设用于预测最优材料性能非常有效，单胞法还是存在许多不足。周期性假设用于预测最优材料性能非常有效，然而然而实际的非均匀材料很少具有完全的周期性微结构，宏观结构上不同实际的非均匀材料很少具

3、有完全的周期性微结构，宏观结构上不同的点可能具有不同的微结构形态。的点可能具有不同的微结构形态。这种假设在处理这种假设在处理复杂载荷条件复杂载荷条件下非线下非线性非均匀结构变形问题时也存在不足。为了解决上述问题，单胞模型应性非均匀结构变形问题时也存在不足。为了解决上述问题，单胞模型应该包含大的区域，采用大的模型。该包含大的区域，采用大的模型。26.1 6.1 引言引言20世纪世纪70年代，学者们在研究非均匀材料时引入了一种替代的数学年代，学者们在研究非均匀材料时引入了一种替代的数学方法，方法，Benssousan和和Sanchez-Palencia等称之为等称之为均匀化理论均匀化理论。这种方法

4、用。这种方法用于分析具有于分析具有两个或者多个尺度两个或者多个尺度的物质系统，它可以把含有第二相空间的的物质系统，它可以把含有第二相空间的细观尺度和整体结构上的宏观尺度联系起来。细观尺度和整体结构上的宏观尺度联系起来。通过对位移和应力场进行通过对位移和应力场进行渐进展开渐进展开以及适当的变分原理，均匀化方以及适当的变分原理，均匀化方法不仅可以求出等效的（均匀化）材料常数，而且可以得到两个尺度上法不仅可以求出等效的（均匀化）材料常数，而且可以得到两个尺度上的应力和应变分布。相对于单胞法，这种方法的优点在于的应力和应变分布。相对于单胞法，这种方法的优点在于不必作全局的不必作全局的周期性假设周期性假

5、设，在宏观结构的不同点可以有不同的微结构。然而，这种分，在宏观结构的不同点可以有不同的微结构。然而，这种分析通过引入空间重复排列单胞作了析通过引入空间重复排列单胞作了局部周期性假设局部周期性假设。Toledano和和Murakami，Guedes和和Kikuchi以及以及Devries等成功地把有限等成功地把有限元方法和均匀化方法结合起来用于分析复合材料的线弹性问题。在这些元方法和均匀化方法结合起来用于分析复合材料的线弹性问题。在这些研究当中，通过计算机模拟宏观结构的平均应力和应变场得到了全局的研究当中，通过计算机模拟宏观结构的平均应力和应变场得到了全局的响应，同时借助局部应力和应变场的描述得

6、到了微结构的行为。响应，同时借助局部应力和应变场的描述得到了微结构的行为。36.2 6.2 多尺度模型多尺度模型4一具有周期性结构的复合材料弹性体一具有周期性结构的复合材料弹性体 ，受体力，受体力f，边界，边界 t 上受表面力上受表面力t，边界，边界 u 上给定位移边界条件。上给定位移边界条件。宏观某点宏观某点 x 处的细处的细观结构可以看成是非均匀单胞在空间中周期性重复堆积而成。观结构可以看成是非均匀单胞在空间中周期性重复堆积而成。单胞的单胞的尺度尺度 y 相对于宏观几何尺度为小量。相对于宏观几何尺度为小量。xftu y6.2 6.2 多尺度模型多尺度模型50432104321xy=x/01

7、宏观尺度：宏观尺度： 微观尺度：微观尺度： 例如：例如：宏观尺度为宏观尺度为 m，微观尺度为微观尺度为 nm， = 10-9实际为实际为 1m 的尺寸，即的尺寸，即 x=1 (m)， 在微观尺度下在微观尺度下 y=x/= 109 (nm)实际为实际为1nm的尺寸，即的尺寸，即 y=1 (nm)，在宏观尺度下，在宏观尺度下 x=y= 10-9 (m)y6.2 6.2 多尺度模型多尺度模型6对于非均匀的复合材料，当宏观结构受外部作用时，位移对于非均匀的复合材料，当宏观结构受外部作用时，位移和应力等结构场变量将随宏观位置的改变而不同。同时由于细和应力等结构场变量将随宏观位置的改变而不同。同时由于细观

8、结构的高度非均匀性，使得这些结构场变量在宏观位置观结构的高度非均匀性，使得这些结构场变量在宏观位置 x 非非常小的邻域常小的邻域 内也会有很大变化。因此所有变量都假设依赖于内也会有很大变化。因此所有变量都假设依赖于宏观与细观两种尺度，即：宏观与细观两种尺度，即： , xx yy = x上标上标 表示该函数具有两尺度的特征。表示该函数具有两尺度的特征。, x yx y+YY-周期性：微观单胞的周期为周期性：微观单胞的周期为Y6.2 6.2 多尺度模型多尺度模型7在在 中，弹性张量中，弹性张量 和柔度张量和柔度张量 分别为分别为 假设应力场和位移场都满足平衡方程、几何方程和本构方程，有假设应力场和

9、位移场都满足平衡方程、几何方程和本构方程，有 其中其中 是细观坐标系是细观坐标系 y 中的具有中的具有 Y-周期的位移场。周期的位移场。同时，在给定力边界和给定位移边界分别满足同时，在给定力边界和给定位移边界分别满足 ijklEijklS( )( , )inijklijklEExx y( )( , )inijklijklSSxx y,inij jif 1in2klkllkuuexxinijijklklE e( , )uu x yonijjitntoniiuuu均匀化方法均匀化方法83 3）以傅里叶变换为基础的多尺度方法）以傅里叶变换为基础的多尺度方法2 2）泰勒）泰勒级数近似法（级数近似法（T

10、aylor Series Approximation）1 1）渐进展开渐进展开法法（Asymptotic expansion）6.3 6.3 渐进展开法渐进展开法9在均匀化理论中，在均匀化理论中， Y-周期位移场可以近似为宏观坐标周期位移场可以近似为宏观坐标 x 的展开式，的展开式，渐进展开渐进展开是其中比较常用的一种展开方法中，其展开形式为：是其中比较常用的一种展开方法中，其展开形式为： 0122( , )( , )( , ),xuxux yu x yux yy1,iiixxy xx y注意到任意一个依赖于两个尺度的函数注意到任意一个依赖于两个尺度的函数 对宏观坐标对宏观坐标 x 的偏微分为

11、的偏微分为0000111122223321011 1221,klklklklkllklklklkklklklkllklklklkklkluuuuuuuuexxyyxxyyuuuuuuuuxxyyxxyyeex yx122,klkleeyx yx y应变张量应变张量Asymptotic expansion6.3 6.3 渐进展开法渐进展开法10代入本构方程，可得应力场的渐进展开式：代入本构方程，可得应力场的渐进展开式：其中其中101221,klklklklkleeeee x yx yx yx y将应力的渐进展开式代入平衡方程，有将应力的渐进展开式代入平衡方程，有101221,klklklklkl

12、 x yx yx yx y,1,0,1,2nnijijklklE en x y110011222,111,110jjjjjjjjijijijijijijijijixyxyfxyxyx yx yx yx yx yx yx yx y6.3 6.3 渐进展开法渐进展开法11令令 i (i=-2,-1,0,1) 的系数为零，得到一系列控制方程：的系数为零，得到一系列控制方程：121010101211,:0,:0,:0,:0,:0,1,2,3jjjjjjjjjijijijijijiijijnnijijnOyOxyOfxyOxyOnxyx yx yx yx yx yx yx yx yx y（1 1）（2

13、2）（3 3）6.3 6.3 渐进展开法渐进展开法12根据根据Y-周期性，可以证明（周期性，可以证明（Devries et al. 1989）00kijkljluEyy可以得到可以得到00( )uux10ij（2）式00ijjy010kkijkljlluuEyxy（1）式 00klkijijluxy ( )0klijjyy ( )klpklklijijpmpmmETyy其中其中01( )klkiiluuxy1()2klijikjliljkT 细观平衡方程细观本构方程110010(1)0(2)0(3)jjjjjijijijijijiyxyfxy6.3 6.3 渐进展开法渐进展开法13在在Y 内积

14、分，有内积分，有 00klkijijluxy00kijijklluExH 1klklijklijijYEdYYHy均匀化弹性常数（3）式00inijijfx110010(1)0(2)0(3)jjjjjijijijijijiyxyfxy均匀化的宏观平衡方程00in,on,onijkiijijkljlijjitiiuufExxntuu H0令令宏观弹性问题的解6.3 6.3 渐进展开法渐进展开法14xy=x/宏观宏观 微观微观尺尺 度度z=x/2对位移渐进展开对位移渐进展开0122uuuu代入平衡方程代入平衡方程,0ij jif得到控制方程得到控制方程不同阶系数为零得到均匀化方程得到均匀化方程利用

15、周期边条化简控制方程动态问题怎么办？动态问题怎么办？6.4 6.4 含时间的渐进展开（含时间的渐进展开（1 1）15弹性动力学问题弹性动力学问题:,0iij ju012 2, , , , ,iiiituuuttutx yx yx yx y1( , , )( , , )niiix y tx y t 0( , , )( , , )niiiu x y tu x y t参考文献：Fish, J. and Chen, W. (2001). Higher-Order Homogenization of Initial/ Boundary-Value Problem. J. Eng. Mech., 127(

16、12), 12231230. 1;,xxyuuu;xeuEexy=x/6.4 6.4 含时间的渐进展开（含时间的渐进展开（1 1）16令令 i (i=-2,-1,0,1) 的系数为零，得到一系列控制方程：的系数为零，得到一系列控制方程： 20,10,0,1,1,1,2,:0:0:00,1,2,3,yyyxyyxyiii xiyixiyxyOEuOEuEuEuOuE uuE uuin10,1,0,1,2,3,yii xiyEuE uuin不同阶的应力为不同阶的应力为：6.4 6.4 含时间的渐进展开（含时间的渐进展开（1 1）1720,:0yyOEu00,uUx tdy0,0yyEu0u200,

17、0,0d0yyuEuE uy00,0,0,dd0yyyyuEuyuEuy00,0yu6.4 6.4 含时间的渐进展开（含时间的渐进展开（1 1）1820,:0yyOEu00,uUx t10,0,1,:0yxyyxyOEuEuEu 110,xuUx tL y U00,1xyUEL0,1,0 xyyE Uu 110, ,xux y tUx tL y U 线性问题通解：线性问题通解： 代入原式得：代入原式得：,10yyEL00,1xyUEL110000yyyyuu110000yyyyuu 11( , , )( , )( )0u x y tU x tL y如何求解如何求解 L(y) ？提示：提示：1.

18、 周期性（周期性（Periodicity）：）：2. 连续性（连续性（Continuity）：）：3. 正交性（正交性（Normalization）：）：请求出请求出L(y)（分段表达），进而求出（分段表达），进而求出,1yEL6.4 6.4 含时间的渐进展开（含时间的渐进展开（1 1）1920,:0yyOEu00,uUx t10,0,1,:0yxyyxyOEuEuEu 110,xuUx tL y U00,1xyUEL12,1211HyE EEELEE00,1,1,2,:0ixyxyxyOuE uuE uu121H 00,0HHxxUE U均匀化后的材料性质与静态问题是一致的。因此，均匀化后的

19、材料性质与静态问题是一致的。因此，0阶问题是无色散阶问题是无色散的。为了反映波的色散效应（的。为了反映波的色散效应（dispersion effect），必须考虑更高阶的项。），必须考虑更高阶的项。请证明请证明6.4 6.4 含时间的渐进展开（含时间的渐进展开（1 1）20:O2:O222112222121121HdHEEEEEE11,0HHxxUE U 其中，其中，Ed 表征了非均匀对宏观行为的影响。表征了非均匀对宏观行为的影响。 Ed具有如下特性：具有如下特性： 1）正比于单元尺寸的平方；）正比于单元尺寸的平方； 2）均匀材料（）均匀材料（=0 或或 =1） Ed =0。 右端力项正比于宏

20、观应变梯度，梯度越小，右端项越小。右端力项正比于宏观应变梯度，梯度越小，右端项越小。22,0,HHxxdxxxxUE UE U6.4 6.4 含时间的渐进展开（含时间的渐进展开（1 1）213:O4:O2241122121244121,3601HgHEEEEf E EEE 其中，其中，Eg表征了微观结构对宏观行为的影响。表征了微观结构对宏观行为的影响。 Eg具有如下特性：具有如下特性： 1）强依赖于单元尺寸；）强依赖于单元尺寸； 2）均匀材料（）均匀材料（=0 或或 =1） Eg =0。 如果材料的非均匀尺度很小，则色散效应可以忽略。如果材料的非均匀尺度很小，则色散效应可以忽略。 若若 ，界面

21、没有反射，则波不发生色散。，界面没有反射，则波不发生色散。（物理角度）（物理角度）44,2,0,HHxxdxxxxgxxxxxxUE UE UE U33,1,HHxxdxxxxUE UE U1122EE6.4 6.4 含时间的渐进展开（含时间的渐进展开（2 2）2201空间尺度 0432104321xy=x/宏观尺度：宏观尺度： 微观尺度：微观尺度： 时间尺度 0432104321=2t = t慢尺度：慢尺度： 快尺度：快尺度： 弹性动力学问题弹性动力学问题:,0iij ju6.4 6.4 含时间的渐进展开（含时间的渐进展开（2 2）23弹性动力学问题弹性动力学问题:,0iij ju012 2

22、, , , , , , , , ,iiiiuuuu x yx yx yx y1( , , , )( , , , )niiix yx y 0( , , , )( , , , )niiiu x yu x y 参考文献：Fish, J. et. al. (2002). Non-local dispersive model for wave propagation in heterogeneous media: one-dimensional case. Int. J. Numer. Meth. Engng, 54, 331346. 1;,2;,xxytuuuuuu;xeuEexy=x/6.4 6.4

23、 含时间的渐进展开（含时间的渐进展开（2 2）24令令 i (i=-2,-1,0,1) 的系数为零，得到一系列控制方程：的系数为零，得到一系列控制方程：20,10,1,00,0,1,1,2,11,1,2,2,3,22,0,2,3,3,4,:0:0:0:0:20yyxyyxyxyxyxyxyxyxyxyxyOEuOE uuOuE uuE uuOuE uuE uuOuuE uuE uu6.4 6.4 含时间的渐进展开（含时间的渐进展开（2 2）2520,:0yyOEu10,1,:0 xyyOE uu12,1211HyE EEELEE00,0,1,1,2,:0 xyxyxyOuE uuE uu121

24、H 0,0,0HHxxUE U1:O2:O1,1,0HHxxUE U2,2,0,0,212HHxxdxxxxHUE UE Uu222112222121121HdHEEEEEE高等复合材料力学Advanced Mechanics of Composite Materials高等复合材料力学Advanced Mechanics of Composite Materials第一章第一章 绪论绪论+张量基础张量基础 复合材料力学的三个重要特征、各向异性本构 张量的基本概念、爱因斯坦求和约定 符号ij与erst 坐标与坐标转换 张量的分量转换规律，张量方程 张量代数，商法则 常用特殊张量，主方向与主分量 张量函数及其微积分、高斯公式（散度定理）高等复合材料力学Advanced Mechanics of Composite Materials第二章第二章 复合材料的有效性质和均质化方法复合材料的有效性质和均质化方法 尺度和代表单元(RV