大学物理7-8章解答详解

1、第七章真空中的静电场7- 1在边长为a的正方形的四角，依次放置点电荷q,2q,-4q和2q,它的几何中心放置一个单位正电荷，求这个电荷受力的大小和方向。解：如图可看出两2q的电荷对单位正电荷的在作用力5q 2 ,方向由q指向-4q。2 二；° a将相互抵消，单位正电荷所受的力为F ：q(14)=V224二；。(a)227 2如图，均匀带电细棒，长为 L,电荷线密度为 入。（1） 求棒的延长线上任一点P的场强；（2）求通过棒的端点与棒垂直上任一点Q的场强。dq= d，设棒的延长解：（1）如图7 2图a,在细棒上任取电荷元 dq，建立如图坐标, 线上任一点P与坐标原点0的距离为x,则x1

2、4二；o(x -)4二；o(x - )2则整根细棒在P点产生的电场强度的大小为dq0 -=(X-)4二；习题72图a方向沿轴正向。4二；ox（x _ L）Q与坐标原点0的距离为y（2）如图7 2图b,设通过棒的端点与棒垂直上任一点 dx4二；0r2dEy%cos，,4 二；0rdE%dEx卓 si nr4二；0r因 x = ytg，,dx = y虫二,r cos廿ycos-'0dx代入上式，则习题7 2图bEx二 J-dExfsin4二；0y 0(1cos0)=-4 二；°y4二；厂），方向沿x轴负向。y LEy = JdEy cosTdB4 o>y 0:sin 日0

3、=,4二；0y4二；0y y2L27 3 一细棒弯成半径为 R的半圆形，均匀分布有电荷 q,求半圆中心0处的场强。解：如图，在半环上任取 dl=Rdr的线元，其上所带的电荷为dq=，Rdr。对称分析Ey=0。dExRdr4二；0R2E Ex 32 二；0Rxqc222 二 oR，如图，方向沿x轴正向。7 4如图线电荷密度为 入的无限长均匀带电直线与另一长度为I、线电荷密度为"的均匀带电直线在同一平面内，二者互相垂直，求它们间的相互作用力。解：在？e的带电线上任取一 dq,入i的带电线是无限长，它在 dq处产生的电场强度由高斯 定理容易得到为，E 2二；0x两线间的相互作用力为 

4、9;2 a lln ,如图，方向沿x轴正向。2二；0 a75两个点电荷所带电荷之和为Q,问它们各带电荷多少时，相互作用力最大？解：设其中一个电荷的带电量是 q，另一个即为Q q,若它们间的距离为r，它们间的相 互作用力为q(Q -q)F厂4叭r相互作用力最大的条件为dFdqQ -2q4二；°r2由上式可得：Q=2q , q=Q/27-6 一半径为R的半球壳，均匀带有电何，电何面密度为b ,求球心处电场强度的大小。解：将半球壳细割为诸多细环带，其上带电量为2dq -厂 2 二rRd v - ；2二 R sin二dq在 o点产生的电场据(7 - 10)式为dE ydq 3 , y = R

5、cos二2 二R3si n v4- ；0R3cos心JTa c2sind(sin)=2 ；02 ；o4 ；o。如图，方向沿y轴负向。4 二；oR7-7 设匀强电场的电场强度 E与半径为R的半球面对称轴平行，计算通过此半球面电场 强度的通量。习题7-7图S1S2E解：如图，设作一圆平面 S!盖住半球面S2, 成为闭合曲面高斯，对此高斯曲面电通量为 0, 即：E dS 二 E dS E dS 二 0SS2Ei &-S12dS ：E dS E二RS27 8 求半径为R,带电量为q的空心球面的电场强度分布。解：由于电荷分布具有球对称性，因而它所产生的电场分布也具有球对称性，与带电 球面同心的球

6、面上各点的场强 E的大小相等，方向沿径向。在带电球内部与外部区域分别作 与带电球面同心的高斯球面 $1与$2。对与生，应用高斯定理，即先计算场强的通量，然后得出场强的分布，分别为二：E dS 二 E4二 0得E 内=0(r<R)=E dS 二 E4：r2 =q0E外二罟? (r>R)7- 9如图所示，厚度为d的"无限大”均匀带电平板，体电荷密度为p，求板内外的电场分布。解:带电平板均匀带电，在厚度为d/2的平分街面上电场强度为零，取坐标原点在此街面上，建立如图坐标。对底面积为 A，高度分别为x<d/2和x>d/2的高斯曲面应用高斯定理，有E1 xi；o=:E

7、dS 二 EAS2A-2；0(X冷- PE2= di 2名o7- 10 一半径为R的无限长带电圆柱，其体电荷密度为-°r(r _ R), p o为常数。求场强分布。解：据高斯定理有E dS =E2二rlS1二丄；?dV；0 Vr - R 时：E 2 r：rlk r r 2 二r idr =0-0-02 二 lk rE2 二rl -2 二Ik r3；0r2 二 lkr R 时：E2 二rlRr 2 二r idr 二0032 二Ik RE2 二rl%3球壳内、外半径为R2、R3。(1 )(2)(3)解：7- 11带电为q、半径为Ri的导体球，其外同心地放一金属球壳,球壳的电荷及电势分布；

8、把外球接地后再绝缘，求外球壳的电荷及球壳内外电势分布; 再把内球接地，求内球的电荷及外球壳的电势。(1)静电平衡，球壳内表面带一 q，外表面带q电荷。据(7-23)式的结论得：y二一111-.(丄-丄丄)(r乞RJ4 0 R1R2R3q 111也二汽（厂瓦瓦）（尺"汁2）；q4二；0R3(R2 一 r 一 R3),4二；0r(r -R3).(2) Uiq4二；0（R1-丄)(< R1),R2q11V2（）（Rdr 乞 R2）； V3 =0（R2 乞 r 乞 R3）,V4 = 0（r R3）.4 眈 0 rR2（3）再把内球接地，内球的电荷及外球壳的电荷重新分布设静电平衡，内球带

9、 内表面带一ql外表面带q/- q。“丄巴-2 3）（沖1）,4 応£ o R1R2R3得：qR2 R3 R-i R3R1R2R, R2qq -q4二；0R3（R2空心只3）( R1_ R2 )q4 ： L 0 ( R2 R3 -Ri R3' Ri R2 )7- 12一均匀、半径为R的带电球体中，存在一个球形空腔，空腔的半径r（2r<R），试证明球形空腔中任意点的电场强度为匀强电场，其方向沿带电球体球心 0指向球形空腔球心0/°证明：利用补缺法，此空腔可视为同电荷密度的一个完整的半径为R的大球和一个半径为r与大球电荷密度异号完整的小球组成，两球在腔内任意点P产

10、生的电场分别据例 7 7结果为3 ；o3 ；oE = E i+E 2=>23 ；。00上式是恒矢量，得证。7- 13 一均匀带电的平面圆环，内、外半径分别为Ri、R2,且电荷面密度为 。一质子被加速器加速后，自圆环轴线上的P点沿轴线射向圆心 0。若质子到达0点时的速度恰好为 零，试求质子位于P点时的动能Ek°（已知质子的带电量为 e,忽略重力的影响， 0P=L）解：圆环中心的电势为4 二；0r亍2-Ri)圆环轴线上p点的电势为习题7 13图r2匚 2 二 rdrR|4- ；0 . r2 L2r2L22 ；o:说(kmF2)质子到达O点时的速度恰好为零有-Ep Ek r Ek =

11、 Eo - EpEoEk= eV° _eVp=(R2_R) _尹(J+L2 _Jr2+l2)2 &2 &=尹（只2_尺+L2 +Jr2 +L2）2 -07 14有一半径为R的带电球面，带电量为 Q,球面外沿直径方向上放置一均匀带电细 线电荷密度为 入，长度为L （ L>R ），细线近端离球心的距离为线， 荷分布固定，试求细线在电场中的电势能。解：在带电细线中任取一长度为 dr的线元，其上所带的电荷元为 带电球面在电荷元处产生的电势为L。设球和细线上的电dq= dr，据(7 23) 式V亠4二；0r电荷元的电势能为：dWQ dr4 二；0r细线在带电球面的电场中的

12、电势能为:2LW 二 dWL 4叭rQf204 :；*7 15 半径为R的均匀带电圆盘，带电量为 Q。过盘心垂直于盘面的轴线上一点P到盘心的距离为L。试求P点的电势并利用电场强度与电势的梯度关系求电场强度。解：P到盘心的距离为L , p点的电势为二 2 ：rdrRVP =0 4瓏0Jr2 + L2r2L22 pR_(JR； + L2 _L)圆盘轴线上任意点的电势为二 2 二 rdrx2RV(x)rr2 x22( R；x22 二；0 R-X)利用电场强度与电势的梯度关系得:E(x)=dV .idxQ2二；0R2(1 -x22R2x)iP到盘心的距离为L, p点的电场强度为：E（L） 社（12阳o

13、RLRf L2 i7- 16两个同心球面的半径分别为 R1和R2,各自带有电荷 势分布，并画出分布曲线；（解：2）两球面间的电势差为多少?（1）据（7-23）式的结论得各区城电势分布为1 (Q(R14二；0Ql和Q2。求：（1 ）各区城电V24二；°(Q1rQ1 Q24二；0rQ2(r 乞 R),(r -R2).（2）两球面间的电势差为Vi2R144严弋UR2R1R27- 17 一半径为R的无限长带电圆柱，其内部的电荷均匀分布，电荷体密度为 棒表面为零电势，求空间电势分布并画出电势分布曲线。解：据高斯定理有E dS 二 E2二rlS0enV=0，则习题7- 10图，若取r R 时:V

14、：dr2 9 r2 24；o(R r)r R时:E dS 二 E2 rlS<:R2l、；o2JR22 ；°rPR2 fdrPR2RVIn2so 1 r2zor空间电势分布并画出电势分布曲线大致如图。r7- 18两根很长的同轴圆柱面半径分别为Ri、R2,带有等量异号的电荷，两者的电势差为U，求：（1）圆柱面单位长度带有多少电荷？ （2）两圆柱面之间的电场强度。解：设圆柱面单位长度带电量为 ，则两圆柱面之间的电场强度大小为E = 2二；0r两圆柱面之间的电势差为 dr2二；°rR2 dr由上式可得:2二；°2二；°扎 _ U2二；° In R

15、2 R1r所以Een2瓏°rUIn R2 Ri r7- 19在一次典型的闪电中，两个放电点间的电势差约为109V，被迁移的电荷约为30库仑，如果释放出来的能量都用来使0°C的冰熔化成0°C的水，则可融化多少冰 ？（冰的熔解热为 3.34X 105J . kg-1）解：两个放电点间的电势差约为109V，被迁移的电荷约为 30库仑，其电势能为Wp=30 109J3< 10a上式释放出来的能量可融化冰的质量为：m5 =8.98 X 104kg3.34 乂1057-20在玻尔的氢原子模型中， 电子沿半径为a的玻尔轨道上绕原子核作圆周运动。（1）若把电子从原子中拉出来

16、需要克服电场力作多少功？（ 2）电子在玻尔轨道上运动的总能量为多少？解：电子沿半径为a的玻尔轨道上绕原子核作圆周运动，其电势能为Wp一 ee4二；0a（2 ）电子在玻尔轨道上运动的总能量为:W 二 Wp1 2Ek = Wp ? mv4二；0a22vm mv a1.Ekmv28二；0a电子的总能量为:W =Wp1 mv24二；0a8： ；0a第八章 静电场中的导体与电介质8- 1点电荷+q处在导体球壳的中心，壳的内外半径分别为度和电势的分布。解：静电平衡时，球壳的内球面带一q、外球壳带q电荷在r<R1的区域内Ri和R2，试求，电场强qj一丄.丄）o r R1R24 :；在Ri<r&l

17、t;R2的区域内E2 7, U2-4胧 oR2q在r>R2的区域内：E34nz?U3 q4二；or（1）把电子从原子中拉出来需要克服电场力作功为：2eW -Wp :4兀g oa的匀强电场中,E0与板面垂Eo；2Eo8-2 把一厚度为d的无限大金属板置于电场强度为 直，试求金属板两表面的电荷面密度。解：静电平衡时，金属板内的电场为 0, 金属板表面上电荷面密度与紧邻处的电场成正比 所以有习题 8-2图8-3 一无限长圆柱形导体，半径为a,单位长度带有电荷量'1,其外有一共轴的无限长导体圆简，内外半径分别为b和c,单位长度带有电荷量2,求（1）圆筒内外表面上每单位长度的电荷量；（2）

18、求电场强度的分布。解：（1 ）由静电平衡条件，圆筒内外表面上每单位长度的电荷量为', ' ' 2 ；(2)在r<a的区域内：E=01习题8-3图在a<rb的区域内：E-2瓏0r在r>b的区域内：E 2耽0r28-4三个平行金属板 A、B和C,面积都是200cm , A、B相距4.0mm , A、C相距2.0mm , B、C两板都接地，如图所示。如果A板带正电3.0 x 10-7C,略去边缘效应（1）求B板和C板上感应电荷各为多少 ？（ 2）以地为电势零点，求 解：（1 ）设A板两侧的电荷为qi、q2，由电荷守恒 原理和静电平衡条件，有qi qqA（1）

19、qB = -qi , qc = 72 （2）依题意Vab=Vac,即A板的电势。q2 =虫41 =2qi 代入(1)d2(2)式得(2) Ua = -1J 半迈；°S200 10885 102 10= 2.3X 103Vq1= 1.0 x 10-7C, q2= 2.0 x 10-7C, qB = - 1.0 x 10-7C, qc=-q2= 2.0X 10-7C,U2q Q4 二；0R28-5 半径为R1=l.0cm的导体球带电量为 q=1.0 x 10-10 C ,球外有一个内外半径分别 为R2=3.0cm和R3=4.0cm的同心导体球壳，壳带有电量Q=11 x 10 10 C,如

20、图所示，求（1）两球的电势；（2）用导线将两球连接起来时两球的电势；（3）外球接地时，两球电势各为多少？（以地为电势零点）解：静电平衡时，球壳的内球面带一q、外球壳带q+Q电荷(1) U1Q)代入数据4 就 0 RR2R3,1.0"0“11 丄 1+11、1 一 4 3.14 8.85 104210(134=3.3 x 102v1.0"0,0(1+11)4 3.14 8.85 1042104=2.7 x 102vU2q Q4 二；0 R2Ui14 二；o（RtR>11.0 10J01 14 3.14 8.85 10210,（1 _ 3）=60VU2=08_ 6 证明：

21、两平行放置的无限大带电的平行平面金属板A和B相向的两面上电荷面密相背的两面上电荷面密度大小等，符号相同。如果两金属板的面积略去边缘效应，求两个板的四度大小相等，符号相反，同为 100cm2,带电量分别为 Qa=6X 10_8 C 和 Qb=4X 10_8C, 个表面上的电面密度。证：设A板带电量为Qa、两侧的电荷为q2, B板板带电量为 Qb、两侧的电荷为 q3、q4。由电荷守恒有qq2 =Qa （1）q3q4 - QB（ 2）在A板与B板内部取两场点，金属板内部的电场为零有ABq2q3 q42S 0 2S 002S 0 2S；0q1 - q2 - q3 - q4 = 0（3）q . q2 .

22、2S 0 2S 0q32S畀0,得6 q2 （4）(2)用导线将两球连接起来时两球的电势为g 辽2 3=2“ 102V4 3.14 8.85 10104(3)外球接地时，两球电势各为习题 87图2相背的两面上电荷面密度大小等，符联立上面 4 个方程得：qr = q4 = Qa £ Qb , q2 = _q3 = Qa Qb即相向的两面上电荷面密度大小相等，符号相反，一 8 _8Qa=6 X 10 C 和 Qb=4 X 10 C,则号相同，本题得证。如果两金属板的面积同为100cm2,带电量分别为10 =5.0 x 10_ 6c/m,2 100 10，；2 二 一;34)4 10 =

23、1.0X 10-6C/m2 2 100 10，8_ 7半径为R的金属球离地面很远，并用细导线与地相联，在与球心相距离为 D=3R处有一点电荷+q,试求金属球上的感应电荷。解：设金属球上的感应电荷为Q金属球接地电势为零，即=0q . Q4二；0R 4二；0DD8-8度为t、宽度为a的金属板平行地向电容器内插入, 量与金属板插入深度 x的关系。解：3平行板电容器，两极板为相同的矩形，宽为a,长为b，间距为d，今将一厚略去边缘效应，求插入金属板后的电容CiC2设如图左边电容为 Ci,右边电容为C2_ ；°a（b -x）-d0ax习题tb8 - 8图d -t左右电容并联，总电容即金属板后的电

24、容量与金属板插入深度d宀b亠d d -t8-9收音机里的可变电容器如图（a）所示，其中共有 n块金属片，相邻两片的距离 均为d,奇数片联在一起固定不动（叫定片）偶数片联在起而可一同转动（叫动片）每片的 形状如图（b）所示。求当动片转到使两组片重叠部分的角度为泗，电容器的电容。解：当动片转到使两组片重叠部分的角度x的关系，为；°ax d t(a)(b)习题 8 9图习题 8 10图（2）求此导线组每单位长度的电容为为二时，电容器的电容的有效面积为2 2 2 2 仮-几）北 （a -斤）北S =-2 "80360此结构相当有n-1的电容并联，总电容为2 2（n 1） pS（n

25、-1） ；0二二（r2 - r1 ）C=d360d8- 10半径都为a的两根平行长直导线相距为d （d>>a）, （1）设两直导线每单位长度上分别带电十，和一 求两直导线的电势差；（2）求此导线组每单位长度的电容。解：（1 ）两直导线的电电场强度大小为E =2 2%两直导线之间的电势差为、， 工 Mr几 d drk , d - aVIn'瓏°r 瓏0 'ar 瓏0 a8- 11 如图，Ci=10F, C2=5F, C3=5F，求（1） AB间的电容；（2）在AB间加上100V电压时，求每个电容器上的电荷量和电压；（3）如果Ci被击穿，问C3上的电荷量和电压

26、各是多少？解：（1）AB间的电容为5 15C3（CiC2）C =G +C2 +C3C3电容器上的电荷量，为（2）在AB间加上100V电压时，电路中的总电量就是q 二q3 二CV =3.75 10（ 100 =3.75 10*CV1 二V2C1 C23.73 10*15 10-6=25/V3 =100 - 25 = 75Vq1 C1V10 10”25=2.5 10*CC3B习题 8 11图q2 =C2V2 =5 1025=1.25 10°C（3）如果C1被击穿，C2短路，AB间的100V电压全加在C3上，即V3=100V,C3上的电荷量为q3 二 C3V3 =5 10 100=5.0

27、10*C8 12平行板电容器，两极间距离为1.5cm，外加电压 39kV，若空气的击穿场强为30kV/cm，问此时电容器是否会被击穿？现将一厚度为0.3cm的玻璃插入电容器中与两板平行，若玻璃的相对介电常数为 7,击穿场强为100kV/cm，问此时电容器是否会被击穿？结果与玻璃片的位置有无关系 ？391.5=26kV/cm ： 30kV / cm不会击穿（2 ）加玻璃后，两极间的电压为12E+03E=39t E =31kV/cm >30kV/cm7空气部分会击穿，此后，玻璃中的电场为习题V 一8 12 图矿他汐心100kV/cm，玻璃部分也被击穿。8 - 13 一平行板电容器极板面积为S

28、,两板间距离为结果与玻璃片的位置无关。d,其间充以相对介电常数分别为r1、2,的两种均匀电介质，每种介质各占一半体积，如图所示。若忽略边缘效应，求此电 容器的电容。解：设如图左边电容为G,右边电容为C2；0 ；r1S/2d解：（1）未加玻璃前，两极间的电场为0；r2S / 2Co d左右电容并联，总电容为C = C1 C2i.-0 ；r1 S/2 + So Sr 2S / 2 ddpST；r22d为2mm，电压600V，如果断开（2）电介质上极化8 - 14平行板电容器两极间充满某种介质，板间距电源后抽出介质，则电压升高到1800V。求（1）电介质相对介电常数;电荷面密度；（3）极化电荷产生的

29、场强。解：设电介质抽出前后电容分别为C与C/(1)TC 二；0 ；r Ss-,C :=Q = CU 二 C Ud2d2h ；r S0 SU 1800VU =U ,d2d2r U600VU600V5(2)E3=3 10 V/md 2 105.=D - ；oE = °E( ” -1) =5.31 10C/m2(3)E =E0 E；巳=U00V9 105V/md 2X10 m.555.E七=9 10V/m3 10V/m=6 10 V/m(1) TC =2 二仝 Q =CU 二CUd2d2SrS,0S,.U 1800VU U ,；r3d2d2U600VU 600V5(2) El =3 10

30、V/md 2汇10f.=D - ;°E = °E( t -1) =5.31 10C/m2 E=E01800V =9 105V/md2X10 mt555.E 二EE0 =9 10V/m3 10V/m=6 10 V/m8 - 15 圆柱形电容器是由半径为R1的导体圆柱和与它共轴的导体圆筒组成。圆筒的半径为R2,电容器的长度为L,其间充满相对介电常数为f的电介质，设沿轴线方向单位长度上圆柱的带电量为+圆筒单位长度带电量为 ，忽略边缘效应。求（1 ）电介质中的电位 移和电场强度；（2）电介质极化电荷面密度。解：取同轴圆柱面为高斯面，由介质中的高斯定理可得D d D 2 二 rl =

31、 Ia扎亡hD, E =2 二 r 2 二 r ；0 ；r（%1）人（1）人G = D - pE r ,6 二 B = D - ；°E-8 16半径为R的金属球被一层外半径为X的均匀电介质包裹着，设电介质的相对介电常数为r，金属球带电量为 Q,求（1）介质层内外的电场强度；（2）介质层内外的电势;（3 ）金属球的电势。解：（1取同心高斯球面，由介质的高斯定理得D d = D 4, r2 = Q. D1 = D224. rDiQD2Q-E12E22U2（2）介质层内的电势U1 =疑 di十f E1dl4二；o；r r R4二；0R介质层外的电势J2 = R-E2dU4 二；°

32、r（3）金属球的电势JoQ4： ；o ；rQ4 二；oRq ；r 4二 r 0；o 4 二 r b8 17球形电容器由半径为 R1的导体球和与它同心的导体球壳组成，球壳内半径为 R2,其间有两层均匀电介质，分界面半径为r,电介质相对介电常数分别为；r1、2，如图所示。求（1）电容器的电容；（2 ）当内球带电量为+Q时各介质表面上的束缚电荷面密度。解：（1）取同心高斯球面，由介质的高斯定理得Q: 24二 rE2i0 ir 24 r io ；r2|_D ds=D 4二r2 =Qr D1 =D2巳勺【r1rUEE?_ , 2 ，4 二 r 0 ；r1HR1 -f dl r E1 dl（1_丄）.亠4二；0 r2 r R 4二；0；r14 咫oSr2®RRrc Q.CU （&1 一&2）艮 R +（艮各2 R1Sr1）门二D -店 岂（1 一丄）, G 4： R；“亠（14R（1 - 丄）,6角Sr14 町818 一平行板电容器有两层介质 极板面积S=40cm2，两极板间电压为（如图），r1 = 4，=2,厚度为 d1=2.0mm , d2=3.0mm，200V。（1）求每层电介质中的能量密度；（2）计算电容器的总能量；（3 ）计算电容器的总电容。解: