2019秋高中数学第一章解三角形单元评估验收一含解析新人教A版必修5

1、 1 单元评估验收(一) (时间：120分钟 满分：150分) 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1在ABC中，ak，b 3k(k>0)，A45°，则满足条件的三角形有( ) A0个 B1个 C2个 D无数个 解析：由正弦定理得asin Absin B， 所以sin Bbsin A a 62>1，即sin B>1，这是不成立的所以没有满足此条件的三角形 答案：A 2在ABC 中，已知a2，b2，B45°，则角A( ) A30°或150° B60°或120&#

2、176; C60° D30° 解析： 由正弦定理asin A bsin B得，sin Aabsin B 22sin 45°12，又因为ba，故A30°. 答案：D 3已知三角形三边之比为578，则最大角与最小角的和为( ) A90° B120° C135° D150° 解析：设最小边为5，则三角形的三边分别为5，7，8，设边长为7的边对应的角为，则由余弦定理可得49256480cos ，解得cos 12，所以60°.则最大角与最小角的和为180°60°120°. 答案：B 4

3、在ABC中，a15，b20，A30°，则cos B( ) A ±53 B.23 C 53 D.53 2 解析：因为asin Absin B， 所以15 sin 30°20sin B， 解得sin B23. 因为b>a，所以B>A，故B有两解， 所以cos B ±53. 答案：A 5在ABC中，已知cos Acos Bsin Asin B，则ABC是( ) A锐角三角形 B直角三角形 C钝角三角形 D等腰三角形 解析：由cos Acos Bsin Asin B，得 cos A·cos Bsin Asin Bcos (AB)0， 所以A

4、B90°，所以C90°，C为钝角 答案：C 6如图所示，海平面上的甲船位于中心O的南偏西30°，与O相距15海里的C处现甲船以35海里/时的速度沿直线CB去营救位于中心O正东方向25海里的B处的乙船，则甲船到达B 处需要的时间为( ) A.12小时 B1小时 C.32小时 D2小时 解析：在OBC中，由余弦定理，得CB2CO2OB22CO·OBcos 120°15225215×25352，因此CB 35，35351(小时)，因此甲船到达B处需要的时间为1小时 答案：B 7已知ABC中，sin Asin Bsin Ck(k1)2k，则k

5、的取值范围是( ) A(2，) B(，0) C.?12，0 D.? ?12， 3 解析：由正弦定理得：amk，bm(k1)，c2mk(m0)， 因为?ab c，acb，即?m（2k1）2mk，3mkm（k1）， 所以k1 2. 答案：D 8ABC的两边长分别为2，3，其夹角的余弦值为13，则其外接圆的直径为( ) A.922 B.924 C.92 8 D92 解析：设另一条边为x，则x222322×2×3×13， 所以x29，所以x3. 设cos 13，则sin 223. 所以2R3sin 322 3924. 答案：B 9已知ABC中，内角A，B，C所对边长分别为

6、a ，b，c，若A3，b2acos B，c1，则ABC 的面积等于( ) A. 32 B. 34 C. 36 D.38 解析：由正弦定理得sin B2sin Acos B，故 tan B 2sin A2sin 33，又B (0，)，所以B 3，又AB3，则ABC是正三角形，所以SABC12bcsin A12 ×1×1 ×3234. 答案：B 10在ABC中，角A，B，C的对边分别为a ，b，c，且sin2 A2cb2c，则ABC的形状为( ) 4 A等边三角形 B直角三角形 C等腰三角形 D等腰直角三角形 解析：由已知可得1cos A 212b2 c， 即cos

7、Abc，bccos A. 法一 由余弦定理得 cos Ab2c2a22 bc， 则bc·b2c2a22 bc， 所以c2a2b2，由此知ABC为直角三角形 法二 由正弦定理，得sin Bsin Ccos A. 在ABC中，sin Bsin(AC)， 从而有sin Acos Ccos Asin Csin Ccos A， 即sin Acos C0. 在ABC中，sin A0， 所以cos C0.由此得C 2， 故ABC为直角三角形 答案：B 11一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，如图，到A处时测得公路北侧一铁塔底部C在西偏北30°的方向上，行驶200 m后到达B处，测得此铁

8、塔底部C在西偏北75°的方向上，塔顶D的仰角为30°，则此铁塔的高度为( ) A.1006 3 m B 506 m C 1003 m D1002 m 解析： 设此铁塔高h(m)，则BC3h，在ABC中，BAC30°，CBA105°，BCA45°，AB 200. 根据正弦定理得 3hsin 30°200sin 45°，解得 h10063(m) 5 答案：A 12在ABC中，AB7，AC6，M是BC的中点，AM4，则BC等于( ) A.21 B.106 C.69 D.154 解析：设BCa，则BMMCa 2. 在ABM中，AB2

9、BM2AM22BM·AM·cosAMB， 即7214a2422×a2×4×cosAMB， 在ACM中，AC2AM2CM22AM·CM·cosAMC， 即624214a22×4×a2×cosAMB， 得726242421 2a2，所以a 106. 答案：B 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在题中横线上) 13已知ABC中，3a22ab3b23c20，则cos C_ 解析：由3a22ab3b23c20， 得c2a2b22 3ab. 根据余弦定理，得 cos Ca2b2c22

10、ab a2b2a2b22 3ab2 ab 13， 所以cos C13. 答案：13 14设ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c.若bc2a，3sin A5sin B，则角C_ 解析：由已知条件和正弦定理得：3a5b，且bc2a， 则a5b 3，c2ab7b 3， 6 cos Ca2b2c22 ab12， 又0C，因此角C2 3. 答案：2 3 15在ABC中，A 满足3sin Acos A1，AB2，BC 23，则ABC的面积为_ 解析：由? ?3sin Acos A1，sin2 Acos2 A1， 得?sin A 32，cos A12. 所以A120°， 由正弦定理得2

11、sin C 23sin A， 所以sin C12. 因为AB<BC， 所以C30°，所以B30°， 所以S12AB×BC×sin B 12× 2× 23×sin 30°3. 答案：3 16太湖中有一小岛C，沿太湖有一条正南方向的公路，一辆汽车在公路A处测得小岛在公路的南偏西15°的方向上，汽车行驶1 km到达B处后，又测得小岛在南偏西75°的方向上，则小岛到公路的距离是_ km. 解析：如图所示，CAB15°， CBA180°75°105°，ACB1

12、80°105°15°60°，AB 1 km. 由正弦定理得BCsin CABABsinACB， 7 所以BC1 sin 60° ·sin 15°6223 (km) 设C到直线AB的距离为d， 则dBC ·sin 75°622 3·6 24 36 (km) 答案：36 三、解答题(本大题共6小题，共70分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17(本小题满分10分)设ABC的内角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，且acos B3，bsin A4. (1)求边长a； (2)若ABC的面

13、积S10，求ABC的周长 l. 解：(1)由题意得：acos Bbsin A34 ， 由正弦定理得：absin Asin B， 所以cos Bsin B 34， cos2 B916sin2B916(1cos2 B)， 即cos2B925， 由题意知：a2cos2B9， 所以a225，得a5或a5(舍去) 所以a5. (2)因为S12bcsin A2c， 所以，由S10 得c5， 应用余弦定理得： ba2 c22accos B25. 故ABC的周长 labc2(55) 18(本小题满分12分)在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、 c，且a2，cos B35. (1)若b4，求sin A

14、的值； 8 (2)若ABC的面积SABC4，求b、c的值 解：(1)因为cos B35>0，0<B<， 所以sin B 1cos2B4 5. 由正弦定理得asin Absin B， 所以sin Aab sin B25. (2)因为SABC12acsin B45c4， 所以c5. 由余弦定理得b2a2c22accos B 22522×2×5×3 517， 所以b 17或b 17(舍去) 所以b 17. 19(本小题满分12分)设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，(abc)(abc)ac. (1)求B； (2)若sin Asin C 31

15、4，求C. 解：(1)因为(abc)(abc)ac， 所以a2c2b2ac， 由余弦定理得cos Ba2c 2b22ac12， 又B(0°，180°)，因此B120°. (2)由(1)知AC60°， 所以cos(AC)cos Acos Csin Asin C cos Acos Csin Asin C2sin Asin C cos(AC)2sin A sin C 122 ×31 432， 又因为60°<AC<60°， 故AC30°或AC30°. 由得C15°或C45°. 9

16、20(本小题满分12分)某观测站在城A南偏西20°方向的C处，由城A出发的一条公路，走向是南偏东40°，在C处测得公路距C处31千米的B处有一人正沿公路向城A走去，走了20千米后到达D处，此时C、D间的距离为21千米，问这人还要走多少千米可到达城A? 解：如图所示，设ACD， CDB. 在CBD中，由余弦定理得cos BD2CD2CB22BD· CD 2022123122×20× 2117， 所以sin 437. 而sin sin(60°)sin cos 60°sin 60°cos 437×1 232&#

17、215;1 753 14. 在ACD中， 21sin 60°ADsin ， 所以 AD21×sin sin 60°15(千米) 所以这人还要再走15千米可到达城A. 21(本小题满分12分)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c ，cos 2C22cos C20. (1)求角C 的大小； (2)若b2a ，ABC的面积为22sin Asin B，求sin A及c的值 解： (1)因为cos 2C22cos C20， 所以2cos2C22cos C1 0， 即(2cos C1)20， 10 所以cos C 22. 又C(0，)，所以C 34. (2)因为c2a2b22abcos C3a22a25a2， 所以c5a，即 sin C5sin A， 所以sin A 15sin C1010. 因为 SABC12absin C， 且S ABC22sin Asin B， 所以12absin C22sin Asin B， 所以absin Asin Bsin C2， 由正弦定理得? ?csin C2sin C2，解得c1. 22(本小题满分12分)在ABC中，AC6，cos B4 5，C4. (1)求AB的长； (2)求cos? ?A6的值 解： 因为cos B450，所以0<B<， 所以sin B1cos2 B 1?4 523 5， 由正弦