2020年上海市高考数学试卷-含详细解析

1、命题？:？?（?空调递增，存在？?< 0使得？?（?= 0,? ?使得?(?+ ?)< ?(?+ ?(?)2020年上海市高考数学试卷副标题题号一一三总分得分、选择题（本大题共 4小题，共20.0分）1 .下列等式恒成立的是()A. ?3+ ? W2? B. ?+ ? >-2?C. ?+ ?> 2vj?|D. ?+ ? W-2?2 .已知直线方程3?+4?+1 =0的一个参数方程可以是 ()A , ?= 1 + 3?c,?=1 - 4? C ,?= 1 - 3?c,?=1+4?A. ?= -1 - 4?B.?=-1 + 3? C. ?= -1 + 4?D.?=1-3?3

2、 .在棱长为10的正方体？?？?？中，P为左侧面？?上一点，已知点 P到？的距离为3, P至ij?!?勺距离为2,则过点P且与？印行的直线交正方体于?纲点，则Q点所在的平面是（）A. ?1?B. ?偌？C. ?D.ABCD4 .命题p:存在? ?但？?w 0 ,对于任意的第3页，共17页则下列说法正确的是（）A.只有？?是P的充分条件B.只有？?是P的充分条件C. ?, ?都是p的充分条件D. ?, ?都不是p的充分条件二、填空题（本大题共12小题，共60.0分）5 . 已知集合？?= 1,2, 4,集合？?= 2,4, 5,贝U?n ?=. ?+16 .计算：?她*3西=7 .已知复数？?=

3、 1 - 2?仅睡数单位），贝U |?|=8 .已知函数？?（?= ?/？（蹩?（?）反函数，贝U ?' （?）- ?+? 2 > 09 .已知x、y满足?+ 2?- 3 <0,则？N ?- 2?酌最大值为 ? 0110.已知行列式|23? ? ?= 6,0 0? ? ?11 .已知有四个数1,2, a,b,这四个数的中位数是 3,平均数是4,则？?？.12 .已知数列?是公差不为零的等差数列，且 ?+ ?o = ?,则 ?+?2+?+? 9 =?0-13 .从6个人挑选4个人去值班，每人值班一天，第一天安排1个人，第二天安排1个人，第三天安排2个人，则共有 种安排情况.?

4、14 .已知椭圆？才+ -= 1的右焦点为F,直线l经过椭圆右焦点F,交椭圆C于P、Q 两点(点P在第二象限)，若点Q关于x轴对称点为？?；且满足？?L ?求直线l 的方程是15 .设？?C ?若存在定义域为 R的函数？?(?知时满足下列两个条件：(1)对任意的? C ? ?(?的值为?或?；(2)关于x的方程？?(?= ?无实数解，则a的取值范围是-16 .已知雷，窗，？?矍，？?(?？?)是平面内两两互不相等的向量，满足|雷-霞| =1,且|图？ 勃 C1,2(其中？ 1,2,? 1, 2,，?)则k的最大值是 .三、解答题(本大题共 5小题，共60.0分)17 .已知ABCD是边长为1的

5、正方形，正方形 ABCD绕AB旋转形成一个圆柱.(1)求该圆柱的表面积；?.(2)正方形ABCD绕AB逆时针旋转2至？?解，求线段？?7芍平面ABCD所成的角.18 .已知函数?(?= sin? ?> 0. 、. .1?(?的周期是4?求？并求？?(?= 2的解集;(2)已知？= 1, ?(?= ?我?)+ 西?？(-?)?2?- ?)?e 0,?j,求？(?那值域.19 .在研究某市场交通情况时，道路密度是指该路段上一定时间内通过的车辆数除以时 间，车辆密度是该路段一定?=? x为道路密度,时间内通过的车辆数除以该路段的长度，现定义交通流量为 q为车辆密度.?= ?(?= 100 -

6、135 ?(1)?0 < ?< 403-?(?- 40) + 85,40 & ?X 80(1)若交通流量？?> 95,求道路密度x的取值范围;(2)已知道路密度？?= 80 ,交通流量？?= 50 ,求车辆密度q的最大值.20 .已知双曲线？?：?？-斓=1 与圆？?：？,+ ?= 4 + ?(?> 0)交于点？?(?!(第一象 限)，曲线？为？?、？?>上取?t足？?> |?的部分.(1)若？?= v6,求b的值；(2)当？?= v5, ?与x轴交点记作点？?、？，P是曲线？?k一点，且在第一象限，且 |? = 8,求/ ?2?.(3)过点？?(0

7、,万+ 2)斜率为-2的直线l与曲线？如有两个交点，记为 M、N,用b表 示？?？并求7W?的取值范围.21 .已知数列?为有限数列，满足|?- ?| < |? - ?| w? & |?- ?|,则称?满 足性质P判断数列3、2、5、1和4、3、2、5、1是否具有性质 P,请说明理由；(2)若？ = 1,公比为q的等比数列，项数为 10,具有性质P,求q的取值范围；(3)若?是1, 2, 3,，m 的一个排列(? >4), ?*符合？?= ?+1(?= 1,2,， ?- 1), ?、?都具有性质P,求所有满足条件的数列?.第 4 页，共 17 页答案和解析1 .【答案】B【

8、解析】【分析】本题考查了基本不等式的应用，考查了转化思想，属基础题.利用(?+ ?2 >0恒成立，可直接得到 ？ + ? >-2?城立，通过举反例可排除ACD .【解答】解：？?显然当？?< 0, ?>。时，不等式？§+ ? W2?成立，故A错误；8. .(?+ ?2 >0, .?+ ?+ 2? ?0, .,.?+?>-2?故 B 正确，D 错误；?显然当？?< 0, ?< 0时，不等式？?+ ?/2 V1?|成立，故 C错误;故选：B.2 .【答案】B【解析】【分析】本题考查直线的参数方程与普通方程的互化，是基本知识的考查.选项的参数

9、方程，化为普通方程，判断即可.【解答】?会 1 + 3?.13解：?= -1 -3?普通方程为： 京 4，即4?+ 3? 1 = °，不正确;?= 1 -4?的普通方程为及1=4 即3?+4?+1=0正确 ?1+ 3?口 八 I工 J J ?+13)1-rj ,-L-1- 8J ,?= 1?期普通方程为：罢1=-4,即4?+3?-1=0,不正确;?= -I + 4?= 1 + 4?-14 I，?= 1 - 3?勺普通万程为：有=- 3'即3?+ 4?- 7=0,不正确；故选：B.3 .【答案】D【解析】【分析】本题考查空间中直线与直线位置关系的判定及应用，考查空间想象能力与思

10、维能力，是中档题.【解答】解：如图,口.由点P到？的距离为3, P至I?勺距离为2,可得 P 在?的，过 P作？?/?,且？?酉 E, ? F,在平面 ABCD中，过F作？?/?交BC于G,则平面？?正面？?连接AC,交FG于M,连接EM,.平面?平面？?平面？?1平面?= ?平面？好面? ?. .?？在？?？过 P 作？/?且？?1 ?F N,则？/?,线段FM在四边形ABCD内，N在线段FM上，？驻四边形 ABCD内.点N即为过点P且与？川行的直线与正方体的交点，即与点 Q重合.点Q在平面ABCD内故选：D.4 .【答案】C【解析】【分析】本题考查命题的真假，及函数的单调性，关键是分析不等

11、式之间关系，属于中档题.对于命题？：当？?> 0时，结合？?(?)调递减，可推出 ？?(?？ ?)< ?(?< ?(?+ ?(?) 命题？?是命题p的充分条件.对于命题？：当？?= ?< 0时，?(?= ?(?) = 0,结合？?(?) 单调递增，推出？?(? ?)< ?(?)进而？?(? ?)< ?(?+ ?(?)命题？?都是p的充分条 件.【解答】解：对于命题？：当？?(?)调递减且?(?>。恒成立时，当？?> 0时，此时?+ ?> ?又因为？(?)调递减，所以?(?+ ?)< ?(?)又因为？(?> 0恒成立时，所以?(?

12、< ?(?+ ?(?)所以?(?+ ?)< ?(?+ ?(?)所以命题?命题p,对于命题？：当？?(?学调递增，存在？< 0使彳#?(? = 0,当？?= ?< 0时，此时?+ ?< ? ?(?= ?(? = 0,又因为？(?弹调递增，所以？(? ?)< ?(?)所以?(?+ ?)< ?(?+ ?(?)所以命题?命题p,所以？，？?都是p的充分条件，故选：C.5 .【答案】2,4【解析】【分析】本题考查交集及其运算，属于基础题.由交集的定义可得出结论.【解答】解：因为？?= 1,2, 3, ?= 2,4, 5,则？n ?= 2,4.故答案为：2,4.1

13、6 .【答案】3本题考查数列的极限的求法， 注意运用极限的运算性质, 由极限的运算法则和重要数列的极限公式，可得所求值.【解析】【分析】考查运算能力，是一道基础题.第17页，共17页解：IJ 4加一1 fj一人I - 11UL - ri 一工儿1 I 03-0，1故答案为：子37 .【答案】v5【解析】【分析】本题考查复数模的求法，属于基础题.由已知直接利用复数模的计算公式求解.【解答】解：由？N 1 - 2?得 |?|= V12 +（-2）2 =法.故答案为：v5.8 .【答案】V?【解析】【分析】本题考查函数的反函数的求法，注意反函数的定义域是原函数的值域，是基础题. 由已知求解x,然后把

14、x与y互换即可求得原函数的反函数.【解答】解：由？?= ?（?= ?,得？?= V?把x与y互换，可得?（?= ?，的反函数为？?1（?）=技？故答案为：技？9 .【答案】-1【解析】【分析】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题.由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立 方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案.【解答】?+ ?- 2 >0解：由约束条件?+ 2? 3 W0作出可行域如图阴影部分，?> 0由图可知，当直线？?= 2?+ ?过A时，直线在y轴上的截距最大,联立瑟?" 解：行列式|2 ；-00,解得

15、?: 1,即？（1,1）. ?+ 2?- 3=0（= 1z有最大值为1 - 2 X 1 = -1 .故答案为：-1 .10 .【答案】2【解析】【分析】本题考查行列式的应用，代数余子式的应用，是基本知识的考查.? ? ?= 6, 0 0可得3|? ? ?=6,解得I? ?=2.直接利用行列式的运算法则求解即可.11 .【答案】36【解析】【分析】本题考查样本的数字特征，中位数，平均数，属于基础题.2+?分别由题意结合中位数，平均数计算万法得？?+?= 13, = 3,解得a, b,再算出答案即可.【解答】解：因为四个数的平均数为4,所以？?+?= 4 X 4- 1 - 2 = 13,2+?因为

16、中位数是3,所以=3,解得？?= 4,代入上式得？?= 13- 4=9,所以? 36 ,故答案为：36.一 ，-2712 .【答案】百 8【解析】【分析】本题考查等差数列的前 n项和与等差数列通项公式的应用，注意分析？?与的关系，属于基础题.根据等差数列的通项公式可由？+ ?o = ?,得？ = -?,在利用等差数列前n项和公?+?+?+? 9式化简一9即可得出结论. ?0【解答】斫以？+?殳+?+? 99X8?9? + p- 9?+36?-9?+36?27?+9?+9?-?+9?解：根据题意，等差数列 ?满足？ + ?0 = ?,即？ + ?+ 9?= ?+ 8?变形可得 ? = -?.27

17、故答案为：2t-13 .【答案】180【解析】【分析】本题考查组合数公式，解题关键是正确理解题意并熟悉组合数公式，属于基础题.根据题意，由组合公式得共有 ？1排法，计算即可得出答案.【解答】解：根据题意，可得排法共有 ？£= 180种.故答案为：180.14 .【答案】？?+ ? 1 = 0【解析】【分析】本题考查椭圆的简单性质的应用直线与直线的对称关系的应用，直线方程的求法，是基本知识的考查.求出椭圆的右焦点坐标，利用已知条件求出直线的斜率，然后求解直线方程.【解答】?解：椭圆?丁+ 3= 1的右焦点为?(1,0),直线l经过椭圆右焦点 F,交椭圆C于P、Q两点(点P在第二象限),

18、若点Q关于x轴对称点为？；且满足？?" ？?？可知直线l的斜率为-1 ,所以直线l的方程是：？合-(? - 1),即？?F ? 1 = 0.故答案为：？?+ ? 1 = 0.15 .【答案】(-8,0) U(0,1) U(1,+8)【解析】【分析】本题考查函数零点与方程根的关系，属于中档题.根据条件可知？= 0或1,进而结合条件(2)可得a的范围.【解答】解：根据条件(1)可得？ = 0或1,又因为关于x的方程？?(?= ?疣实数解，所以？?w 0或1,故？C (- 8,0) U(0,1) U(1, +8),故答案为：(-8, 0) U(0,1) U(1, +8).16 .【答案】6

19、【解析】【分析】本题考查两向量的线性运算，考查向量模的求法，正确理解题意是关键，是中档题.设？?=驾，?=重，结合向量的模等于1和2画出图形，由圆的交点个数即可求得 k的最大值.【解答】解：如图，设？卿=雷,?啜=颂,由|西-罩| = 1,且|霞？糊e 1,2,分别以？，？为圆心，以1和2为半径画圆，其中任意两圆的公共点共有 6个.故满足条件的k的最大值为6.17 .【答案】解：(1)该圆柱的表面由上下两个半径为1的圆面和一个长为2?宽为1的矩形组成，.?= 2 x?x 12 + 2?X 1 = 4?故该圆柱的表面积为4?(2) .正方形？?？，？?1?，？?？ ?又/? 5，.?，？?,？

20、. ?力？ ？且 AD、？平面 ADB,.,.? 面ADB,即？在面ADB上的投影为 A,连接？?眼 则/?为线段？?!有平面ABCD所成的角, 而C0S/？符？=券=3 .线段？?1?与平面ABCD所成的角为arccos二.3【解析】本题考查圆柱的表面积、空间线面夹角问题，熟练掌握线面垂直的判定定理是 解题的关键，考查学生的空间立体感和运算能力，属于中档题.(1)该圆柱的表面由上下两个半径为1的圆面和一个长为2?宽为1的矩形组成，依次求出圆面和矩形的面积， 相加即可；(2)先利用线面垂直的判定定理证明？?1?工平面ADB,连接？?弟 则/?为线段？?有平面ABCD所成的角，再利用三角函数的知

21、识求出cos / ?卿可.18.【答案】解：由于？?(?领周期是4?所以?=装=2,所以？?(?= sin 2?令 sin1?= !故 1?= 2?羡 2? 5?,整理得？?= 4? ?最?= 4?黑 2226633故解集为?1?= 4?羲?= 4?学,? ? 33(2)由于?= 1 ,所以?(?= sin?.所以？(?= sin2?+ v3sin(-?)sin( 2?- ?)= 1-co22? - 223sin2?= - 223sin2?- 2cos2?+1 1?2= 2- sin(2?+ 6). ?由于？e 0,4；,所以?w 2?+ ?<2?. 6632 wsin(2?+ 6) &

22、lt;1 ,故-1 w-sin(2? + ?) <- 1，1故-2 w ?(?M.所以函数？?(?那值域为-1,0.【解析】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题.(1)直接利用正弦型函数的性质的应用求出结果.(2)利用三角函数关系式的变换和正弦型函数的性质的应用求出函数的值域.?19.【答案】 解：(1) .？?= ?，？越大，x越小，.?= ?(?举单调递减函数，？?> 0,当40w?w 80时，v最大为85,于是只需令100 - 135 ?©?> 95,解得？?> 3,

23、 3故道路密度x的取值范围为(3,40).(2)把？?= 80 , ?= 50代入？?= ?(?= -?(?- 40) + 85 中,得50 = -? ?40 + 85,解得？?= 7. 81 ,100?- 135 ?(-)?0 < ?< 40-7 (?- 40)?+ 85?40 < ?< 80?=崂当0<?<40 时，q 单调递增，？?< 100 X40 - 135 X(J40 X40 4000 ； 当40 w?w 80时，q是关于x的二次函数，开口向下，对称轴为此时 q 有最大值，为 - 7 X (480)2 + 120 x480= 28800&g

24、t; 4000 .故车辆密度q的最大值为等【解析】本题考查分段函数的实际应用，考查学生分析问题和解决问题的能力，以及运 算能力，属于中档题.(1)易知v越大，X越小，所以？?=?(?花单调递减函数,?> 0,于是只需令100 - 135 ?利用？?= ?削得到q关于 q的最大值，取较大者即(11)?> 95,解不等式即可; 3(2)把？?= 80 , ?= 50代入？?= ?(?那解析式中，求出k的值, x的函数关系式，分段判断函数的单调性，并求出各自区间上 可.竺竺=120 .【答案】解：(1)由？?= v6,点A为曲线？西曲线？?的父点，联立 4?21?2 + ?2 = 4 +

25、 ?解得?= v2, ?= 2;(2)由题意可得？，？?为曲线？勺两个焦点,由双曲线的定义可得|?- |?= 2?又|?= 8, 2?= 4,所以 |?2? = 8 - 4=4,因为？?= v5,则？?= yA+5= 3,所以 1?| = 6,在?中，由余弦定理可得cos / ?=|?2+|?管2-|?1?明22|?|?64+16-36112X 8X4_ 11由 0< /?< ?可得 / ?= arccos 记;4+?修 设直线？?= - ?+ 等，可得原点O到直线l的距离？?= fm=V4+ ?,所以直线l是圆的切线，设切点为 M,所以？?= 2?,并设？?= 2?芍圆？+?=

26、4 + ?联立，可得？ + J ? = 4 + ?, 可得？?= ? ?= 2,即？(?2),注意直线l与双曲线的斜率为负的渐近线平行，所以只有当？?> 2时，直线l才能与曲线？有两个交点,?夕?+?'?2?2 _由7-存=1,可得？? =?2 + ?2 = 4 + ?一 一 -46一-所以有4 < 诉，解得？ > 2 + 2V5或？ < 2 - 2V5(舍去),因为?为？?舲?？：的投影可得，?= 4 + ?,所以？?？?= 4 + ? > 6 + 2v5,则?W?e(6 + 2 v5, +oo).【解析】本题考查双曲线与圆的定义和方程、性质，考查直线和

27、圆的方程、双曲线的方 程的联立，以及向量的数量积的几何意义，考查方程思想和化简运算能力，属于较难题.联立曲线？1?与曲线？?的方程，以及？?= V6,解方程可得b;(2)由双曲线的定义和三角形的余弦定理，计算可得所求角； 设直线?= - 2?+求得O到直线1的距离，判断直线1与圆的关系：相切，可设切点为 M,考虑双曲线的渐近线方程，只有当？?> 2时，直线1才能与曲线？有两个交点，解不等式可得b的范围，由向量投影的定义求得 ？?？进而得到所求范围.21 .【答案】解：(1)对于数列 3, 2, 5, 1,有 |2 - 3| = 1 , |5 - 3| = 2, |1 - 3| = 2,

28、满足题意，该数列满足性质P;对于第二个数列 4、3、2、5、1, |3 - 4| = 1 , |2 - 4| = 2, |5 - 4| = 1.不满足题意， 该数列不满足性质 P .(2)由题意:|?-?刁？- ?-1 |,可得：|?,?-1|刁？夕?-1- 1| ,? 2,3,9,两边平方可得：?- 2?3?+ 1 >?-2 - 2?* + 1 ,整理可得：(?- 1)?-1?/1(?+ 1) - 2 >0,当？A 1 时,得？?-1(?+ 1) - 2 >0此时 关于n恒成立，所以等价于？?= 2时，？(?+ 1) - 2 >0,所以，(?+ 2)(?- 1) &g

29、t;0,所以？?w -2 ,或？?> 1 ,所以取？?A 1 ,当0< ?< 1时，得？?-1(?+ 1) - 2 W0,此时关于n恒成立，所以等价于？?= 2时，?(?+ 1) - 2 < 0,所以(?+ 2)(?- 1) <0,所以-2 w ?w 1,所以取 0 < ?w 1 .当-1 <?< 0时:?-1 ?<-1 (?+ 1) - 2 <0,当n为奇数时，得？?-1(?+ 1) - 2 W0,恒成立，当n为偶数时，?-1 (?+ 1) - 2 >0, 不恒成立；故当-1 < ?< 0时，矛盾，舍去.当？?< -1 时，得？?-1 ?严1 (?+ 1) - 2 <0,当 n 为奇数时，得？?-1(?+ 1) - 2 <0, 恒成立，当n为偶数时，？?-1(?+ 1) - 2 >0,恒成立；故等价于 ？?= 2时，?(?+ 1) - 2 >0,所以(？?+ 2)(?- 1) >0,所以？?w -2 或？> 1,所以取?< -2 ,综上廿三- J 卜k).(3)设？= ? ?C3,4,，?- 3, ?- 2,因为? = ? ?可以取？?- 1,或？?+ 1, ?可以取？ 2,或？?+ 2 ,如果？?或？?取了？2