角平分线--冯

1、10.510.5角平分线角平分线 附中附中 冯静娴冯静娴公元公元21102110年年1 1月月1 1日，距离地球能源完全枯竭还日，距离地球能源完全枯竭还有有36503650天，为了解决能源危机，人类制造了赛天，为了解决能源危机，人类制造了赛尔机器人和宇宙能源探索飞船赛尔号，去寻找尔机器人和宇宙能源探索飞船赛尔号，去寻找传说中神秘精灵看守的无尽能源。传说中神秘精灵看守的无尽能源。 派特博士和发明家派特博士和发明家肖恩在两条通往宇宙肖恩在两条通往宇宙飞船发射基地的公路飞船发射基地的公路组成的组成的AOBAOB的平分的平分线上点线上点P处建造了一处建造了一座实验站，如图所示，座实验站，如图所示，为了

2、能以最短距离到为了能以最短距离到达公路，派特博士将达公路，派特博士将选择哪条路线？为什选择哪条路线？为什么？么？AOBCPD DE性质：性质： 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等角平分线上的点到这个角的两边的距离相等. .已知：如图，已知：如图，OCOC是是AOBAOB的平分线，点的平分线，点P P在在OCOC上，上， PDOAPDOA，PEOBPEOB，垂足分别为，垂足分别为D D，E E求证：求证：PD=PEPD=PE 证明：证明： OC OC平分平分AOBAOB 1 1=2 2 PDOAPDOA，PEOBPEOB PDO=PEO=90PDO=PEO=90 在在PDOPDO与与PEOP

3、EO中，中， 1=21=2， PDO=PEOPDO=PEO， OP=OPOP=OP， PDOPDOPEO(AAS)PEO(AAS) PD=PE(PD=PE(全等三角形的对应边相等全等三角形的对应边相等).).A AO OC CB B1 12 2P PD DE E符号语言符号语言OPOP是是AOBAOB的平分线的平分线, , 且且PDOA,PEOBPDOA,PEOB，PD=PE.PD=PE.A AO OC CB B1 12 2P PD DE E性质定理：性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等角平分线上的点到这个角的两边的距离相等. .老师叮咛：老师叮咛： 这是用来证明两条这是用来证明两

4、条线段相等的方法之一线段相等的方法之一. .逆命题：逆命题： 到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上. .已知：已知：PDOAPDOA，PEOBPEOB，垂足分别为，垂足分别为D D、E E，且，且PD=PEPD=PE求证：点求证：点P P在在AOBAOB的平分线上的平分线上 证明证明PDOAPDOA，PEOBPEOB， PDO=PEO=90PDO=PEO=90， 在在RtRtODPODP和和RtRtOEPOEP中，中， OP=OPOP=OP， PD=PEPD=PE， RtRtODP RtODP RtOEP(HL)OEP(HL) 1=2(1=2(全

5、等三角形对应角相等全等三角形对应角相等) ) 点点P P在在AOBAOB的平分线上的平分线上. .A AO OC CB B1 12 2P PD DE EABCD0EF在一个角的内部在一个角的内部Q判定定理：判定定理： 在一个角的内部在一个角的内部，并且到角的两边，并且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上距离相等的点，在这个角的平分线上. .符号语言：符号语言：PDOA,PEOB,PDOA,PEOB,且且PD=PE, PD=PE, 点点P P在在AOBAOB的平分线上的平分线上. .A AO OC CB B1 12 2P PD DE E帕诺星系帕诺星系卡兰星系卡兰星系罗格星系罗格星系裂空星

6、系裂空星系螺旋星系螺旋星系泰坦星系泰坦星系帕诺星系帕诺星系判断：判断： 到角的两边距离相等的点，在这到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上个角的平分线上.( ).( )卡兰星系卡兰星系 如图，如图，AOB=70AOB=70， QCOA QCOA于于C,QDOBC,QDOB于于D D， 若若QC=QDQC=QD，则则AOQ=_.AOQ=_.罗格星系罗格星系如图，如图，ABCABC中，中，C=90C=90，CABCAB的角平分线的角平分线ADAD交交BCBC于于D D，若，若DC=5DC=5，则点，则点D D到到ABAB的的距离距离DE=_DE=_ 裂空星系裂空星系如图，两条小河交汇成的三角区

7、，如图，两条小河交汇成的三角区，土壤肥沃，气候宜人，喜羊羊土壤肥沃，气候宜人，喜羊羊看中了这块宝地，想在这里建看中了这块宝地，想在这里建一个小房子，并使房子到两条一个小房子，并使房子到两条小河的距离相等，但它不知道小河的距离相等，但它不知道该如何选址，你能帮帮它吗？该如何选址，你能帮帮它吗？螺旋星系螺旋星系如图，如图，OPOP平分平分MONMON, ,PAONPAON于点于点A A，点，点Q Q是射线是射线OMOM上的一上的一个动点，若个动点，若PA=2PA=2，则，则PQPQ的最的最小值为（）小值为（）A 1; B 2; C 3; D 4A 1; B 2; C 3; D 4 泰坦星系泰坦星系

8、如 图 ， 点如 图 ， 点 P P 到到AOBAOB两边的距两边的距离 相 等 ， 若离 相 等 ， 若PPOBOB=30=300 0, , 则则AOBAOB=_.=_.ABOP例题：例题：如图，在如图，在ABCABC中，中，BAC=60BAC=60，点，点D D在在BCBC上，上，AD=10AD=10，DEAB,DFACDEAB,DFAC，垂足分别，垂足分别为为E E、F F，且，且DE=DFDE=DF，求，求DEDE的长的长. .老师期望老师期望： 你能写出规范你能写出规范的证明过程！的证明过程！变式变式1 1：如图如图,AD,AD是是ABCABC中中BACBAC的平分线，的平分线，DE

9、ABDEAB于点于点E,DFACE,DFAC于点于点F F，S SABCABC=7,=7,DE=2,AB=4,DE=2,AB=4,求求ACAC的长的长. . 变式变式2 2：如图，在如图，在ABCABC中，点中，点D D在在BCBC上，上，ADAD平平分分BACBAC ，BCBC的中垂线的中垂线GHGH交交ADAD的延长线的延长线于点于点H H，连，连接接HBHB、HC HC ，过点，过点H H作作HEABHEAB，HFAFHFAF，垂足分别，垂足分别为为E E、F.F.求证：求证：BE=FC.BE=FC.AEBDFCGH体会与分享体会与分享1.1.角平分线的性质定理：角平分线的性质定理： 角

10、平分线上的点到这个角的两边的距离相等角平分线上的点到这个角的两边的距离相等. .2.2.角平分线的判定定理：角平分线的判定定理： 在一个角的内部在一个角的内部, ,并且到角的两边距离相等的点，在这个角的并且到角的两边距离相等的点，在这个角的 平分线上平分线上. . 3. 3.能运用角平分线的性质定理和判定定理能运用角平分线的性质定理和判定定理解决问题解决问题. . 4 4经历探索、猜测、证明的过程，进一步体会证明的必要性，增强证明意经历探索、猜测、证明的过程，进一步体会证明的必要性，增强证明意识和能力识和能力. .作业：作业：1 1、完成学案、完成学案; ;2 2、完成、完成同步同步谢谢谢谢

11、从西游记到凡尔纳科幻小说，从西游记到凡尔纳科幻小说，飞船、潜艇今天不都有了吗？有梦飞船、潜艇今天不都有了吗？有梦想，还要脚踏实地，好好读书，才想，还要脚踏实地，好好读书，才能梦想成真！要让更多青少年敢于能梦想成真！要让更多青少年敢于有梦、勇于追梦、勤于圆梦，让每有梦、勇于追梦、勤于圆梦，让每个青少年都为实现中国梦增添强大个青少年都为实现中国梦增添强大青春能量！青春能量！变式变式2 2：已知已知, ,如图如图, ,在在ABCABC中中ADAD是它的角平是它的角平分线分线, ,且且BD=CD,DEAB,DFAC,BD=CD,DEAB,DFAC,垂足分别垂足分别E,F.E,F.求证求证:EB=FC.:EB=FC.ABCD0EFGH在一个角的内部在一个角的内部谜语谜语南阳诸葛亮南阳诸葛亮稳坐军中帐稳坐军中帐摆起八卦阵摆起八卦阵单捉飞来将单捉飞来将 打一昆虫打一昆虫 有一种蜘蛛网的主