2020届河北省衡水中学高三下学期第八次调研数学(文)试题(解析版)

1、2020届河北省衡水中学高三下学期第八次调研数学（文）试题一、单选题1设全集为，集合，集合，则（ ）abcd【答案】c【解析】化简集合，根据交集的定义，即可求解.【详解】，所以，故选：c.【点睛】本题考查集合的运算，属于基础题.2已知复数，则的模（ ）a1bcd4【答案】b【解析】由，根据模长公式，即可求解.【详解】已知，所以，故选：b【点睛】本题考查虚数的定义，以及复数的模长，属于基础题.3在2019年的国庆假期中，重庆再次展现“网红城市”的魅力，吸引了3000多万人次的客流.北京游客小李慕名而来，第一天打算游览“洪崖洞”，“解放碑”，“朝天门”.如果随机安排三个景点的游览顺序，则最后游览“

2、朝天门”的概率为（ ）abcd【答案】c【解析】“洪崖洞”，“解放碑”，“朝天门”分别记为，列出游览三个景点的所有安排顺序，确定最后游览“朝天门”安排个数，根据古典概型的概率即可求解.【详解】“洪崖洞”，“解放碑”，“朝天门”分别记为，随机安排三个景点的游览顺序，有以下安排方法：，共有6种安排方法，其中最后游览“朝天门”由2种安排方法其概率为.故选：c【点睛】本题考查古典概型的概率，属于基础题.4已知非零向量，满足：，则向量，的夹角大小为（ ）abcd【答案】b【解析】由，求出，再由向量的夹角公式，即可求解.【详解】由，有，则，有.故选：b【点睛】本题考查向量的数量积运算，考查向量的夹角，属于

3、基础题.5已知正方体的棱长为1，其内切球与外接球的表面积分别为，则（ ）a1bcd【答案】c【解析】根据正方体的内切球的直径为正方体的棱，求出其半径，外接球的直径为正方体的对角线，求出半径，由球的表面积公式，即可求解.【详解】内切球的半径，外接球的半径，所以表面积之比为.故选：c.【点睛】本题考查正方体的内切球和外接球的表面积，属于基础题.6已知，则的值为（ ）abcd【答案】b【解析】首先利用诱导公式化简函数解析式，之后利用正余弦平方和等于1，得到关于弦的分式型二次齐次式，之后化成切的式子，代入求解得结果.【详解】，故选：b.【点睛】该题考查的是有关三角函数化简求值的问题，涉及到的知识点有诱

4、导公式，同角三角函数关系式，属于简单题目.7如图所示的一个算法的程序框图，则输出的最大值为（ ）ab2cd【答案】c【解析】【详解】模拟程序的运行，可得程序框图的功能是求半圆y上的点到直线xy20的距离的最大值，如图： 可得：d的最大值为op+r+1故选：c8已知是定义在的函数，满足，当时，则（ ）abc2d3【答案】d【解析】根据条件确定函数的周期为6，利用函数周期性进行转化即可.【详解】，故选：d.【点睛】该题考查的是有关函数值的求解问题，涉及到的知识点有函数的周期性，对数式的运算法则，属于简单题目.9如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的外接球的体积

5、为（ ） abcd【答案】b【解析】借助长方体作出棱锥，利用球心到顶点的距离相等确定o的位置，利用球的性质求出半径，即可计算.【详解】由三视图可知该几何体是如图所示的三棱锥， 为的中点，外接球球心在过的中点且垂直于平面的直线上，又点到的距离相等，所以又在过左边正方体一对棱的中点所在直线上，在中，由，即，得，所以三棱锥外接球的球半径，.【点睛】本题主要考查了三视图，棱锥的外接球，球的体积，属于中档题.10已知函数，关于的方程恰有5个解，则的取值范围为（ ）abcd【答案】b【解析】根据求出有表达式，可用图象来分析，再由的图象与有5个交点可得的范围【详解】由题意函数的图象与的图象有5个交点作出的图

6、象，根据函数解析式，其图象在区间（）上的图象与上相同，如图，若，则是增函数，它与的图象只有一个交点，不合题意，当时是减函数，要有5个交点，因此有，解得故选：b.【点睛】本题考查方程解的个数与函数零点问题解题时转化为函数图象交点个数，通过数形结合思想求解11已知抛物线的焦点为,过直线上任一点引抛物线的两条切线,切点为,则点到直线的距离( )a无最小值b无最大值c有最小值,最小值为1d有最大值,最大值为【答案】d【解析】设,可得,即可求得为切点的切线方程和以为切点的切线方程,设过直线上任一点为,将代入和,即可求得直线的方程,进而求得点到直线的距离.【详解】设,可得, 以为切点的切线方程为:,即同理

7、可得,以为切点的切线方程为: 设过直线上任一点为 代入得 所以直线的方程为,即,又 ,即 过定点, 当时,到的距离的最大值为:.当过点时,距离的最小值为故选:d.【点睛】本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力,综合性强,本题涉及到轨迹方程的求法及直线与抛物线的相关知识,解题时要注意合理地进行等价转化.12已知函数有4个不同的零点，则实数的取值范围为( )abcd【答案】d【解析】因为,故,化简为:,即,构造函数,求其最值即可求得实数的取值范围.【详解】 由, 得,可得:,设,则, 当时,当时, 在上单调递增,在上单调递减,故,当,. ,.要使方程有4个不同的零点,则,可得,故选:d.【点睛】

8、本题考查了函数零点问题,要将函数的求零点问题转化为求方程根的问题,就自变量取不同范围进行讨论求解这是解题关键.二、填空题13设，满足约束条件，则的最小值是_.【答案】-3【解析】设，根据约束条件画出可行域，可知取最小值时，在轴截距最大；由图象可知当过时截距最大，求出点坐标，代入可得结果.【详解】设，由约束条件可得可行域如下图阴影部分所示：则取最小值时，在轴截距最大由图象可知，当过时，截距最大由得：，即本题正确结果：【点睛】本题考查线性规划中最值问题的求解，关键是能够将问题转化为在轴截距的最值求解问题，根据图象平移求得结果.14对于三次函数，定义：设是的导数，若方程有实数解，则称为函数的拐点.某

9、同学经过探索发现任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.设函数，则_；_.【答案】 【解析】利用二阶导数求出三次函数的拐点，进而可得出三次函数图象的对称中心坐标，由此可计算出以及的值.【详解】，令，得，又，所以，三次函数图象的对称中心坐标为，即，所以，因此，.故答案为：；.【点睛】本题考查新定义“拐点”的应用，涉及三次函数的对称中心以及等差数列求和问题，考查计算能力，属于难题.15已知双曲线:(,)的左,右焦点为,以为直径的圆与双曲线的渐近线在第一象限交于点,线段与双曲线的交点为的中点,则双曲线的离心率为_.【答案】【解析】因为以为直径的圆与双曲线的

10、渐近线在第一象限交于点,故解得,求得,由中点坐标公式解得,将其代入,即可求得双曲线的离心率.【详解】 以为直径的圆与双曲线的渐近线在第一象限交于点, 解得: 故,又 ,代入双曲线方程可得:,化简可得 ,又,.故答案为:.【点睛】本题考查了求双曲线离心率的问题,解题关键双曲线的几何性质及离心率的求法,数形结合是本题的关键,查分析能力和计算能力,属于中档题.16已知数列,满足,的前项和为,对任意的,当时,都有,则的取值范围为_.【答案】【解析】由,当,得.由 可得,即可求得为等差数列,结合当时,都有,即可求得的取值范围.【详解】 由, 当,得. 可得 由得:,故为等差数列.又,最大,则,即,又,可

11、得故答案为:.【点睛】本题解题关键是根据已知条件判断出数量是等差数列,掌握数列单调性是解本题的关键,考查了分析能力和计算能力,属于基础题.三、解答题17已知数列,是一个等差数列,且,数列是各项均为正数的等比数列,且满足:,.（1）求数列与的通项公式;（2）求证:.【答案】（1），（2）证明见解析【解析】（1）因为为等差数列,设公差为,则即可求得首项和公差,即可求得.因为为等比数列,即可求得公比,进而求得.（2）因为,所以,根据数列求和错位相减法,即可求得,进而求得答案.【详解】（1） 为等差数列,设公差为,.为等比数列,设公比为,则,.（2）令, 可得: 由-得:,.故.【点睛】本题考查求等差

12、数列通项公式和数列求和.错位相减法求数列和,适用于通项公式为等差的一次函数乘以等比的数列形式,考查了学生的计算能力,属于基础题型.18如图，已知在四棱锥中，底面为正方形，点为的中点，.（1）求证：平面平面；（2）若正方形的边长为4，求点到平面的距离.【答案】（1）见解析；（2）【解析】（1），点为的中点，可知，再由已知条件，可证平面，即可证明结论；（2）连，由（1）可得平面平面，过作与，根据面面垂直的性质定理，可得平面，即为所求，且为斜边上的高，可得出结论【详解】（1）证明：由，点为的中点，可知，再已知，且，相交于，则平面.又平面，所以平面平面.（2）解：由（1）知平面，则平面平面，相交于.作

13、，可知为点到平面的距离，且【点睛】本题考查面面垂直的证明以及面面垂直性质的应用，考查空间垂直的转化，属于基础题.192019年双十一落下帷幕，天猫交易额定格在268（单位：十亿元）人民币（下同），再创新高，比去年218（十亿元）多了50（十亿元），这些数字的背后，除了是消费者买买买的表现，更是购物车里中国新消费的奇迹，为了研究历年销售额的变化趋势，一机构统计了2010年到2019年天猫双十一的销售额数据（单位：十亿元），绘制如下表1：表1年份2010201120122013201420152016201720182019编号12345678910销售额0.98.722.4416594132.5

14、172.5218268根据以上数据绘制散点图，如图所示（1）把销售额超过100（十亿元）的年份叫“畅销年”，把销售额超过200（十亿元）的年份叫“狂欢年”，从2010年到2019年这十年的“畅销年”中任取2个，求至少取到一个“狂欢年”的概率；（2）根据散点图判断，与哪一个适宜作为销售额关于的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）；（3）根据（2）的判断结果及下表中的数据，建立关于的回归方程，并预测2020年天猫双十一的销售额（注：数据保留小数点后一位）参考数据：，参考公式：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，【答案】（1）（2）更适宜（3）324.7十亿元【解析

15、】（1）由表中数据可记畅销年中不是狂欢年为，狂欢年为，列举出基本事件个数，根据古典概型的概率计算公式即可求解.（2）由散点图可得出回归方程类型.（3）根据公式代入数据，求出、，得出回归方程，从而可求解.【详解】解：（1）畅销年个数：4，其中的狂欢年个数：2，记畅销年中不是狂欢年为；狂欢年为，则总共有，则（2）由题意更适宜 （3）， ， ，当时，（十亿元），预测2020年双十一的销售额为324.7十亿元【点睛】本题考查了古典概型的概率计算公式、回归方程的求法，考查了学生的数据分析与处理能力，属于中档题.20已知椭圆：的两个焦点为,焦距为,直线:与椭圆相交于,两点,为弦的中点.（1）求椭圆的标准方

16、程;（2）若直线:与椭圆相交于不同的两点,若（为坐标原点）,求的取值范围.【答案】（1）（2）或【解析】（1）因为为弦的中点,设,将其代入利用点差法,即可求得答案.（2）因为,三点共线, 根据三点共线性质可得:,则,将直线和椭圆联立方程消掉,结合已知,利用韦达定理即可求得答案.【详解】（1） 焦距为,则,设, 为弦的中点,根据中点坐标公式可得:,又 将其,代入椭圆: 将两式作差可得:,. 由得: 椭圆的标准方程为.（2） ,三点共线, 根据三点共线性质可得: ,则设,则,.将直线和椭圆联立方程消掉.可得:., 根据韦达定理:,代入,可得:, ,即. ,代入式得,即,满足式,或.【点睛】本题主要

17、考查直线与圆锥曲线位置关系,所使用方法为韦达定理法:因直线的方程是一次的,圆锥曲线的方程是二次的,故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题,最终转化为一元二次方程问题,故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一,尤其是弦中点问题,弦长问题,可用韦达定理解决.21已知函数.（1）若函数在上有2个零点，求实数的取值范围.（注）（2）设，若函数恰有两个不同的极值点，证明：.【答案】（1）（2）见证明【解析】（1）将a分离，构造函数，利用导数研究的图像，得到a的范围.（2）由已知，求其导函数，由x1，x2是g（x）的两个不同极值点，可得a0，结合g（x1）0，g（x2）0得到，进一步得到

18、，把问题转化为证明，将其变形后整体换元构造函数再利用导数证明0得答案【详解】（1）时，由得，令时，时，在上是减函数，在上是增函数.又，h（x）的大致图像：利用与的图像知.（2）由已知，因为，是函数的两个不同极值点（不妨设），易知（若，则函数没有或只有一个极值点，与已知矛盾），且，.所以，.两式相减得，于是要证明，即证明，两边同除以，即证，即证，即证，令，.即证不等式，当时恒成立.设，则 .设，则，当时，单调递减，所以，即，所以，所以在时是减函数.故在处取得最小值.所以得证.所以.【点睛】本题考查利用导数研究函数的零点问题，考查了导数在解决不等式证明问题中的应用，考查了数学转化思想方法和函数构造法，属于难题22在直角坐标系中,曲线:(为参数),以原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线:,曲线与曲线相交于,两点.（1）求曲线的直角坐标方程与直线的一般方;（2）点,求.【答案】（1）：，直线：（2）【解析】（1）将曲线:化简为:,根据消参,即可得到的直角坐标方程,将和直角坐标方程作差,即可求得直线的一般方程.（2）将:方程,改写成直线参数方程: （为参数）,将其代入,即可求得.【详解】（1）:即. :将-得: :, 曲线的直角坐标方程: ,直线的一般方程为:.（2）:, 在上,直线的参数方程为:（为参数）,代入:,整理得,根据韦达定理: ,.故