空间向量与立体几何知识点学生

1、用空间向量判断空间中的位置关系的常用方法（1）线线平行 证明两条直线平行，只需证明两条直线的方向向量是共线向量（2）线线垂直证明两条直线垂直，只需证明两条直线的方向向量垂直，即 a b 0 a b 3）线面平行用向量证明线面平行的方法主要有： 证明直线的方向向量与平面的法向量垂直； 证明可在平面内找到一个向量与直线方向向量是共线向量； 利用共面向量定理，即证明可在平面内找到两不共线向量来线性表示直线的方向向量（4）线面垂直用向量证明线面垂直的方法主要有： 证明直线方向向量与平面法向量平行； 利用线面垂直的判定定理转化为线线垂直问题（5）面面平行证明两个平面的法向量平行（即是共线向量）；转化为线

2、面平行、线线平行问题（6）面面垂直证明两个平面的法向量互相垂直；转化为线面垂直、线线垂直问题6、运用空间向量求空间角利用公式cos a,b1）求两异面直线所成角0,但务必注意两异面直线所成角 的范围是 2故实质上应有：cos cos a,b（2）求线面角 求直线与平面所成角时，一种方法是先求出直线及射影直线的方向向量，通过数量积求出直线与平 面所成角；另一种方法是借助平面的法向量，先求出直线方向向量与平面法向量的夹角 ，即可求出直 线与平面所成的角 ，其关系是 sin| cos |（3）求二面角 用向量法求二面角也有两种方法：一种方法是利用平面角的定义，在两个面内先求出与棱垂直的两 条直线对应

3、的方向向量，然后求出这两个方向向量的夹角，由此可求出二面角的大小；另一种方法是转 化为求二面角的两个面的法向量的夹角，它与二面角的大小相等或互补7、运用空间向量求空间距离 空间中的各种距离一般都可以转化为求点与点、点与线、点与面的距离（1）点与点的距离 点与点之间的距离就是这两点间线段的长度，因此也就是这两点对应向量的模（2）点与面的距离 点面距离的求解步骤是： 求出该平面的一个法向量； 求出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量； 求出法向量与斜线段向量的数量积的绝对值再除以法向量的模，即得要求的点面距离直线的方向向量、平面的法向量及其应用一、直线的方向向量及其应用1、直线的方向向量 直线

4、的方向向量就是指和这条直线所对应向量平行（或共线）的向量，显然一条直线的方向向量可以有无数个2、直线方向向量的应用利用直线的方向向量，可以确定空间中的直线和平面（1）若有直线 l, 点A 是直线 l 上一点，向量 a是 l的方向向量，在直线 l上取 AB a ，则对于直线 l上任意一点 P，一定存在实数 t，使得 AP t AB ，这样，点 A 和向量 a不仅可以确定 l的位置，还可具体表示出 l 上的任意点（2）空间中平面 的位置可以由 上两条相交直线确定， 若设这两条直线交于点 O,它们的方向向量分别是 a和 b， P 为平面 上任意一点，由平面向量基本定理可知，存在有序实数对（x， y）

5、，使得 OP xa yb ，这样，点 O 与方向向量 a 、 b 不仅可以确定平面 的位置，还可以具体表示出 上的任意点二、平面的法向量1、所谓平面的法向量， 就是指所在的直线与平面垂直的向量， 显然一个平面的法向量也有无数个， 它们是共线向量2、在空间中，给定一个点 A 和一个向量 a ，那么以向量 a为法向量且经过点 A 的平面是唯一确定的u1 u2 、直线方向向量与平面法向量在确定直线、平面位置关系中的应用1、若两直线 l1、 l2的方向向量分别是 u1 、 u2 ，则有 l1/ l2 u1 /u2 ，l1l2v1 / v2 ，2、若两平面 的法向量分别是v1、v2 ，则有 /v1v2

6、若直线 l 的方向向量是 u ，平面的法向量是v ，则有 l/u v ， lu/v四、平面法向量的求法 若要求出一个平面的法向量的坐标，一般要建立空间直角坐标系，然后用待定系数法求解，一般步骤如下：1、设出平面的法向量为 n （x, y, z） 00 ab nn2、找出（求出）平面内的两个不共线的向量的坐标a （a1,b1,c1）,b （a2 , b2, c2 ）3、根据法向量的定义建立关于x，y， z 的方程组4、解方程组，取其中一个解，即得法向量五、用向量方法证明空间中的平行关系和垂直关系（一）用向量方法证明空间中的平行关系 空间中的平行关系主要是指：线线平行、线面平行、面面平行1、线线平

7、行设直线 l1、l2的方向向量分别是 a 、 b ，则要证明 l1/ l2，只需证明 a/b，即 a kb （k R）2、线面平行（1）设直线 l 的方向向量是 a，平面 的法向量是 n ，则要证明 l / ，只需证明 a n，即 a n 0.（2）根据线面平行的判定定理： “如果直线 （平面外） 与平面内的一条直线平行， 那么这条直线和这个平面平行 要证明一条直线和一个平面平行，也可以在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量即可（ 3）根据共面向量定理可知，如果一个向量和两个不共线的向量是共面向量，那么这个向量与这两个不共线向 量确定的平面必定平行，因此要证明一条直线和一个平面平行，

8、只要证明这条直线的方向向量能够用平面内两个不共 线向量线性表示即可3、面面平行（1）由面面平行的判定定理，要证明面面平行，只要转化为相应的线面平行、线线平行即可（2）若能求出平面 、的法向量 u、 v ，则要证明 / ，只需证明 u/ v （二）用向量方法证明空间中的垂直关系空间中的垂直关系主要是指：线线垂直、线面垂直、面面垂直1、线线垂直设直线 l1、 l 2的方向向量分别是 a 、 b ，则要证明 l1 l 2，只需证明 ab，即 a b 02、线面垂直（1）设直线 l 的方向向量是 a，平面 的法向量是 u，则要证 l，只需证明 a/ u（ 2）根据线面垂直的判定定理，转化为直线与平面内

9、的两条相交直线垂直3、面面垂直（ 1）根据面面垂直的判定定理转化为证相应的线面垂直、线线垂直（ 2）证明两个平面的法向量互相垂直六、用向量方法求空间的角（一）两条异面直线所成的角/ / / /1、定义：设 a、b是两条异面直线，过空间任一点O作直线 a /a,b /b，则 a/与b/所夹的锐角或直角叫做所成的角02、范围：两异面直线所成角 的取值范围是23、向量求法：设直线a、b 的方向向量为a、 b ，其夹角为，则有cos|cos4、注意：两异面直线所成的角可以通过这两条直线的方向向量的夹角来求得，但两者不完全相等，当两方向向量的 夹角是钝角时，应取其补角作为两异面直线所成的角（二）直线与平

10、面所成的角1、定义：直线和平面所成的角，是指直线与它在这个平面内的射影所成的角02、范围：直线和平面所成角 的取值范围是2则有3、向量求法：设直线 l 的方向向量为 a ，平面的法向量为 u ，直线与平面所成的角为 ， a与 u的夹角为 ，sin |cos |或cos sin三）二面角BOcos ABO=ABOBOn由于AB nn0可以视为平面的单位法向量，所以点到平面的距离实质就是平面的单位法向量与从该点出发的斜线斜线段，则在 Rt BOA 中cos ABOBO2）设 n1 、 n2 是二面角的夹角（如图（ a）所示）2、二面角的向量求法B 点到平面 的距离为平面角的大小（如图（ b）所示）

11、1、二面角的取值范围： 0, 如果令平面 的法向量为 n ，考虑到法向量的方向，可以得到因此要求一个点到平面的距离，可以分以下几步完成：1、求出该平面的一个法向量2、找出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量3、求出法向量与斜线段向量的数量积的绝对值再除以法向量的模，即可求出点到平面的距离AB n0的两个角 、 的法向量，则向量 n1与 n2的夹角（或其补角）就是二面角的1）若 AB、CD 分别是二面角l 的两个面内与棱 l垂直的异面直线，则二面角的大小就是向量 AB与CD段向量的数量积的绝对值，即 d七、用向量的方法求空间的距离（一）点面距离的求法如图（a）所示，BO平面，垂足为 O，则点

12、 B 到平面的距离就是线段 BO的长度若 AB 是平面 的任一条另外，等积法也是点到面距离的常用求法二）线面距、面面距均可转化为点面距离用求点面距的方法进行求解。 三）两异面直线距离的求法l2 上的任如图（ b）所示，设 l1、l2是两条异面直线， n是l1与l2的公垂线段 AB 的方向向量，又 C、D 分别是 l1、CD n意两点，则 l1与 l2 的距离是典型例题】1. 设 a 、b 分别是直线 l1、l 2的方向向量，根据下列条件判断1）a=（ 2， 3， 1），b=（6， 9，3）；2）a=（ 5， 0，2）， b0，4， 0）；3）a=（ 2， 1， 4），b=（6，3，3）2. 设

13、 u 、v 分别是平面 、的法向量，根据下列条件判断11）u=（1， 1，2），v=（3，2， 2 ）；2）u=（ 0， 3，0）， v=（0，5，0）；3）u=（ 2， 3，4），v=（4， 2， 1）。例例 、的位置关系：l1与 l2 的位置关系。例 3. 已知点 A （3， 0，0），B（0，4，0）， C（0，0，5），求平面 ABC 的一个单位法向量。所成角的例 4. 若直线 l 的方向向量是 a =（1，2，2），平面 的法向量是 n =（ 1，3， 0），试求直线 l与平面 余弦值。例 5. 如图（ a）所示，在正方体 ABCD A1B1C1D1中，M、N 分别是 C1C、B1C1的中点。求证：（ 1） MN/ 平面 A1BD ；2）平面 A 1BD/ 平面 B1D1C 。例6. 如图，在正方体 ABCD A1B1C1D1中，O为AC 与 BD的交点， G为CC1的中点。求证： A 1O 平面 GBD。例 7. （ 天津）如图（ a）所示，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是正方形，侧棱 PD底面 ABCD ，PD=DC ，E 是 PC 的中点。（1）证明：