第二常微分方程一些基本知识PPT课件

1、第一节 常微分方程的基本概念与分离变量法 一、微分方程的基本概念1. 微分方程 含有未知函数的导数或微分的方程称为微分方程。 注：在微分方程中，如果未知函数是一元函数，则方程称为常 微分方程，简称微分方程。2. 微分方程的阶 微分方程中所出现的未知函数导数的最高阶数称为微分方程的阶.22(1)dyx ydx如一阶 5(2)cos40yyx五阶(3)4130yyy二阶第1页/共51页2(4)20 xyyyx一阶一般地，n 阶微分方程的一般形式为： ,0nFx yyy， ， ，3. 微分方程的解、通解 （1）若某函数代入微分方程后，能使该方程两端恒等，则这个函 数为该微分方程的解。 如 y = x

2、2 + 2是方程（1）的解, 显然 y = x2 + C 也是方程（1）的解. （2）如果微分方程的解中所含独立常数的个数等于微分方程的阶 数，这样的解称为微分方程的通解. 如 y = x2 + C 是方程（1）的通解. 4微分方程的初始条件和特解 （1）确定通解中任意常数值的附加条件叫做初始条件； 第2页/共51页一般地 一阶微分方程的初始条件为： 二阶微分方程的初始条件为： 00 x xyy00001(x xyyxyy， ， 为给定值)01x xyy（2）由初始条件确定了通解中任意常数后所得到的解，称为微 分方程的特解。 如 y = x2 + 2是方程（1）的特解.211210?,2?yC

3、xxyy 例函数是方程的解吗 若是解 是通解 还是特解2122yxyCx解将及代入所给方程左端得22221221221 102CxCxCxCx 第3页/共51页21.2yCx是所给方程的解212yCx又中含有一个任意常数C，而所给方程又是一阶微分方程， 212yCx是所给方程的通解. 120021011xxxyC xC ex yxyyyy 例验证是微分方程的通解,并求出满足初始条件及的特解.12122,:xxxyC xC eyCC eyC e解将及代入所给方程左端得 2121210 xxxx C ex CC eC xC e1210 xyC xC ex yxyy是微分方程的解12xyC xC e

4、又中含有两个任意常数，而所给方程又是二阶的， 12xyC xC e是所给方程的通解.第4页/共51页2011;xyC 将代入通解中得12121011,2,xxyyCC eCCC将代入中得,则2.xyxe于是所求特解为二、分离变量法 1定义 形如 (1)dyf x g ydx的方程称为可分离变量的方程. 特点 - 等式右端可以分解成两个函数之积，其中一个只是x 的函数，另一个只是y的函数 ygxfdxdy2解法 设 10dyf x dxg yg y分离变量得第5页/共51页当g(y)0时，两端积分得通解 1dyfx dxg y 11220.Mx Ny dxMx Ny dy(2)方程也是变量可分离

5、的方程注 (1)当g(y)=0时，设其根为y =，则y =也是原方程的解； 2112120,0NyMxdydxNyMxNyMx 事实上3dyxdxy 例求微分方程的通解.解 分离变量，得 ydy = -xdx , 2211122yxC 两边积分得2212.xyCCC即为所给方程的通解第6页/共51页212141.1xxydyydxyx 例求方程满足初始条件的特解2211yxdydxyx 解分离变量,得22111,ln 1ln 1ln222yxC 两端积分 得2211xyC即原方程的通解为11,4,xyC由得22,114.xy因此 满足初始条件的特解为 说明：在解微分方程时，如果得到一个含对数的

6、等式，为了利用对数的性质将结果进一步化简，可将任意常数写成klnC的形式，k的值可根据实际情况来确定，如例2中取k=1/2. 第7页/共51页例5 设降落伞从跳伞台下落，所受空气阻力与速度成正比，降落伞 离开塔顶(t = 0)时的速度为零。求降落伞下落速度与时间的函 数关系.解 设 降落伞下落速度为v(t)时伞所受空气阻力为-k （负号表示阻力与运动方向相反（k为常数） 伞在下降过程中还受重力P = mg作用， 由牛顿第二定律得 00tdvmmgkvvdt且于是所给问题归结为求解初值问题 00tdvmmgkvdtv第8页/共51页dvdtmgkvm分离变量得,dvdtmgkvm两边积分得11l

7、ntmgkvCkm11,ktkCmmgvCeCekk整理得00,mgmgCeCkk由初始条件得,即1ktmmgvek故所求特解为第9页/共51页 由此可见，随着t的增大，速度趋于常数mg/k，但不会超过mg/k，这说明跳伞后，开始阶段是加速运动，以后逐渐趋于匀速运动. 第10页/共51页第二节 一阶线性微分方程与可降阶的高阶微分方程 一、一阶线性微分方程 1定义： 形如 (1)dyP x yQ xdx 的方程，称为一阶线性微分方程，其中P(x)、Q(x)是已知的连续函数, Q(x)称为自由项特点： 方程中的未知函数y及导数 dydx都是一次的 2分类若 Q(x)= 0, 即 0(2)dyP x

8、 ydx 称为一阶线性齐次微分方程若Q(x)0, 则方程(1)称为一阶线性非齐次微分方程yxyx如是非齐次方程，201dyxydxx是齐次方程，第11页/共51页sinxyyx是非齐次方程.3一阶线性齐次方程的解法 0dyP x ydx 类型： 可分离变量的微分方程 1dyP x dxy 分离变量得 lnlnyP x dxC 两边积分得 3P x dxyCe即（ ）其中 C 为任意常数. 4一阶线性非齐次方程的解法 用常数变易法 第12页/共51页 1dyP x yQ xdx设（） 在方程（1）所对应的齐次方程的通解的基础上进行变易,假设方程（1）有如下形式的解： P x dxyC x e其中

9、 C（x）为待定函数 1P x dxP x dxC x eP xC x eQ x代入方程（）得 P x dxP x dxP x dxCx C x eC x eP xP xC x eQ x P x dxCxQ x e即 P x dxC xQ x eC第13页/共51页于是方程(1)的通解为： 4P x dxP x dxyeQ x edxC（ ）（4）式称为一阶线性非齐次方程（1）的通解公式上述求解方法称为常数变易法 用常数变易法求一阶线性非齐次方程的通解的一般步骤为：(1)先求出非齐次线性方程所对应的齐次方程的通解；(2)根据所求出的齐次方程的通解设出非齐次线性方程的解将所求 出的齐次方程的通解

10、中的任意常数C改为待定函数C(x)即可；(3)将所设解带入非齐次线性方程，解出C(x)，并写出非齐次线性 方程的通解 ln1yxxyx 例求方程的通解.第14页/共51页1lnyyxx解原方程可变形为 式对应的齐次方程为 10yyx 将方程分离变量得 dydxyx两边积分得 lnlnlnyxC即 lnlnyCx所以齐次方程的通解为： yCx 将上述通解中的任意常数C换成待定函数C(x)，将其待入方程得 lnlnxxCxxCxx，则， 2ln1lnlnln2xC xdxx dxxCx第15页/共51页将C(x)代入式 得原方程的通解： 2ln2xyxCx3221.1yyxx例求方程的通解 321

11、1P xQ xxx 解，223111dxdxxxyexedxC由公式可得2321111xxdxCx221112xxC421112xC x第16页/共51页例3在串联电路中，设有电阻R，电感L和交流电动势E = E0sint， 在时刻t = 0时接通电路，求电流i与时间t的关系（E0,为常 数）解设任一时刻t的电流为i 我们知道，电流在电阻R上产生一个电压降uR = Ri， LdiuLdt由回路电压定律知道，闭合电路中电动势等于电压降之和，即在电感L上产生的电压降是 RLuuE0sindiRiLEwtdt亦即0sinEdiRiwtdtLL整理为第17页/共51页 0sinERP tQ twtLL

12、，式为一阶非齐次线性方程的标准形式，其中 利用一阶非齐次线性方程之求解公式得通解： 000222sinsinsincosRRdttLLRRttLLRtLEi teewtdtCLEeewtdtCLECeRwtwLwtRw L022200twLEiCRw L由初始条件得，第18页/共51页 0222sincosRtLEi twLeRwtwLwtRw L于是 1.nyf x型二、可降阶的高阶微分方程 特点：方程y(n) = f(x)的右端仅含有自变量解法：将两端分别积分一次，得到一个n-1阶微分方程;再积分 一次，得到n-2阶微分方程，连续积分n次，便可得到该 方程的通解 24.xyex 例求微分方

13、程的通解解 将所给方程连续积分三次，得 2221,22xxxyex dxeC 第19页/共51页23222112246xxxxyeC dxeCxC 3222421231146118242xxxyeCxCdxCexC xC xCC 2.yf xy，型特点：方程右端不含未知函数y解法：令y = t，则y= t，于是原方程可化为以 t 为未知函 数的一阶微分方程t= f(x ,t) 250.1yyx例求方程的通解第20页/共51页解 令y= t，则y= t， 代入原方程得 21ttx 分离变量得 121dtdxtx两边积分得 2lnln1lntxC21tC x即21yC x 再积分得 32113yC

14、 xC3121113yCxCCC即第21页/共51页例6 如图，位于坐标原点的我舰向位于x轴上A(1,0)点处的敌舰发 射制导鱼雷，鱼雷始终对准敌舰设敌舰以常速v0沿平行于 y 轴的直线行驶，又设鱼雷的速率为2v0，求鱼雷的航行曲线方程 解 设鱼雷的航行曲线方程为 y = y(x)， 在时刻，鱼雷的坐标为P(x,y)，敌舰 的坐标为Q(1, v0t) 因为鱼雷始终对准敌舰，所以 01v tyyx 01v tyxy即20012xOPy dxv t又的长度为第22页/共51页令y= p，方程可化为 21112x pp 00,00yy这是不显含y的可降阶微分方程,根据题意，初始条件为 分离变量可解得

15、 211211xCpp从上面两式消去v0t得： 201112xyxyy dx两边关于x求导得: 21112yxyyy即21112x yy211211xCyy即 1001yC将代入，得，第23页/共51页12211yyx所以12221111yyxyy而1122111122yxx 所以132221113yxxC 积分得以 y(0)= 0代入，得 223C ，所以鱼雷的航行曲线方程为： 1322121133yxx 3. yfyy，型特点： 方程右端不含变量x 第24页/共51页 yP y 解法： 令dPdP dydPyPdxdy dxdy 则从而将原方程化为一阶微分方程： dPPfyPdy，240.

16、yyy例求方程的通解 yP y 解令dPyPdy 则代入原方程得 20dPyPPdy当y0，P0时，分离变量得： dPdyPy两端积分得： 1lnlnlnPyC12C xyC e当P 0时，则y = C（C为任意常数）， 第25页/共51页显然，它已含在解 1210C xyC eC中 （）所以原方程的通解为： 12C xyC e第26页/共51页 第三节 二阶常系数线性微分方程 (1)ypyqyf x定义 形如 的方程，称为二阶常系数线性微分方程其中p,q为常数 .0(2)ypyqy注 当f(x)0时，方程(1)称为二阶常系数非齐次线性微分方程； 当f(x)=0时，即 方程(2)称为二阶常系数

17、齐次线性微分方程 一、二阶常系数线性微分方程解的性质1齐次线性方程解的结构 定义：设y1 = y1(x)与y2 = y2(x)是定义在区间(a,b)内的函数，如果存在两个不全为零的常数 k1 , k2，使得对于 (a,b) 内的任一x恒有第27页/共51页k1 y1 + k2 y2 = 0成立，则称y1与y2在 (a,b)内线性相关，否则称为线性无关由定义知： y1与y2线性相关的充分必要条件是 21,yxkxa byx21yy若不恒为常数，则y1与y2线性无关 22xxxxxeeeee如与线性无关；12.22xxxxeeee与线性相关定理1 （齐次线性方程解的叠加原理） 第28页/共51页

18、若y1与y2是齐次线性方程(2)的两个解，则y = C1 y1+C2 y2也是(2)的解，且当与线性无关时，y = C1 y1+C2 y2就是式(2)的通解证 将y = C1 y1+ C2 y2 直接代入方程(2)的左端，得 1122112211221111222212000C yC yp C yC yq C yC yCypyqyCypyqyCC所以 y = C1 y1+C2 y2是方程(2)的解,又 y1 与 y2线性无关， C1和C2是两个独立的任意常数, 即 y = C1 y1+C2 y2中所含独立的任意常数的个数与方程(2)的阶数相同 , 所以 它又是方程(2)的通解.2非齐次线性方程

19、解的结构 定理2 （非齐次线性方程解的结构）第29页/共51页 若yp为非齐次线性方程(1)的某个特解，yc为方程(1)所对应的齐次线性方程(2)的通解，则 y = yp+ yc为非齐次线性方程 (1)之通解证 将y = yp+ yc代入方程(1)的左端有 所以 yp+ yc 确为方程(1)的解 又 yc 中含有两个独立的任意常数， 所以 y = yp+ yc 中也含有两独立的任意常数， 故 y = yp+ yc 为方程(1)的通解 (1)ypyqyfx设 0pcpcpcpppcccyyp yyq yyypyqyypyqyf xf x第30页/共51页 1,ypyqyfx的解定理3 若y1为方

20、程 y2为方程 2,ypyqyfx的解则 y = y1 + y2 为方程 12(3)ypyqyfxfx的解.证： 将y = y1 + y2代入方程 (3)左端得 121212yyp yyq yy 111222ypyqyypyqy 12fxfx右端二、二阶常系数齐次线性微分方程的求解方法0(2)ypyqy设其中 p, q 为常数.第31页/共51页令方程(2)的解为 rxye（r为待定常数） 代入方程(2)得 20rxrxrxr epreqe0rxe 02qprr (4) 由此可见，只要r满足方程(4)，函数 rxye就是方程(2)的解 定义 称方程(4)为微分方程(2)的特征方程，方程(4)的

21、两个根 r1 , r2 称为特征根 由于特征方程(4)的两个根 2422, 1qppr只能有三种 不同情形，相应地，齐次方程(2)的通解也有三种不同的形式 当= p2 - 4q 0时，特征方程(4)有两个不相等的实根r1 r2 第32页/共51页由上面的讨论知道 1212r xr xyeye与是方程(1)的两个解 又y1与y2线性无关，因此方程(2)的通解为 :1212r xr xyC eC e 当= p2 - 4q = 0时，特征方程(4)有两个相等实根 r = r1 = r2 我们只能得到方程(1)的一个解 rxey 1 221,rxyu xyu x yu x e设即对y2求导得 2222

22、rxrxrxrxyu eureuru eyurur u e222,yyy将代入方程(2)，得022 quruupururuerx第33页/共51页0rxe220urp urprq u又 r是特征方程的二重根， 220,0rprprq所以0 u因为u(x)不是常数，不妨取u(x)= x， 这样得到方程（2）的另一个解 2,rxyxe从而方程（2）的通解为 1212rxrxrxyC eC xeCC x e 如果= p2 - 4q 0，即特征方程(4)有一对共轭复根 12,0riri12(2).ixixyeye则和是方程的两个复数形式的解第34页/共51页为了求出方程(2)的两个实数形式的解，利用欧

23、拉公式 cossiniei将y1与y2分别改写为 12cossincossinxixxxixxye eexixye eexix由定理1知， 1211221cos21sin2xxyyyexyyyexi仍是方程(2)的解，这时 21sintancosxxyexxexy不是常数， 1212(2).yC yC y所以是方程的通解第35页/共51页1212cossincossinxxxyC exC exeCxCx即综上，求二阶常系数齐次线性微分方程通解的步骤如下： 第一步 写出方程的特征方程20;rprq第二步 求出特征方程的两个根r1及r2 ;第三步 根据特征根的不同情况，写出微分方程的通解 具体如下

24、： 第36页/共51页21,rr21rr xrxreCeCy2121rrr21rxexCCy21ir2, 1通解形式xCxCeyxsincos21特征方程的根120.yyy例求微分方程的通解解 特征方程为 220rr 特征根 121,2rr 第37页/共51页因此，方程的通解为 212.xxyC eC e240.yyy例求微分方程的通解解 特征方程为 24410rr 特征根 1212rr 因此，方程的通解为 1212xyCC x e3480yyy例求微分方程的通解.解 特征方程为 2480rr特征根为 122222riri于是方程的通解为 212cos2sin2xye CxCx第38页/共51

25、页 00412901,1xxyyyyy例求方程满足初始条件的特解.解 特征方程为 241290rr特征根 1232rr因此方程的通解为 3212xyCC x e01xy1由条件得,C =1,01,xy21由条件得, C =-2故所求特解为 3211.2xyx e三、二阶常系数非齐次线性微分方程的求解方法 第39页/共51页 (1)ypyqyf x设其中p,q为常数，f(x)0 它对应的齐次方程为： 0(2)ypyqy 1.xmf xPx e型 (5)xmypyqyPx e其中为常数，Pm(x)为x的m次多项式，即 110mmmmmPxa xaxa设想方程(5)有形如 ,xpyQ x e的解其中

26、Q(x)是一 个待定多项式 第40页/共51页 xpyQ x e将代入方程(5)，整理后得到： 22mQxp Qxpq Q xpx (6) 当2+p+q 0时，设 1011mmmmmQ xb xb xbxbQx(7) 其中b0,b1,bm 为m+1个待定系数 将式(7)代入式(6)，比较等式两边同次幂的系数，得到以b0,b1,bm为未知数的m+1个线性方程的联立方程组，从而求出b0,b1,bm，即确定Q(x)，于是可得方程(5)的一个特解为 xpyQ x e 当2+p+q=0且2+ p 0 时，(即为特征方程的单根) 第41页/共51页 那么式(6)成为 2mQp QPx由此可见，Q与Pm(x

27、)同次幂，故应设 mQ xxQx其中Q m(x)为m次待定多项式 将Q m(x)代入式(6) 确定Q m(x)的m+1个系数，从而得到方程(5)的一个特解： xpmyxQx e 当 2+p+q = 0 且2+ p =0 时，(即为特征方程的重根) 那么式(6)成为 mQPx 故应设 2mQ xx Qx第42页/共51页将它代入式(6)， 确定Q m(x)的系数所以方程(5)的一个特解为 2xpmyx Qx e综上所述，我们有如下结论：二阶常系数非齐次线性微分方程 xmypyqyPx e (5) 具有形如 kxpmyx Qx e的特解，其中Q m(x)为m 次多项式，k的确定如下： 012k，不

28、是特征根，是特征单根，是特征重根第43页/共51页 2.cossinxlnf xeP xxPxx型根据欧拉公式及前面分析的结果可以推出下面的结论（讨论过程从略）： cossinxlnf xeP xxPxx如果 :ypyqyf x则微分方程有如下形式的特解 cossinkxpmmyx eQxxRxx 其中 Q m(x)与R m(x) 均为m次多项式(m = maxl，n)，其系数待定，而01iki，当不是特征根，当是特征根5.yy例求微分方程的一个特解第44页/共51页解 原方程对应的齐次方程的特征方程为 20rr其特征根为 1201rr 00 xf xxe02xpyAxB xeAxBx令2,2ppyAxByA则代入原方程得 22AAxBx即22AxABx比较系数得： 1212201AAABB 第45页/共51页所以212pyxx3669.