容斥原理题库教师版.讲义

1、2010 年暑假.三年级.第 3讲.重叠问题 教师版 page 1 of 13 教学目标 1. 了解容斥原理二量重叠和三量重叠的内容； 2. 掌握容斥原理的在组合计数等各个方面的应用. 知识精讲 知识点说明 一、两量重叠问题 在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算求两个集合并集的元素的个数，不能简单地 把两个集合的元素个数相加，而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数，即减去交集的元素个 数，用式子可表示成： A B =A B A B（其中符号“ ”读作“并”，相当于中文“和”或者“或” 的意思；符号“ ”读作“交”，相当于中文“且”的意思.）则称这一公式为包含与排除原理，简称

2、容斥 原理图示如下：A表示小圆部分， B表示大圆部分， C 表示大圆与小圆的公共部分，记为： A B，即 阴影面积图示如下：A表示小圆部分，B表示大圆部分，C 表示大圆与小圆的公共部分，记为： A B, 即阴影面积. 进来，加在一起）； 第二步：从上面的和中减去交集的元素个数，即减去 C = A B（意思是“排除”了重复计算的元素个数 ）. 、三量重叠问题 A类、B类与 C 类元素个数的总和 二A类元素的个数类元素个数 C 类元素个数-既是A类又是B 类的元素个数 -既是B类又是 C 类的元素个数-既是A类又是 C 类的元素个数同时是A类、B类、 C 类 的元素个数.用符号表示为： A B C

3、=A，BC-A B-B C-A C A B C .图示如下：7-7 容斥原理 先包含 A-B 重叠部分 A B 计算了 2次，多加了 1次; 2 再排除A + BADB 把多加了 1 次的重叠部分 APlB 减去. 包含与排除原理告诉我们，要计算两个集合 A B 的并集 A B 的元素的个数，可分以下两步进行: 第一步：分别计算集合 A、B 的元素个数，然后加起来, 即先求A - B（意思是把 A B 的一切元素都“包含” 2010 年暑假.三年级.第 3讲.重叠问题 教师版 page 2 of 13 图中小圆表示 A的元素的个数，中圆表示 B的元素的个数, 大圆表示 C的元素的个数. 1.先

4、包含： 重叠部分 2再排除： 重叠部分 A BB C-A C 计算时都被减掉了. 再包含：A B C_A B_B C_A C A B C . 在解答有关包含排除问题时，我们常常利用圆圈图 （韦恩图）来帮助分析思考. 例题精讲 板块一、两量重叠问题 【例【例 1】 两张长4厘米，宽2厘米的长方形纸摆放成如图所示形状把它放在桌面上，覆盖面积有多少 平方厘米? 【解【解析】两个长方形如图摆放时出现了重叠 （见图中的阴影部分、），重叠部分恰好是边长为 2厘米的正方 形，如果利用两个4X2的长方形面积之和来计算被覆盖桌面的面积， 那么重叠部分在两个长方形 面积中各被计算了一次，而实际上这部分只需计算一次

5、就可以了所以，被覆盖面积 二长方形面 积之和-重叠部分.于是，被覆盖面积 =4 2 2 -2 2=12（平方厘米）. 【巩固】 把长 38 厘米和 53 厘米的两根铁条焊接成一根铁条已知焊接部分长 4厘米，焊接后这根铁条有 多长？ 【解【解析】因为焊接部分为两根铁条的重合部分，所以，由包含排除法知，焊接后这根铁条长 38 53 -4 =87（厘米）. 【巩固】 把长 23 厘米和 37 厘米的两根铁条焊接成一根铁条已知焊接部分长 3 厘米，焊接后这根铁条有 多长？ 【解【解析】 焊接部分为两根铁条的重合部分，由包含排除法知，焊接后这根铁条长： 23 3 57（厘米）. 【例【例 2】 实验小学

6、四年级二班， 参加语文兴趣小组的有 28 人，参加数学兴趣小组 的有 29 人，有12人两个小组都ABC A B、B C、C A 重叠了 2次，多加了 1次. ABC_A B_B C_A C ABC 重叠了 3 次，但是在进行 ABC- 2010 年暑假.三年级.第 3讲.重叠问题 教师版 page 3 of 13 参加. 这个班有多少人参加了语文或数学 兴趣小组？ 【解【解析】如图所示，A圆表示参加语文兴趣小组的人， B圆表示参加数学兴趣小组 的人，A与B重合的部分 C（阴影部分）表示同时参加两个小组的人. 图中 A圆不含阴影的部分表示只参加语文兴趣小组未参加数学兴趣小组的人， 有 28 -

7、12 =16（人）；图中B圆不含阴影的部分表示只参加数学兴趣小组未参加语文兴趣小组的 2010 年暑假.三年级.第 3讲.重叠问题 教师版 pagel的3 加少 赛的/ 人，有 29 _12 =17（人） 方法一：由此得到参加语文或数学兴趣小组的有: 方法二：根据包含排除法，直接可得： 参加语文或数学兴趣小组的人 =:参加语文兴趣小组的人 参加数学兴趣小组的人 一两个 小组都参加的人，即： 28 29 _12 =45 （人） 【巩固】 芳草地小学四年级有 58 人学钢琴，43 人学画画，37 人既学钢琴又学画画，问只学钢琴和只学 画画的分别有多少人？ 【解【解析】解包含与排除题，画图是一种很直

8、观、简捷的方法，可以帮助解决问题， 画图时注意把不同的对象与不同的区域对应清楚.建议教师帮助学生画 图分析，清楚的分析每一部分的含义. 如图，A圆表示学画画的人， B圆表示学钢琴的人， C 表示既学钢琴又 学画画的人，图中A圆不含阴影的部分表示只学画画的人，有： 43 -37 =6（人），图中B圆不含阴影的部分表示只学钢琴的人，有： 58 -37=21（人）. 一个班 48 人，完成作业的情况有三种：一种是完成语文作业没完成数学作业；一种是完成数学 作业没完成语文作业；一种是语文、数学作业都完成了 已知做完语文作业的有 37 人；做完数 学作业的有42人这些人中语文、数学作业都完成的有多少人？

9、 不妨用下图来表示： 蛊成数学柞业的人数蛊成数学柞业的人数 线段AB表示全班人数，线段 AC 表示做完语文作业的人数，线段 DB表示做完数学作业的人数, 重叠部分 DC 则表示语文、数学都做完的人数. 根据题意，做完语文作业的有 37 人，即 AC =37 做完数学作业的有 42人，即DB = 42 AC DB =37 42 =79 （人） . AB=48（人） . 式减式，就有 DC =79 -48 =31 （人） 所以，数学、语文作业都做完的有 31 人. 【巩固】 四年级科技活动组共有 63 人在一次剪贴汽车模型和装配飞机模型的定时科技活动比赛中，老 师到时清点发现：剪贴好一辆汽车模型的

10、同学有 42人，装配好一架飞机模型的同学有 34 人每 个同学都至少完成了一项活动问：同时完成这两项活动的同学有多少人？ 【解析】因 42 *34 =76 , 76 63，所以必有人同时完成了这两项活动由于每个同学都至少完成了一项 活动，根据包含排除法知， 42 *34-（完成了两项活动的人数）=全组人数，即 76-（完成了两项 活动的人数）=63 由减法运算法则知，完成两项活动的人数为 76 -63 =13（人）.也可画图分析. 【巩固】 实验二校一个歌舞表演队里，能表演独唱的有 10 人，能表演跳舞的有 18 人，两种都能表演的 有 7 人这个表演队共有多少人能登台表演歌舞？ 【解析】根据

11、包含排除法，这个表演队能登台表演歌舞的人数为： 10 ,18-7=21（人） 【巩固】 某班组织象棋和军棋比赛，参加象棋比赛的有 32 人，参加军棋比赛的有 28 人，有 18 人两项比赛 都参加了，这个班参加棋类比赛的共有多少人？ 【解析】如图，A圆表示参加象棋比赛的人， B圆表示参加军棋比赛的人， A与 - B重合的部分表示同时参加两项比赛的人.图中 A圆不含阴影的部分表 只参;两项 只参 16 12 17 =45（人） 【例【例 3】 【解析】 A C B C /加象/比赛、加军 示只参加象棋比赛不参加军棋比赛的人， 有 32 _18 =14 （人）；图中B圆不含阴影的部分表示只参 加军

12、棋比赛不参加象棋比赛的人，有 28 _18 =10 （人）.由此得到参加棋类比赛的人有 14 18 10 =42 （人）. 或者根据包含排除法直接得： 32 28 _18 =42（人）. 【例【例 4】（第二届小学迎春杯数学竞赛 ）有 100 位旅客，其中有 10 人既不懂英语又不懂俄语，有 75 人懂英 语，83人懂俄语问既懂英语又懂俄语的有多少人？ 【解【解析】方法一：在 100 人中懂英语或俄语的有： 10010=90（人）.又因为有 75 人懂英语，所以只懂俄 语的有：90 _75 =15（人）.从 83 位懂俄语的旅客中除去只懂俄语的人，剩下的 83 _15 =68 （人）就是既懂英

13、语又懂俄语的旅客. 方法二：学会把公式进行适当的变换，由包含与排除原理，得： A B=A B-A B=75 83 -90 =68（人）. 【巩固】47 名学生参加数学和语文考试，其中语文得分 95 分以上的14人，数学得分 95 分以上的21人， 两门都不在 95 分以上的有22人.问：两门都在 95 分以上的有多少人？ 【解【解析】如图，用长方形表示这 47 名学生，A圆表示语文得分 95 分以上的人 数，B圆表示数学得 95 分以上的人数， A与B重合的部分表示两门 都在 95 分以上的人数，长方形内两圆外的部分表示两门都不在 95 分 以上的人数. 由图中可以看出，全体人数是至少一门在

14、95 分以上的人数与两门都 不在 95 分以上的人数之和，则至少一门在 95 分以上的人数为： 47 -22 =25 （人）根据包含排除法，两门都在 95 分以上的人数为： 14 21 -25 =10（人）. 【巩固】 某班共有 46 人，参加美术小组的有12人，参加音乐小组的有 23 人，有 5 人两个小组都参加了. 这 个班既没参加美术小组也没参加音乐小组的有多少人？ 【解【解析】已知全班总人数，从反面思考，找出参加美术或音乐小组的人数，只需用全班总人数减去这个人 数，就得到既没参加美术小组也没参加音乐小组的人数.根据包含排除法知， 该班至少参加了一 个小组的总人数为 12 23 -5 =

15、30 （人）.所以，该班未参加美术或音乐小组的人数是 46 -30 =16（人）. 【巩固】四年级一班有 45 人，其中 26 人参加了数学竞赛， 22人参加了作文比赛，12人两项比赛都参加 了.一班有多少人两项比赛都没有参加？ 【解【解析】由包含排除法可知，至少参加一项比赛的人数是： 26 22 -12 =36 （人），所以，两项比赛都没有 参加的人数为：45 -36 = 9 （人）. 【巩固】 某次英语考试由两部分组成， 结果全班有12人得满分，第一部分有 25 人做对，第二部分有 19 人 有错，问两部分都有错的有多少人？ 【解【解析】如图，用长方形表示参加考试的人数， A圆表示第一部分

16、对的人 数.B圆表示第二部分对的人数， 长方形中阴影部分表示两部分都有 错的人数. 已知第一部分对的有 25 人，全对的有12人，可知只对第一部分的有： 25 -12 =13（人）.又因为第二部分有 19 人有错，其中第一部分对第 二部分有错的有 13 人，那么余下的 19-13=6（人）必是第一部分和第 二部分均有错的，两部分都有错的有 6 人. 【巩固】 对全班同学调查发现，会游泳的有 20 人，会打篮球的有 25 人.两项 2010 年暑假.三年级.第 3讲.重叠问题 教师版 page 7 of 13 【解【解析】如图，用长方形表示全班人数， A圆表示会游泳的人数， B圆表示会打篮球的人

17、数，长方形中阴 影部分表示两项都不会的人数. 由图中可以看出，全班人数 二至少会一项的人数 两项都不会的人数，至少会一项的人数为： 20 25 -10 =35（人），全班人数为：35 9 =44 （人）. 【例【例 5】 在 46 人参加的采摘活动中，只采了樱桃的有 18 人，既采了樱桃又采了杏的有 7 人，既没采樱桃 又没采杏的有 6 人，问：只采了杏的有多少人？ 【解【解析】如图，用长方形表示全体采摘人员 46 人，A圆表示采了樱桃的 人数，B圆表示采了杏的人数. 长方形中阴影部分表示既没采樱 桃又没采杏的人数. 由图中可以看出，全体人员是至少采了一种的人数与两种都没采 的人数之和，则至少

18、采了一种的人数为： 46 _6 =40（人），而至 少采了一种的人数=:只采了樱桃的人数 两种都采了的人数 只采了杏的人数，所以，只采了杏的人数为： 40 _18 7 =15（人）. 【例【例 6】甲、乙、丙三个小组学雷锋，为学校擦玻璃，其中 68 块玻璃不是甲组擦的， 52 块玻璃不是乙组 擦的，且甲组与乙组一共擦了 60 块玻璃那么，甲、乙、丙三个小组各擦了多少块玻璃？ 【解【解析】68 块玻璃不是甲组擦的，说明这 68 块玻璃是乙、丙两组擦的； 52 块玻璃不是乙组擦的，说明这 52 块玻璃是甲、丙两组擦的. 如图，用圆A表示乙、丙两组擦的 68 块玻璃，B圆表示甲、丙两组擦的 52 块

19、玻璃.因甲乙两组 共擦了 60块玻璃，那么 68 52 60 =60（块），这是两个丙组擦的玻璃数. 60 “ 2 = 30 （块）.丙组 擦了 30 块玻璃.乙组擦了： 68 -30 =38 （块）玻璃，甲组擦了： 52 30 =22 （块）玻璃. 【巩固】 育才小学画展上展出了许多幅画，其中有 16 幅画不是六年级的，有 15 幅画不是五年级的，五、 六年级共展出 25 幅画，其他年级的画共有多少幅？ 【解【解析】 通过 16 幅画不是六年级的可以知道， 五年级和其他年级的画作数量之和是 16,通过 15 幅画不是 五年级的可以知道六年级和其他年级的画作数量之和是 15,那也就是说五年级的

20、画比六年级多 1 幅，我们还知道五、六年级共展出 25 幅画，进而可以求出五年级画作有 13 幅，六年级画作有 12 幅，那么久可以求出其他年级的画作共有 3 幅. 【例【例 7】一次数学测验，甲答错题目总数的1，乙答错 3 道题，两人都答错的题目是题目总数的 J。求甲、 4 6 乙都答对的题目数 a +c （1） 4 【解【解析】（法一）设共有 n道题。由右图知 d 即为所求，并有关系式c+b=3（2） n c = ；（3） L. 6 由知,n是 4 和 6 的公倍数，即 12 的倍数。将代入，有 b = 3 , 6 由于 b 是非负整数，所以 n=12,由此求出 c=2, b=1, a=1

21、.又由 a+b+c+d=n,得到 d=n- （a+b+c）=8 （法二）显然两人都答错的题目不多于 3 道，所以题目总数只可能是 6、12、18,其中只有 12,能 使甲答错题目总数是整数2010 年暑假.三年级.第 3讲.重叠问题 教师版 page 8 of 13 【例【例 8】 在 1100 的全部自然数中，不是 3 的倍数也不是 5 的倍数的数有多少个？ 【解【解析】如图，用长方形表示 1100的全部自然数， A圆表示 1100 中 3 的倍数， B圆表示 1100 中 5 的倍数，长方形内两圆外的部分表示既不是 3 的倍数 也不是5 的倍数的数. 由 100 “3 =33 1 可知，1

22、 100 中 3 的倍数有 33 个；由 100-：-5 =20 可知, 1 100中 5 的倍数有 20 个；由 100 - (3 5=6 10 可知，1100 既是 3 的 倍数又是 5 的倍数的数有 6 个. 由包含排除法， 3或5的倍数有： 33 -20 6 =47(个).从而不是3的倍数也不是5的倍数的数有 100 -47 =53(个). 【巩固】 在从 1 至 1000 的自然数中，既不能被 5 除尽，又不能被 7 除尽的数有多少个？ 【解【解析】11000 之间，5 的倍数有1000 =200 个，7 的倍数有1000 =142 个，因为既是 5 的倍数，又 1 5 7 是 7

23、的倍数的数一定是 35 的倍数，所以这样的数有 1000 =28 个. 1 35 所以既不能被 5 除尽，又不能被 7 除尽的数有 1000-200-142+-28=686 个. 【巩固】 求在 1 至 100 的自然数中能被 3 或 7 整除的数的个数。 【解【解析】记 A : 1100 中 3 的倍数，1003=33 . 1，有 33 个； B: 1100 中 7 的倍数，10 7 = M . 2，有 14 个； A B : 1100 中 3 和 7 的公倍数，即 21 的倍数，10 21=:416，有 4 个。 依据公式，1100 中 3 的倍数或 7 的倍数共有33T4-4=43个，则

24、能被 3 或 7 整除的数的个数 为 43 个. 【巩固】50 名同学面向老师站成一行老师先让大家从左至右按 1, 2, 3，49, 50 依次报数；再让 报数是 4 的倍数的同学向后转，接着又让报数是 6 的倍数的同学向后转.问：现在面向老师的 同学还有多少名？ 【解【解析】在转过两次后，面向老师的同学分成两类： 第一类是标号既不是 4 的倍数，又不是 6 的倍数；第二类是标号既是 4 的倍数又是 6 的倍数. 150 之间，4 的倍数有50 =12,6 的倍数有50 =8,即是 4 的倍数又是 6 的倍数的数 IL 4 . IL6 一定是 12 的倍数，所以有50 =4.于是，第一类同学有

25、 50-12-8+4=34 人，第二类同学 |_12 有 4 人，所以现在共有 34+4=38 名同学面向老师. 【巩固】 在游艺会上，有 100 名同学抽到了标签分别为 1 至 100 的奖券按奖券标签号发放奖品的规则 如下： (1) 标签号为 2 的倍数，奖 2 支铅笔； (2) 标签号为 3 的倍数，奖 3 支铅笔； (3) 标签号既是 2 的倍数，又是 3 的倍数可重复领奖；2010 年暑假.三年级.第 3讲.重叠问题 教师版 page 9 of 13 (4) 其他标签号均奖 1 支铅笔. 那么游艺会为该项活动准备的奖品铅笔共有多少支 ？ 【解【解析】1100, 2 的倍数有 I00

26、=50, 3 的倍数有=33 个，因为既是 2 的倍数，又是 3 的倍数的 2 3 数一定是 6 的倍数，所以标签为这样的数有 型 =16 个于是，既不是 2 的倍数，又不是 3 的 16 倍数的数在 1100 中有 100-50-33+16=33 .所以，游艺会为该项活动准备的奖品铅笔共有： 50 X 2+33X 3+33X 1=232 支. 板块二、三量重叠问题 【例例 9】 某班学生手中分别拿红、黄、蓝三种颜色的小旗，已知手中有红旗的共有 共有 26 人，手中有蓝旗的共有 18 人.其中手中有红、黄、蓝三种小旗的有 6 人.而手中只有红、 黄两种小旗的有 9 人，手中只有黄、蓝两种小旗的

27、有 4人，手中只有红、蓝两种小旗的有 3 人, 那么这个班共有多少人？ 【解【解析】如图，用A圆表示手中有红旗的， B圆表示手中有黄旗的， C 圆表示手中 有蓝旗的.如果用手中有红旗的、有黄旗的与有蓝旗的相加，发现手中只 有红、黄两种小旗的各重复计算了一次，应减去，手中有三种颜色小旗的 重复计算了二次，也应减去，那么，全班人数为：(34 26 18)(9 4 3 - 6 2 =50(人). 【巩固】 某班有42人，其中 26 人爱打篮球，17 人爱打排球，19 人爱踢足球，9 人既爱打篮球又爱踢足球， 4人既爱打排球又爱踢足球，没有一个人三种球都爱好，也没有一个人三种球都不爱好.问：既 爱打篮

28、球又爱打排球的有几人？ 【解【解析】由于全班42人没有一个人三种球都不爱好，所以全班至少爱好一种球的有 42人.根据包含排除 法，42 =(26 17 19)(9 4 -既爱打篮球又爱打排球的人数 ) 0 ,得到既爱打篮球又爱打排球 的人数为：49 -42 =7 (人). 【例【例 10】四年级一班有 46 名学生参加 3 项课外活动.其中有 24 人参加了数学小组，20 人参加了语文小 组，参加文艺小组的人数是既参加数学小组也参加文艺小组人数的 3. 5 倍，又是 3 项活动都参 加人数的 7 倍，既参加文艺小组也参加语文小组的人数相当于 3 项都参加的人数的 2 倍，既参 加数学小组又参加

29、语文小组的有 10 人.求参加文艺小组的人数. 【解【解析】设参加数学小组的学生组成集合 A,参加语文小组的学生组成集合 B,参加文艺小组的学生组成 集合 G.三者都参加的学生有 z 人.有 A B C =46, |A =24, |耳=20 , |C =3.5 , |AC|=7 AWICI , |C=2C, |A1B|=10. 因为 AUBUC =|A +|B + C AB A“C B “C BC , 所以 46=24+20+7x-10-2x-2x+x，解得 x=3, 即三者的都参加的有 3 人.那么参加文艺小组的有 3 7=21 人. 【巩固】 五年级三班学生参加课外兴趣小组，每人至少参加一

30、项.其中有 25 人 . 参加自然兴趣小组，35 人参加美术兴趣小组，27 人参加语文兴趣小组， A 参加语文同时又参加美术兴趣小组的有 12 人，参加自然同时又参加美 术兴趣小组的有 8 人，参加自然同时又参加语文兴趣小组的有 9 人，语 文、美术、自然 3 科兴趣小组都参加的有 4 人.求这个班的学生人数. 34 人，手中有黄旗的 2010 年暑假.三年级.第 3讲.重叠问题 教师版 page 10 of 13 【解【解析】设参加自然兴趣小组的人组成集合 A,参加美术兴趣小组的人组成集合日，参加语文兴趣小组的2010 年暑假.三年级.第 3讲.重叠问题 教师版 page 11 of 13

31、人组成集合 C. |A=25, |B =35, C=27, |BPlC|=12, |ACl B| =8 , |Mlq=9, |APlB0C =4. |AUBUC|= A +|B + C APlB AC Biq +|A 门 BC . 所以，这个班中至少参加一项活动的人有 25+35+27-12-8-9+4=62，而这个班每人至少参加一项.即 这个班有 62 人. 【巩固】 五年级三班有 46 名学生参加三项课外活动，其中 24 人参加了绘画小组，20 人参加了合唱 小组，参加朗诵小组的人数是既参加绘画小组又参加朗诵小组人数的 3.5 倍，又是三项活 动都参加人数的 7 倍，既参加朗诵小组又参加合

32、唱小组的人数相当于三项都参加人数的 2 倍，既参加绘画小组又参加合唱小组的有 10 人，求参加朗诵小组的人数。 【解【解析】 设三项都参加的人数有 X 人，则参加朗诵小组的人数为 7X 人，参加绘画小组又参加朗诵小组的 人数为 2X 人，参加朗诵小组又参加合唱小组的人数为 2X 人，于是有 46= （24+20+7X- 2X-2X-10+X ），解得 X=3,所以参加朗诵小组的人数为 21 人。 【例【例 11】三个面积均为 50 平方厘米的圆纸片放在桌面上 （如图），三个纸片共同重叠 的面积是 10 平方厘米三个纸片盖住桌面的总面积是 100 厘米问：图中阴 影部分面积之和是多少？ 【解【解

33、析】将图中的三个圆标上 A、B、C .根据包含排除法，三个纸片盖住桌面的总 面积=（A圆面积 B圆面积 C 圆面积）-（A与B重合部分面积 A与 C 重 合部分面积 与 C 重合部分面积 ）三个纸片共同重叠的面积，得： 100 =（50 50 50 -（ A 与B重合部分面积 A与 C 重合部分面积 B与 C 重合部分面积）70，得 到A、B、C三个圆两两重合面积之和为： 160 100 =60 平方厘米，而这个面积对应于圆上的那 三个纸片共同重叠的面积的三倍与阴影部分面积的和， 即: 60 =10 3 阴影部分面积，则阴影部 分面积为： 60 -30 =30 （平方厘米）. 如图，已知甲、乙

34、、丙 3 个圆的面积均为 30,甲与乙、乙与丙、甲与丙重合部 分的面积分别为 6, 8, 5，而3 个圆覆盖的总面积为 73.求阴影部分的面积. 设甲圆组成集合 A,乙圆组成集合 B,丙圆组成集合 C. A = B=C =30, |AaB|=6, |BGC|=8, |AGC|=5, I AUBUC|=73, 而|AUBUC|= A+|B C |AQB|Bnq|Anq+|An BC . 有 73=30 x 3-6-8-5+ |A“B “C，即|A“ B“q=2,即甲、乙、丙三者的公共面积 为 2.那么只是甲与乙（），乙与丙（），甲与丙（）的公共的面积依次为 6-2=4 , 8-2=6 , 5-2

35、=3 , 所以有阴影部分（、部分之和）的面积为 73-4-6-3-2=58 【例【例 12】如图，三角形纸板、正方形纸板、圆形纸板的面积相等， 都等于 60 平方厘米. 影部分的面积总和是 40 平方厘米，3 张板盖住的总面积是 100 平方厘米， 纸板重叠部分的面积是多少平方厘米？ 【解【解析】阴影部分是有两块重叠的部分，被计算两次，而三张纸重叠部分是被计算了三 次所以三张纸重叠部分的面积 （60 3 -100 -40）。2 =20（平方厘米）. 【巩固】如图所示，A、B、C 分别是面积为12、28、16 的三张不同形状的纸片，它们重叠在一起，露 在外面的总面积为 38 若A与B、B与 C

36、的公共部分的面积分别为 8、7 , A、B、C 这三张 纸片的公共部分为 3 求A与 C 公共部分的面积是多少？ 设A与 C 公共部分的面积为 x，由包含与排除原理可得： 先“包含”：把图形 A、B、C 的面积相加：12 28 76=56，那么【巩固】 【解析】 B A 10 C （部分面积） 2010 年暑假.三年级.第 3讲.重叠问题 教师版 page 12 of 13 每两个图形的公共部分的面积都重复计算了 1次，因此要排除掉. 再“排除”：56_8_7_x，这样一来，三个图形的公共部分被全部减掉，因此还要再补回. 再“包含”：56_8_7_x，这就是三张纸片覆盖的面积. 根据上面的分析

37、得： 56_8_7_x3 38,解得：x=6. 【例【例 13】在某个风和日丽的日子，10 个同学相约去野餐， 每个人都带了吃的， 其中 6 个人带了汉堡，6 个 人带了鸡腿，4个人带了芝士蛋糕，有 3 个人既带了汉堡又带了鸡腿， 1个人既带了鸡腿又带了 芝士蛋糕.2个人既带了汉堡又带了芝土蛋糕问： 三种都带了的有几人？ 只带了一种的有几个？ 【解【解析】如图，用A圆表示带汉堡的人， B圆表示带鸡腿的人， C 圆表示带芝士 蛋糕的人. 根据包含排除法，总人数（带汉堡的人数带鸡腿的人数带芝士蛋 糕的人数）一（带汉堡、鸡腿的人数 带汉堡、芝士蛋糕的人数 带鸡 腿、芝士蛋糕的人数）三种都带了的人数，

38、即 10 （6 6 -4 -（3 2 -1 三种都带了的人数，得三种都带了的人数 为：1010=0（人）. 求只带一种的人数，只需从 10 人中减去带了两种的人数，即 10 -（321 = 4（人）.只带了 一种的有4人. 【巩固】盛夏的一天，有 10 个同学去冷饮店，向服务员交了一份需要冷饮的统计表：要可乐、雪碧、橙 汁的各有 5 人；可乐、雪碧都要的有 3 人；可乐、橙汁都要的有 2人；雪碧、橙汁都要的有 2人; 三样都要的只有1人，证明其中一定有1人这三种饮料都没有要. 【解【解析】根据根据包含排除法，至少要了一种饮料的人数 =（要可乐的人数要雪碧的人数要橙汁的人 数）_（要可乐、雪碧的

39、人数要可乐、橙汁的人数要雪碧、橙汁的人数）三种都要的人数，即 至少要了一种饮料的人数为： （5 -5 -5）（3 2 2 7=9（人）.10-9=1（人），所以其中有1人 这三种饮料都没有要. 【例【例 14】（2008 年西城实验考题）新年联欢会上，共有 90 人参加了跳舞、合唱、演奏三种节目的演出. 如 果只参加跳舞的人数三倍于只参加合唱的人数；同时参加三种节目的人比只参加合唱的人少 7 人；只参加演奏的比同时参加演奏、跳舞但没有参加合唱的人多 4 人；50 人没有参加演奏；10 人同时参加了跳舞和合唱但没有参加演奏； 40 人参加了合唱；那么，同时参加了演奏、合唱但 没有参加跳舞的有 _

40、 人. 【巩固】设只参加合唱的有x人，那么只参加跳舞的人数为 3x，由 50 人没有参加演奏、10 人同时参加了 跳舞和合唱但没有参加演奏，得到只参加合唱的和只参加跳舞的人数和为 50-10=40 人，即 x 3x =40，得 x =10，所以只参加合唱的有 10 人，那么只参加跳舞的人数为 30 人，又由“同 时参加三种节目的人比只参加合唱的人少 7 人”，得到同时参加三项的有 3 人，所以参加了合唱 的人中“同时参加了演奏、合唱但没有参加跳舞的”有： 40-10-10-3=17 人. 【巩固】 五一班有 28 位同学，每人至少参加数学、语文、自然课外小组中的一个。其中仅参加数学与语 文小组

41、的人数等于仅参加数学小组的人数，没有同学仅参加语文或仅参加自然小组，恰有 6 个 同学参加数学与自然小组但不参加语文小组，仅参加语文与自然小组的人数是 3 个小组全参加 的人数的 5 倍，并且知道 3 个小组全参加的人数是一个不为 0 的偶数，那么仅参加数学和语文 小组的人有多少人？ 【解【解析】 参加 3 个小组的人数是一个不为 0 的偶数，如果该数大于或等于 4,那么仅参加语文与自然 小组的人数则大于等于 20,而仅参加数学与自然小组的人有 6 个，这样至少应有 30 人，与 题意矛盾，所以参加 3 个小组的人数为 2。仅参加语文与自然小组的人数为 10,于是仅参加 语文与自然、仅参加数学

42、与自然和参加 3 个小组的人数一共是 18 人，剩下的 10 人是仅参加2010 年暑假.三年级.第 3讲.重叠问题 教师版 page 13 of 13 数学与语文以及仅参加数学的。由于这两个人数相等，所以仅参加数学和语文小组的有 人。 【巩固】 某学校派出若干名学生参加体育竞技比赛，比赛一共只有三个项目，已知参加长跑、跳高、标 枪三个项目的人数分别为 10、15、20 人，长跑、跳高、标枪每一项的的参加选手中人中都有五 分之一的人还参加了别的比赛项目，求这所学校一共派出多少人参加比赛？ 【解【解析】由条件可知，参加长跑的人中有 2 人参加其它项目，参加跳高的人中有 3 人体 参加其它项目，参

43、加标枪的人中有 4 人还参加别的项目，假设只参加长跑和 跳高的人数为 x，只参加长跑和标枪的人数为 y,只参加标枪和跳高的有 z 人， 三项都参加的有 n人.那么有以下方程组： 由条件可知，参加长跑的人中有 2 人参加其它项目，参加跳高的人中有 3 人 参加其它项目，参加标枪的人中有 4 人还参加别的项目，假设只参加长跑和跳高的人数为 x，只 参加长跑和标枪的人数为 y，只参加标枪和跳高的有 z 人，三项都参加的有 n人.那么有以下方程 组： Jx y n i y x z n z y n 将 3 条等式相加则有 2（x+y+z）+3n=9，由这个等式可以得到， n必须是奇数，所以，n只能是 1

44、 或 3、5、7 . ，如果 n3 时 x、y、z 中会出现负数.所以 n=1,这样可以求得 x=0, y=1, z=2. 由此可得到这个学校一共派出了 10+15+20-0-1-2-2 X 仁 40 人. 将 3 条等式相加则有 2 （x+y+z ） +3n=9,由这个等式可以得到， n必须是奇数，所以，n只能是 1 或 3、5、7 . ，如果 n3 时 x、y、z 中会出现负数.所以 n=1,这样可以求得 x=0, y=1 , z=2. 由此可得到这个学校一共派出了 10+15+20-0-1-2-2 X 仁 40 人. 【例【例 15】全班有 25 个学生，其中 17 人会骑自行车，13

45、人会游泳，8 人会滑冰，这三个运动项目没有人全 会，至少会这三项运动之一的学生数学成绩都及格了，但又都不是优秀若全班有 6 个人数学 不及格，那么， 数学成绩优秀的有几个学生？ 有几个人既会游泳，又会滑冰？ 【解【解析】 有 6 个数学不及格，那么及格的有： 25-6=19（人），即最多不会超过 19 人会这三项运动之 一.而又因为没人全会这三项运动，那么，最少也会有： （17 13 8） 2=19（人）至少会这三 项运动之一于是，至少会三项运动之一的只能是 19 人，而这 19 人又不是优秀，说明全班 25 人中除了 19 人外，剩下的 6 名不及格，所以没有数学成绩优秀的. 上面分析可知，

46、及格的 19 人中，每人都会两项运动：会骑车的一定有一部分会游泳，一部分 会滑冰；会游泳的人中若不会骑车就一定会滑冰，而会滑冰的人中若不会骑车就一定会游泳， 但既会游泳又会滑冰的人一定不会骑自行车. 所以，全班有 19-17=2（人）既会游泳又会滑冰. 【巩固】 五年级一班共有 36 人，每人参加一个兴趣小组，共有 A、B、C、D、E五个小组，若参加 A 组的有 15 人，参加B组的人数仅次于 A组，参加 C 组、D组的人数相同，参加E组的人数最少， 只有4人.那么，参加 B组的有 _ 人. 【解【解析】 参加B , C , D三组的总人数是 36-15-4=17（人），C , D每组至少 5

47、 人，当 C , D每组 6 人 时，B组为5 人，不符合题意，所以参加 B组的有 17-5-5=7（人）. 【例【例 16】以 105 为分母的最简真分数共有多少个？它们的和为多少？ 【解解析】 以 105 为分母的最简真分数的分子与 105 互质，105=3X 5X 7,所以也是求 1 到 105 不是 3、5、7育 55 人 17文艺 56 人 科学 51 人 =2 -3 =4 2010 年暑假.三年级.第 3讲.重叠问题 教师版 page 14 of 13 倍数的数有多少个，3 的倍数有 35 个，5 的倍数有 21 个，7 的倍数有 15 个，15 的倍数有 7 个， 21 的倍数有

48、5 个，35 的倍数有 3 个，105 的倍数有 1 个，所以 105 以内与 105 互质的数有 105-35-21-15+7+5+3-仁 48 个，显然如果 n与 105 互质，那么（105-n ）与 n互质，所以以 105 为分母的 48 个最简真分数可两个两个凑成 1,所以它们的和为 24. 【巩固】 分母是 385 的最简真分数有多少个？并求这些真分数的和 【解【解析】385=5X 7 X 11,不超过 385 的正整数中被 5 整除的数有 77 个；被 7 整除的数有 55 个；被 11 整 除的数有 35个；被 77 整除的数有 5 个；被 35 整除的数有 11 个；被 55

49、整除的数有 7 个；被 385 整除的数有 1 个；最简真分数的分子可以有 385-77-55-35+5+11+7-仁 240.对于某个分数 a/385 如果是最简真分数的话，那么（ 385-a ） /385 也是最简真分数，所以最简真分数可以每两个凑成 整数 1,所以这些真分数的和为 120. 【例【例 17】（2008 年西城实验考题）在 1 至 2008 这 2008 个自然数中，恰好是 3、5、7 中两个数的倍数的 数共有 个. 【解【解析】1 到 2008 这 2008 个自然数中，3 和 5 的倍数有 3 和 7 的倍数有 IL 15 IL 21 5 和 7 的倍数有 2008 =

50、57 个，3、5 和 7 的倍数有 =19 个.所以，恰好是 3、5、7 中两 IL 35 . IL105 个数的倍数的共有 133 -19 - 95 -19 - 57 _19 =228 个. 【巩固】 有 2000 盏亮着的电灯，各有一个拉线开关控制着，现按其顺序编号为 1， 2，3，2000，然后将编号为 2 的倍数的灯线拉一下，再将编号为 3 的 倍数的灯线拉一下，最后将编号为 5 的倍数的灯线拉一下，三次拉完后， 亮着的灯有多少盏？ 【解【解析】 三次拉完后，亮着的灯包括不是 2、3、5 的倍数的数以及是 6、10、15 的 倍数但不是 30 的倍数的数。12000 这 2000 个正

51、整数中，2 的倍数有 1000 个，3 的倍数有 666 个，5 的倍数有 400 个，6 的倍数有 333 个，10 的倍数 有 200 个， 15 的倍数有 133 个， 30 的倍数有 66 个， 亮着的灯一共有 2000-1000-666-400+2 X （333+200+133） -4 X 66=1002 盏。 个？ 、亠符号一样，也是一种运算，叫取整运算. 本题中，先求出能被 2 整除的数有多少个，再分别求出能被 2 和 3、能被 2 和 7 分别整除的数的个数，那么用能被 2 整除的数的个数减去能被 2 和 3 整除的数的个数，再减去能被 2 和 7 整除的 数的个数，所得的差是

52、不是所求的得数呢？仔细想想你会发现不是的， 因为它多减了能同时被 2、 3、7 整除的数. 故能被 2 整除的有：19982=999（个）. 能被 2 和 3 同时整除的有：1998 -（2 3 =333 （个）. 能被 2 和 7 同时整除的有：1998 -（2 7 =142 . 能被 2、3、7 同时整除的有：1998 （2 3 7） =47（个）. 【巩固】 在从 1 到 1998 的自然数中，能被 2 整除，但不能被 3 或 7 整除的数有多少 【解【解析】 a表示取商的整数部分. 例如，:=3 .要注意的是，符号 2010 年暑假.三年级.第 3讲.重叠问题 教师版 page 15

53、of 13 所以，能被 2 整除，但不能被 3 或 7 整除的数有 999-333 -142 *7=571（个）.6 课后练习 练习 1. 一个长方形长12厘米，宽 8 厘米，另一个长方形长 10 厘米，宽 6 厘米，它们中间重叠的部分是 个边长4厘米的正方形，求这个组合图形的面积. 【解【解析】两个长方形如图摆放时出现了重叠 （见图中的阴影部分），重叠部分恰好 是边长为4厘米的正方形，如果利用两个长方形面积之和来计算被覆盖 桌面的面积，那么重叠部分在两个长方形面积中各被计算了一次， 而实 际上这部分只需计算一次就可以了. 所以，组合图形的面积 二长方形面 积之和一重叠部分.于是，组合图形的面

54、积 =12 8 10 6 _4 4 =140 （平方厘米）. 练习 2.科技活动小组有 55 人在一次制作飞机模型和制作舰艇模型的定时科技活动比赛中，老师到时 清点发现：制作好一架飞机模型的同学有 40 人，制作好一艘舰艇的同学 有 32 人每个同学都至少完成了一项制作问两项制作都完成的同学有 多少人？ 【解析】因为 4032 =72 , 72 55，所以必有人两项制作都完成了 由于每个同 学都至少完成了一项制作， 根据包含排除法可知：全组人数=40+32 完 成了两项制作的人数，即 55 =72 完成了两项制作的人数.所以，完成了两项制作的人数为: 72 -55 =17（人）. 练习 3.在前 100 个自然数中，能被 2或 3 整除的数有多少个？ 【解析】如图所示，A圆内是前 100 个自然数中所有能被 2整除的数，B圆内是前 100 个自然数中所有能 被 3 整除的数，C 为前 100 个自