三角函数复习教案整理

1、三角函数复习教案【知识网络】应用学法：1 注重化归思想的运用如将任意角的三角函数值的问题化归为锐角的三角函数的问 题，将不同名的三角函数问题化成同名的三角函数的问题，将不同角的三角函数问题化成同角的三角函数问题等2注意数形结合思想的运用如讨论函数性质等问题时，要结合函数图象思考，便易 找出解题思路和问题答案.第1课三角函数的概念考试注意：理解任意角的概念、 弧度的意义.能正确地进行弧度与角度的换算.掌握终边相同角的表示方法.掌握任意角的正弦、余弦、正切的意义了解余切、正割、余割的定义.掌握三角函数的符号法则.知识典例：1. 角a的终边在第一、三象限的角平分线上，角a的集合可写成2 已知角a的余

2、弦线是单位长度的有向线段，那么角 a的终边（）A .在x轴上 B.在y轴上C.在直线y=x上D .在直线y= x上3 .已知角a的终边过点 p（ 5, 12），贝y cos a , tana = .4. tan°t5的符号为 .cos85. 若 cos0 tan B >0,则 B 是（）A.第一象限角B.第二象限角C.第一、二象限角D.第二、三象限角【讲练平台】例1已知角的终边上一点P ( .'3, m),且sin0 = m,求cos 0与tan 0的4值.分析已知角的终边上点的坐标，求角的三角函数值，应联想到运用三角函数的定义解题，由P的坐标可知，需求出解由题意知r=

3、钳3 + m2m的值，从而应寻求 m的方程.一.mm2 .，则 sinB =7m _ <3 + m21 , tan 0 =0 ;当 m= J5 时，cos 0 = -, tan0 =又 sin0 =知,当 m=0 时，cos 0 =m ./ m=0, m= ± J 5 .当m= 待5时,晶JT5cos 0 = , tan 0 =4 3点评已知一个角的终边上一点的坐标，求其三角函数值，往往运用定义法(三角函数的定义)解决.例 2 已知集合 E= 0 | cos 0 v sin 0 , 0 < 0 < 2 n , F= 0 | tan 0 v sin 0 ，求集 合 E

4、A F.分析 对于三角不等式，可运用三角函数线解之.n5 nn3 n解 E= 0 | v 0 V , F = 0 | v 0 V n，或 2 v 0 V 2 n , EA F= 0,n、石v0 vn.第3页共31页第#页共31页例3 设0是第二象限角，且满足| sin01= sin0,0是哪个象限的角？2 2 2n3 n解 T0 是第二象限角， 2k n + v 0 v 2k n +, k Z.2 2n 0|3 n .k n + v v k n +, k Z .4 24- 是第一象限或第三象限角.又sin01=20-sin2， sin0v 0.00是第三、第四象限的角.2由、知，0是第三象限角

5、.点评 已知0所在的象限，求 才或20等所在的象限，要运用终边相同的角的表示法 来表示，否则易出错.【知能集成】注意运用终边相同的角的表示方法表示有关象限角等；已知角的终边上一点的坐标， 求三角函数值往往运用定义法；注意运用三角函数线解决有关三角不等式.【训练反馈】a1 .已知a是钝角，那么是()A.第一象限角B.第二象限角C.第一与第二象限角D.不小于直角的正角2. 角a的终边过点 P ( 4k, 3k) (kv 0，贝U cos a的值是()4 - 5B.第5页共31页第#页共31页3.已知点P(sina -cos a , tan a )在第象限，则在(),2n 内，a的取值范围是()n3

6、n5 nnn5 nA.(,4-)U ( n ,)B.(,-7)U ( n ,4)244n3n5 n 3 nnn3 nC.(T，4) U (4，2)D. ( 7，2)U (4n )jtLI * 4 .右 sinx=35，4cosx =，则角 2x5的终边位置在()A.第-一象限B.第二象限c.第三象限D.第四象限2 n5 .若4nV a V 6n，且a与一终边相同，则a = .36 .角a终边在第三象限，则角2 a终边在 象限.7. 已知| tanx | = tanx, 则角 x 的集合为 8. 如果0是第三象限角，则cos(sin 0 )2 sin(sin 0 )的符号为什么？9 .已知扇形

7、AOB的周长是6cm，该扇形中心角是1弧度，求该扇形面积.第2课同角三角函数的关系及诱导公式【考点指津】22sin a掌握同角三角函数的基本关系式：sin a +cos a =1,=tana , tana cot a =1 ,cos a掌握正弦、余弦的诱导公式.能运用化归思想(即将含有较多三角函数名称问题化成含有较少三角函数名称问题)解题.【知识在线】2 2 21. sin 150° +sin 135° +2sin210° +cos 225° 的值是()9 _117c.3 - 4B1 - 4A2 .已知 sin( n + a )=一 3，则543A .

8、cos a =-B. tan a =-54C. COS a =sin( n a )=4sin a 2cos a 厶匚 /+、了3.已tana =3,的值为5cos a + 3sin a4 .化简.1+2sin( n -2)cos( n+2) =.5 .已知0是第三象限角，且sin4 0 +cos4 0 = 9那么sin2 0等于2l2A.3【讲练平台】B-弩2C. 3sin(2 n - a )tan( n + a )cot(- a - n)cos( n - a )tan(3 n - a )分析式中含有较多角和较多三角函数名称，若能减少它们的个数，则式子可望简化.(-sin a ) tan a

9、-cot( a + n ) (-sin a )tan a (-cot a )解原式=)例1化简(-cos a )tan( n - a(-cos a )(-tan a )cos asin a 2 sin aCOS a点评法.将不同角化同角,不同名的三角函数化成同名的三角函数是三角变换中常用的方分析若 sin 0 cos 0 =已知式为件，须将 cos 0 sin 0sin 0、cos 0 进行平方.n n,亠 ("4 ,)，求 cos 0 sin 0 的值.的二次式，欲求式为sin 0、COS 0的一次式，为了运用条解(cos 0 sin 02 2)=cos10 +sin 0 2sin

10、 0 cos0 =1 二4- 0 (nn,4cos 0v sin 0.变式变式点评 之二.例3分析 的式子.二 cos 0 sin 0 =2 '条件同例，求cos 0 +sin 0的值. x/3已知 cos 0 sin 0 = , 求 sin 0 cos 0 , sin 0 +cos 0 的值.sin 0 cos 0 , cos 0 +sin 0 , cos 0 sin 0三者关系紧密，由其中之一，可求其余2已知 tan 0 =3 .求 cos 0 +sin 0 cos 0 的值.因为 cos 0 +sin 0 cos 0 是关于 sin 0、cos0的二次齐次式,所以可转化成tan

11、0=1 .第7页共31页1+tan 021+tan 02” 十2cos 0 +sin 0 cos 0解 原式=cos 0 +sin 0 cos 0 =22cos 0 +sin 0点评 1 .关于cos 0、sin 0的齐次式可转化成 tan 0的式子.2 22. 注意1的作用：仁sin 0 +cos 0等.【知能集成】1. 在三角式的化简，求值等三角恒等变换中，要注意将不同名的三角函数化成同名的 三角函数.2 22. 注意1的作用：女口 1=sin 0 +cos 0 .3. 要注意观察式子特征，关于sin 0、cos 0的齐次式可转化成关于 tan0的式子.4. 运用诱导公式，可将任意角的问题

12、转化成锐角的问题【训练反馈】1. sin600 °的值是第8页共31页B.c._32n2. sin( + a )sin4）的化简结果为A. cos2 aB. cos2a2C. sin2 aisin2 a3 .已知1 sin x+cosx=5x:0, n ,贝U tanx的值是B.c.士 I4 .已知tana = 1，则32sina cos a +cos a5.1 2sin 10° cos1° °的值为cos10 ° .1 cos 170 °1+2sin a COS a6 .证明 272-cos a sin a1+ tan a1 tan

13、 a7 .已知洶0 +迹0sin 0 3cos 05,求 3cos2 0 +4sin2 0 的值.8 .已知锐角 a、B、丫 满足 sin a +sin 丫 =sin 3 , cos a cos 丫 =cos B ,求 a 3 的值.第3课 两角和与两角差的三角函数（一）【考点指津】掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式，掌握二倍角的正弦、余弦、 能运用化归思想（将不同角化成同角等）解题.【知识在线】1. cos105 ° 的值为（）V6 +V2A.4正切公式,.6 22 .对于任何n( 0, ), sin( a + 3 )与 sin a +sin 3 的大小关系是A. sin(

14、a + 3 )> sin a +sin 3C. sin( a + 3 )=sin a +sin 33 nn v 0 v 牙,sin2 0 =a,3 .已知A.4 .已知B.D.sin 0sin( a + 3 ) v sin a +sin 3 要以a、3的具体值而定+cos 0等于.a+1B.a+111“tan a =一，tan 3 =一，贝U cot( a +2 3 )= 33C.a2+1D. 士a2+1第9页共31页15 .已知 tanx=2，则 cos2x=【讲练平台】11例 1 已知 sin a sin 3 = 3, cos a cos 3 =2，求 cos( a 3 )的值.32

15、分析 由于 cos( a 3 )=cos a cos 3 +sin a sin 3 的右边是关于 sin a、cos a、sin 3、cos 3的二次式，而已知条件是关于sina、sin3、平方.cos a、cos 3 的一次式，所以将已知式两边点评分析数值已知,解1sin a sin 3 =云，3cos a cos 3 = 1222/口13+，得 2 2cos( a 3 )= 36 . cos( a 3 )= 7259审题中要善于寻找已知和欲求的差异，设法消除差异. 求2cos10 严0的值.cos20 °式中含有两个角，故需先化简.注意到10° =30 ° 2

16、0°,则可将两个角化成一个角.10° =30 ° 20°,._2cos(30 ° -20° )-sin20 ° 原式=由于30°的三角函cos20°2(cos30 ° cos20° +sin30° sin20 ° )-sin20 °3 cos30cos20°点评例3分析cos20°化异角为同角，是三角变换中常用的方法.已知：sin( a + 3 )= 2sin 3 .求证：tan a =3tan( a + 3 ).已知式中含有角 2a

17、+ 3和3 ,而欲求式中含有角a和a + 3 ,所以要设法将已知式中的角转化成欲求式中的角.解T 2 a + 3 =( a + 3 )+ a ,3 =( a + 3 )一 a ,sin ( a + 3 )+ a = 2sin ( a + 3 ) a . sin( a + 3 )cos a +cos( a + 3 )sin a = 2sin( a + 3 )cos a +2cos( a + 3 )sin a . 若 cos( a + 3 )丰 0 , cos a 工 0，贝U 3tan( a + 3 )=tan a .点评 审题中要仔细分析角与角之间的关系，善于运用整体思想解题，此题中将 看成一

18、个整体【知能集成】审题中，要善于观察已知式和欲求式的差异，注意角之间的关系；整体思想是三角变换中常用的思想.【训练反馈】3 41.已知Ov3 v n , sin a =， cos( a + 3 )=一，贝U sin 3 等于5第10页共31页第#页共31页A. 0C.2425亠 24D. 0 或24sin7° +cos15sin82. cos7° sin 15° sin8°o的值等于第11页共31页 ABC 中,nA， 6B 2+ 3B.厂3sinA+4cosB=6 , 4sinB+3cosA=1，则/ C 的大小为5 nn ,、5 nB. TC.石或飞

19、C. 2 J3若a是锐角，且n 1Sin( a )= 3，贝U COS a 的值是n 2 n 3 nCOS 牙 COSTCOS7116.已知tan B =-，tan© =-，且B、$都是锐角.求证:232 J3 D. rn 、. 2 n或33B + $ =45°4 47 .已知 COS( a 3 )= :, COS( a + 3 )=二，且(a B)(=,5 52n ),求 COS2 a、C0S2 3 的值.7t3n( 2, 21 口 ，、1亠 ta n a8.已知 sin( a + 3 )=2，且 Sin(n +a 3 )=3，求耐第4课 两角和与两角差的三角函数(二)【

20、考点指津】掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式；掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式; 能灵活运用和角、差角、倍角公式解题.【知识在线】求下列各式的值1. cos200 ° cos80° +cos110° cos10° =.2. 1 (cos15 ° + J3 sin15 ° ) = 23 .化简 1+2cos B cos2 B =4. cos(20 ° +x)cos(25 ° x) cos(70 ° x)sin(25 ° x)= 11 tan B1 =1 + tan B =第13页共31页【讲

21、练平台】求下列各式的值(1) tan 10°+ tan50° + J3 tan 10° tan50°o/3 tan 12° -3) csc12°.(1)解原式=tan(10 ° +50° ) (1 tan10° tan50°) +寸3 tan10° tan50° =】3 .分析式中含有多个函数名称，故需减少函数名称的个数，进行切割化弦.第#页共31页(3 sin 12°解原式=cos1co2 cos24-3 sin 12 ' -3 cos 122 sin 1

22、2 cos 12 cos 244.3 sin( 12-60 )sin 48=cos 12 sin 122 cos 242 . 3sin 123 cos 12 )2 21 sin 482点评 （1）要注意公式的变形运用和逆向运用，注意公式tan A+ta nB=ta n(A+B) (1 tan Ata nB) , asin x+bs inx=a2 b2 sin(x+ $ )的运用；(2)在三角变换中，切割化弦是常用的变换方法.例 2 求证 1+sin4 0 -cos4 0 1+sin4 0 +cos4 0= 22 tan 01-tan 0分析三角恒等式的证明可从一边开始，证得它等于另一边；证得都

23、等于同一个式子；还可以先证得另一等式，从而推出需要证明的等式.1+sin4 0 -cos4 01+sin4 0 +cos4 0由欲证的等式可知，可先证等式0，而此式的左边出现了“ sin4 0用倍角公式可出现角 证略点评注意倍角公式1 cos4 0 ” 和“ 1+cos4 0 ”2 0，从而等式可望得证.21+cos2 a =2cos a , 1 COS2 a的运用; 析法等.三角恒等式证明的方法:也可以分别从两边开始,，此式的右边等于tan21-tan 0，分别运用升幕公式可出现角20 ,22cos2 a =2cos a 1, cos2 a =1 2sin a的变形公式：升幕公式2 一2 1

24、-cos2 a21 + cos2 a=2sin a，降幕公式 sin a =2, cos a =2从一边推得另一边；左右归一，先证其等价等于等式；分3 已知 cos(4+x)=317nV x V127 n求，n2x 土 sin2xtanx 的值.1-ta nx原式=sin2x (1 土tanx) =sm2x31-ta nxn=cos :2(x+):4ntan(x+ )=417nv x v127n4， / n sin( +x)=4原式2875ntan + tanx4=sin 2xta nn1-tan tanx42cos2(x+ ) 1 5 nn-V x+ V 2 n .34“ n 、4 tan

25、(4+x ) = 3tann(n+x)n(n+x)第15页共31页n点评（"注意两角和公式的逆用；（2）注意特殊角与其三角函数值的关系，如1=tan7n等；（3）注意化同角，将所求式中的角x转化成已知条件中的角x+4【知能集成】在三角变换中，要注意三角公式的逆用和变形运用，特别要注意如下公式：1+sin2 0 -cos2 0 _1+sin2 0 +cos2 0tan A+ta nB=ta n（A+B） 1 tan Ata nB ;【训练反馈】1. cos75° +cos15°的值等于（）A.卫BC.返D. A22222. a=|- (sin17°+cos

26、17 °) , b=2cos213 °1, c= -2-，则( )A . c v av b B.bvc v aC.av bv c D.bv av casinx+bcosx= a2 b2 sin(x+ $ )及升幕、降幕公式的运用.3 .化简4 .化简 sin(2 a + 3 ) 2sin a cos( a + 3 )=AC 厂AC5. 在厶ABC中，已知 A、B、C成等差数列，贝U tan于+tan? + j3 tantan的值为2 25 .化简 sin A+sin B+2sinAsinBcos(A+B).6 化简 sin50 ° (1+3 tan 10°

27、; ).7 已知 sin( a + 3 )=1，求证:sin(2 a + 3 )+sin(2 a +3 3 )=0.第5课三角函数的图象与性质（一）【考点指津】了解正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质，能运用数形结合的思想解决问题， 能讨论较复杂的三角函数的性质.【知识在线】1 .若 ；3 +2cosx v 0,贝H x 的范围是 .2 .下列各区间，使函数 y=sin（x+ n ）的单调递增的区间是（）nnn nA. y， n B. 0, 7 C. n , 0:D.匸,n3 .下列函数中，周期为 的偶函数是（）2 2A. y=sin4xB. y=cos 2x sin 2xC. y=tan

28、2x D. y=cos2x4 .判断下列函数的奇偶性2(1) y=xsinx+x cos2x 是函数；(2) y= | sin2x | xcotx 是函数；7 n(3) y=sin(-厂+3x)是函数.5 .函数f(x)=cos(3x+ $ )是奇函数，则 $的值为.【讲练平台】例1(1)函数y= lg(1 "an x)的定义域为11 一 2 sin x(2)若 a、3 为锐角，sin a v cos B ,则 a、3 满足(C)nnA. a > 3B. a V 3C. a + BVg D . a + 3 >2""1 - tanx > 0,分析

29、(1)函数的定义域为丿(*)的解集，由于y=tanx的最小正1 - 2sinx > 0.周期为n ,y=sinx的最小正周期为2 n ,所以原函数的周期为2n，应结合三角函数 y=tanxn 3 n和y=sinx的图象先求出(一,-)上满足(* )的x的范围，再据周期性易得所求定义域nn5 n5 n为x | 2k n =V xv 2k n +，或 2k n + V x V 2k n +, k Z2 664n 分析(2) sina、cos 3不同名，故将不同名函数转化成同名函数，cos 3转化成sin(23 )，运用y=sinx在0,才的单调性，便知答案为C.点评 (1)讨论周期函数的问题

30、，可先讨论一个周期内的情况，然后将其推广；(2)解三角不等式，要注意三角函数图象的运用；(3)注意运用三角函数的单调性比较三角函数值的大小.例2判断下列函数的奇偶性：sin x - cos x1 亠 sin x - cos x(1)y=；(2)y=.1 +cos x1 -sin x + cos x分析 讨论函数的奇偶性，需首先考虑函数的定义域是否关于原点对称，然后考f( x)f(x)或f(x).解(1)定义域关于原点对称，分子上为奇函数的差，又因为1+cosx=2cos2 2所以分母为偶函数，所以原函数是奇函数.nn(2)定义域不关于原点对称(如x= §，但x 飞)，故不是奇函数，也

31、不是偶函数.点评将函数式化简变形，有利于判断函数的奇偶性.例3求下列函数的最小正周期：sin 2 x + sin( 2 + )nno(1)y=sin(2x )sin(2x+) ; (2)y=.6 3兀cos 2 x cos( 2 x )3分析 对形如y=Asin( w x+ $ )、y=Acos( w x+ $ )和y=Atan( w x+ $ )的函数，易求出其 周期，所以需将原函数式进行化简.n(1)y=sin(2x )sin(2x+6nn 1n)= -sin(4x ),2 6，2'3八所以最小正周期为2n41J33J3sin 2x(sin 2x) (cos 2x)sin 2x c

32、os 2x(2) y= 22=221 .33、3cos 2 x 亠(cos 2x) -(sin 2x)cos 2x sin 2x2 222.3 ta n 2 x 13 -tan 2xtan 2x3兀: 二 tan( 2x ).、361tan 2x3n是小正周期为 .点评求复杂函数的周期，往往需先化简，其化简的目标是转化成y=Asin( wx+ $ )+ k 或 y=Acos( w x+ $ ) + k 或 y=Atan( w x+ $ ) + k 的形式(其中 A、w、$、k 为常数， w 工 0).25-3例 4 已知函数 f(x)=5sinxcosx 5 . 3 cos x+(x R).2

33、(1)求f(x)的单调增区间；(2)求f(x)图象的对称轴、对称中心. 分析 函数表达式较复杂，需先化简.5 1+COS2X , 5、. 3n、解 f(x)= 一sin2x 5 . 3 3+=5sin(2x ).2223.nnnn5 n(1) 由 2k n < 2x W 2k n +丁，得】kn , k n +诂:(k Z)为 f(x)的单2321212调增区间.nnk 5 nk 5 n(2) 令 2x 3=k n +，得 x= n + 石 (k Z)，则 x= ? n +石 (k Z)为函数nkny=f(x)图象的对称轴所在直线的方程，令2x =k n ,得x=； n +二(k Z),

34、 y=f(x)3 26图象的对称中心为点(kn +n, 0)( k Z).2 6点评研究三角函数的性质，往往需先化简，以化成一个三角函数为目标；讨论y=Asin( w x+ $ )(3 > 0)的单调区间，应将 w x+ $看成一个整体，设为t,从而归结为讨论y=Asint的单调性.【知能集成】讨论较复杂的三角函数的性质，往往需要将原函数式进行化简，其目标为转化成同一个角的同名三角函数问题.讨论三角函数的单调性， 解三角不等式，要注意数形结合思想的运用.注意函数性质在解题中的运用：若一个函数为周期函数，则讨论其有关问题，可先研究在一个周期内的情形，然后再进行推广；若要比较两个角的三角函数

35、值的大小，可考虑运用三角函数的单调性加以解决.【训练反馈】1 .函数y=lg(2cosx 1)的定义域为()nnnnA . x I vx v 3B. x I v xv C. xI 2k nV x V 2k n + ,33k Z D .x I 2knnnV xv 2kn + 石,k Z2 .如果a、37t)，且 tan a V cot 3，那么必有B.C.3 .若f(x)sinx是周期为A . sinxB.4 .下列命题中正确的是A .若a7t的奇函数，则cosx(、3是第一象限角，且 a >f(x)可以是 C.)且sin2xB.函数y=sinxcotx的单调递增区间是(C .函数y=1s

36、nir的最小正周期是筋3 nV 2(D.)D.sin a > sin 37t3 na + 3>2cos2xk Z第19页共31页第#页共31页-k n nD .函数 y=sinxcos2 $ cosxsin2 $ 的图象关于 y 轴对称，则 $ = + ，k Zx x5. 函数y=sin2+C0S2在(一2 n , 2n )内的递增区间是 6 6 .6. y=sin x+cos x 的周期为.7 .比较下列函数值的大小：nn、a V0V3)(1) sin2, sin3, sin4;2 2 2(2)cos 0 , sin 0 , tan 0k n8 .设 f(x)=sin( _x+

37、) (k 丰 0).53(1) 写出f(x)的最大值M，最小值 m,以及最小正周期 T ;(2) 试求最小的正整数 k,使得当自变量x在任意两个整数间(包括整数本身)变化时, 函数f(x)至少有一个 M与m.第6课 三角函数的图象与性质(二)【考点指津】了解正弦函数、余弦函数、正切函数的图象，会用“五点法”画正弦函数、余弦函数和 函数y=Asin( 3 x+ $ )的图象，理解参数 A、3、$的物理意义掌握将函数图象进行对称变 换、平移变换、伸缩变换会根据图象提供的信息，求出函数解析式.【知识在线】1将y=cosx的图象作关于x轴的对称变换，再将所得的图象向下平移1个单位，所得图象对应的函数是

38、()A y=cosx+1B. y=cosx 1 C. y= cosx+1 D. y= cosx 12 .函数f(x)=sin3x图象的对称中心的坐标一定是()1 1A.(2k n , 0), k ZB. (3k n , 0),k Z2 31C . (kn , 0), k ZD. ( k n , 0), k Z4n3. 函数y=cos(2x+ )的图象的一个对称轴方程为nA. x=inB. x=4C.x=x= nn-4.为了得到函数y=4sin(3x+ ),x R的图象,3倍，纵坐标不变1-倍，纵坐标不变33倍，横坐标不变13倍，横坐标不变.3A .横坐标伸长到原来的B.横坐标缩短到原来的C .

39、纵坐标伸长到原来的n只需把函数 y=3sin(x+ )的图象上所有点()n5.要得到y=sin(2x 石)的图象，只需将3y=sin2x的图象(A .向左平移n个单位3B.n向右平移个单位3C .向左平移n个单位6D.n向右平移c个单位6【讲练平台】D .纵坐标缩短到原来的n例1 函数y=Asin (3 x+ $ )(A > 0, 3> 0,| $ |v _)的最小值为一2，其图象相邻 的最高点和最低点横坐标差3 n，又图象过点(0, 1)，求这个函数的解析式.分析 求函数的解析式，即求A、3、$的值.A与最大、最小值有关，易知A=2 , 3与周期有关，由图象可知，相邻最高点与最低

40、点横坐标差3 n，即2=3 n .得T=6 n,所以1x3 =3.所以y=2sin(q+$)，又图象过点(0, 1)，所以可得关于$的等式，从而可将$求3 3x n出，易得解析式为yPsinq +石)解略点评 y=Asin( 3 x+ $ )中的A可由图象的最高点、 最低点的纵坐标的确定， 3由周期的 大小确定，$的确定一般采用待定系数法， 即找图像上特殊点坐标代入方程求解， 也可由$ 的几何意义(图象的左右平移的情况)等确定(请看下例).例2右图为某三角函数图像的一段(1) 试用y=Asin (3 x+ $ )型函数表示其解析式；(2) 求这个函数关于直线x=2 n对称的函数解析式.13 n

41、n解：(1) T= _ =4 n .332 n 1所给曲线是由y=3sinx2沿x轴向右平移n3而得到的. 3 =t = 2 .又A=3，由图象可知第22页共31页解析式为n?).已知函数1 2y=：cos x+2.32sinxcosx+1 (x R).1y=3s in (x 21 n一设(x, y)为y=3sin( x )关于直线x=2 n对称的图像上的任意一点，则该点关2 61 n于直线x=2 n的对称点应为(4 n x, y)，故与y=3sin( x )关于直线x=2 n对称的函2 61 n1n数解析式是 y=3sin 一(4 n x) = 3sin( x+ ).2 626点评 y=si

42、n( 3 x+ $ )( 3 > 0)的图象由y=sin 3 x的图象向左平移($> 0)或向右平移($ < 0) |$1个单位.特别要注意不能搞错平移的方向和平移的单位数量.求一个函数的图3象关于一条直线对称图象的函数解析式时，要注意解几知识的运用.第#页共31页(1)当y取得最大值时，求自变量x的集合;(2)该函数图象可由y=sinx(x R)的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到?(1)y= 221+cos2x2+ 2 1 si n2x +仁2 21n 52si n( 2x+6)+ 4第#页共31页nnn7当 2x+=2k n +；，即 x=k n +； , k Z 时，y

43、max='.6264n1(2)由y=sinx图象左移一个单位，再将图象上各点横坐标缩短到原来的(纵坐标62不变)，其次将图象上各点纵坐标缩短到原来的12 (横坐标不变)，最后把图象向上平移5个单位即可.4思考 还有其他变换途径吗？若有，请叙述.点评 (1)回答图像的变换时， 不能省略“纵坐标不变”、“横坐标不变”等术语.(2) 周期变换后的左右平移要注意平移单位的变化.【知能集成】已知三角函数y=Asin( w x+ 0)的图象，欲求其解析式，必须搞清A、3、$和图象的哪些因素有关；y=sin w x和y=sin( w x+ $ )两图象间平移变换的方向和平移的单位数量极易 搞错，解题

44、时要倍加小心.【训练反馈】y轴对称的充要条件是11 .函数y= qsin(2x+ 0 )的图象关于nA. 0 =2kn +pnB.0 =k n 巧C.0 =2k n + nD .0 =k n + n (k Z)2 .先将函数y=sin2x的图象向右平移则所得函数图象对应的解析式为n石个单位长度，再将所得图象作关于y轴的对称变换,3( )nA. y=sin( 2x+)32nC. y=sin( 2x+)33 .右图是周期为2n的三角函数 那么f(x)可以写成A . sin(1+x)B.C. sin(x 1)1 nB.D.ny=si n( 2x )y=f(x)的图象,)(sin( 1 x) si n

45、(1 x)y=s in( 2x第24页共31页4. y=tangx)在一个周期内的图象是Df6*竺x36第#页共31页5.已知函数y=2cosx(0 <x< 2n )的图象与直线y=2围成一个封闭的平面图形，则该封闭图 形面积是.n6 .将y=sin(3x )的图象向(左、右)平移n , 亠个单位可得y=sin(3x+ )的图像.34 nx=-时取得n17 .已知函数y=Asin( w x+ $ )，在同一个周期内，当x=时取得最大值 2 当1最小值2，右A > 0， w >0,nI $ |< ，求该函数的解析表达式.第#页共31页第#页共31页&已知函数

46、y= 3 sinx+cosx , x R.(1)当y取得最大值时，求自变量x的取值集合；(2)该函数的图象可由y=sinx(x R)的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到?9 .如图：某地一天从6时到14时的温度变化曲线近似满足函数y=Asin( w x+ $ )+b.(1) 求这段时间的最大温差；(2) 写出这段曲线的函数解析式.第7课三角函数的最值【考点指津】掌握基本三角函数 y=sinx和y=cosx的最值，及取得最值的条件；掌握给定区间上三角 函数的最值的求法；能运用三角恒等变形，将较复杂的三角函数的最值问题转化成一个角的 一个三角函数的最值问题.21 .已知(1) cos x=1.5 ;

47、 (2)sinx cosx=2 . 5 ; (3)tanx+1tanx=2;(4)sin3x=上述【知识在线】第25页共31页24时函数y的最大值为2 si n( 2x+4)+2r nn当2x+7=2k n + 2，即x=k n诗(k Z)时,y ma>= 'J 2 +2点评要 熟练 掌 握 y=asinx+bcosx类型 的三角函 数最值的求 法，asinx+bcosx=四个等式成立的是A . (1) (2)B. (2) (4) C. (3) (4)D . (1) (3)n5 n2. 当x R时，函数y=2sin(2x+ )的最大值为 ，最小值为 ，当x 一云，最小值为3 .函

48、数 y=sinx 3 cosx的最大值为 ，最小值为 .24 .函数 y=cos x+sinx+1的值域为 .【讲练平台】2 2例1 求函数f(x)=sin x+2sinxcosx+3cos x的最大值，并求出此时x的值.分析 由于f (x)的表达式较复杂，需进行化简.2 2解 y=sin x+cos x+sin2x+1+cos2x=sin2x+cos2x+2=Va2+b2sin (x+ $ )n nn例2 若0 : 12，12】，求函数 y=cos(：+ 0 ) +sin2 0的最小值.分析在函数表达式中，含有两个角和两个三角函数名称，若能化成含有一个角和一个三角函数名称的式子，则问题可得到

49、简化.nnn2 ny=cos( + 0 ) cos 2( 0 +) =cos( + 0 ) 2cos (0 +) 1 44442 nn=2cos ( 0 +)+cos( + 0 )+1 = 2n 1=2 cos( 02 9+82 n 1n：cos(0 切2cos( 0 +?:+i/ 0 n0 + 4兀n丄 cos( 0 +-产亘,2 4 2 y最小值=丄二244第27页共31页点评 (1)三角函数表达式转化成一个角的一个三角函数的形式(即f(sinx)或g(cosx),是常见的转化目标；(2)形如y=f(sinx)或y=g(cosx)的最值，常运用sinx，cosx的有界性， 通过换元转化成

50、y=at +bt+c在某区间上的最值问题；(3)对于y= Asin( w x+ $ )或y=Acos( w x+ $ )的最值的求法，应先求出t= w x+ $的值域，然后再由y=Asint和y=Acost的单调性求出最值.例3 试求函数y=sinx+cosx+2sinxcosx+2的最大值和最小值.分析 由于sinx+cosx与sinxcosx可以相互表示，所以令sinx+cosx=t，则原三角函数的2最值问题转化成 y=at +bt+c在某区间上的最值问题.13解 令 t=sinx+cosx，贝U y=t+t2+仁化+-)2+-，且 t 羽，羽 ,- ymin=4 , ymax=3+ '.'2 .点评 注意sinx+cosx与sinxcosx的关系，运用换元法将原三角函数的最值问题转化成 y=at2+bt+c在某个区间上的最值问题.【知能集成】较复杂的三角函数的最值问题，往往通过需要恒等变形，转化成形如 y=f(sinx)或sinxcosx 的关系，令si nx+tcosxy=g(cosx)型或y= Asin( w