哈工大大学物理振动波动习题

1、整理ppt1振动和波动整理ppt2机械振动知识要点机械振动知识要点整理ppt31.掌握简谐振动的表达式和三个特征量的意掌握简谐振动的表达式和三个特征量的意义及确定方法义及确定方法 决定于系统本身的性质！决定于系统本身的性质！A和和 由初始条件由初始条件x0, v0决定！决定！02020 xvxA00tanxvv0的正负号的正负号(sin ) 值值)cos(tAxmk整理ppt42. 掌握简谐振动的动力学特征，并能判定简谐掌握简谐振动的动力学特征，并能判定简谐振动，能根据已知条件列出运动的微分方程，振动，能根据已知条件列出运动的微分方程，并求出简谐振动的周期并求出简谐振动的周期(1). 动力学判

2、据动力学判据: kxF (3). 运动学判据运动学判据: 0cosx tAt)arctan(000 xv0222 xdtxd(2). 能量判据：能量判据： 振动系统机械能守恒振动系统机械能守恒恒量222121xkmv整理ppt53. 掌握简谐振动的能量特征掌握简谐振动的能量特征总的机械能：总的机械能： 2221122pkEEEmAkA整理ppt64. 掌握简谐振动的合成规律掌握简谐振动的合成规律:同方向、同频率同方向、同频率简谐振动的合成简谐振动的合成)cos(21 tAxxx)cos(212212221 AAAAA22112211coscossinsintanAAAA k2)(21 )12(

3、)(21 k2121AAAAA 21AAA 21AAA 其其它它值值 )(21 ( ( 同相同相 ) )( ( 反相反相 ) )整理ppt7本章基本题型：本章基本题型：1、已知振动方程，求特征参量、已知振动方程，求特征参量2、已知条件（或者振动曲线），建立振动方程、已知条件（或者振动曲线），建立振动方程3、证明、判断一个物体的振动是否是简谐振动、证明、判断一个物体的振动是否是简谐振动4、简谐振动的合成、简谐振动的合成:动力学判据动力学判据；能量判据；能量判据；运动学判据运动学判据 解析法、解析法、旋转矢量法旋转矢量法（振幅、周期、频率、初相位）（振幅、周期、频率、初相位）整理ppt8例例 一质

4、量为一质量为m = 10 g的物体作简谐振动，振幅为的物体作简谐振动，振幅为A = 10 cm ,周期周期T = 2.0 s。若。若t = 0时，位移时，位移x0= - 5.0 cm，且，且物体向负物体向负x方向运动，方向运动，试求：试求：（1）t = 0.5 s时物体的位移；时物体的位移；（2）t = 0.5 s时物体的受力情况；时物体的受力情况；（3）从计时开始，第一次到达）从计时开始，第一次到达x = 5.0 cm所需时间；所需时间；（4）连续两次到达）连续两次到达x = 5.0 cm处的时间间隔。处的时间间隔。【解解】0.10mA2rad/s)T （1 1）由已知可得简谐振动的振幅）由

5、已知可得简谐振动的振幅角频率角频率振动表达式为振动表达式为 0.10cosoxt (SI)整理ppt90t 时0.10cos0.05mox 0.05 sin0o vx0.1O-0.050t 23o 由旋转矢量法可得由旋转矢量法可得 振动方程振动方程 0.1cos23xt t=0.5s时物体的位移时物体的位移? 0.1cos230.1cos 0.5230.0866mxt （2） t = 0.5 s时物体受到的恢复力时物体受到的恢复力? 由（由（1）得）得 0.0086NFkx 220.010.099km N/m(SI)整理ppt10（3）从计时开始，第一次到达）从计时开始，第一次到达x = 5.

6、0 cm所需时间；所需时间；（4）连续两次到达）连续两次到达x = 5.0 cm处的时间间隔。处的时间间隔。x0.1O-0.050t 0.05153231st 第一次到达第一次到达x=5.0cm=5.0cm时的相位为时的相位为 53故故 第一次达到此处所需时间为第一次达到此处所需时间为 2230.67st连续两次到达连续两次到达x = 5.0 cm处的相位差为处的相位差为 23整理ppt11例例2、如图所示的振动曲线。求：、如图所示的振动曲线。求：（1）简谐振动的运动方程）简谐振动的运动方程（2）由状态）由状态a运动到状态运动到状态b，再由，再由b运动到运动到c的时间的时间 分别是多少分别是多

7、少（3）状态）状态d的速度和加速度的速度和加速度【解解】方法方法1 解析法解析法00012cos223Ax 0000sin0sin0vA 0cos()xAt0cos(52/3)0cx00sin(52/3)0v0t 原点：原点：5tsc点：点：2316整理ppt12方法方法2 旋转矢量法旋转矢量法（1）0t 0/ 2xA 00v 确定旋转矢量确定旋转矢量2356t16振动方程为振动方程为12cos()63xAtt-A-A/2AA/2xO(SI)整理ppt13（2）由状态）由状态a运动到状态运动到状态b，再由，再由b运运动到动到c的时间分别是多少的时间分别是多少（3）状态）状态d的速度和加速度的速

8、度和加速度-A-A/2AA/2x/6a/3/32/6babats/61/6cbcbtssin0.4513dvAA 2222cos63m/s72daxAA 整理ppt14例例3 一匀质细杆质量为一匀质细杆质量为m，长为，长为l，上端可绕悬挂轴无，上端可绕悬挂轴无摩擦的在竖直平面内转动，下端与一劲度系数为摩擦的在竖直平面内转动，下端与一劲度系数为k的轻的轻弹簧相联，当细杆处于铅直位置时，弹簧不发生形变。弹簧相联，当细杆处于铅直位置时，弹簧不发生形变。求细杆作微小振动是否是简谐振动。求细杆作微小振动是否是简谐振动。O【解解】方法一方法一. 分析受力法分析受力法mgf222d(sin )(sincos

9、 )23dgFmglmlMMMkllt 很小时很小时 2222d30d2mglkltml细杆微小振动是简谐振动细杆微小振动是简谐振动取细杆铅直位置为坐标零点，垂直纸面向外为正方向取细杆铅直位置为坐标零点，垂直纸面向外为正方向整理ppt15方法二方法二. 分析能量法分析能量法由杆、弹簧、地球所构成的系统，机械能守恒。取平衡位置由杆、弹簧、地球所构成的系统，机械能守恒。取平衡位置系统的势能为零，当杆在某一任意位置时，系统机械能为系统的势能为零，当杆在某一任意位置时，系统机械能为2211(1 cos )222lEJConksxtmgxl21sin02dddJklmgldtdtdtJ为杆绕为杆绕O轴的

10、转动惯量，轴的转动惯量，x为弹簧伸长量，杆作微小振动时，为弹簧伸长量，杆作微小振动时，代入上面式子，并且两边对时间求一次导数，有：代入上面式子，并且两边对时间求一次导数，有：整理ppt1621sin02dddJklmgldtdtdt2221,3dddJmldtdtdtsin式中，式中，在杆作微小振动时，在杆作微小振动时，代入后，可以得到：代入后，可以得到：杆的微小振动是简谐运动杆的微小振动是简谐运动2222d30d2mglkltml整理ppt17例例 如图所示，两轮的轴相互平行，相距为如图所示，两轮的轴相互平行，相距为2d，两轮的转速相同而转向相反。现，两轮的转速相同而转向相反。现将质量为将质

11、量为m的一块匀质木板放在两轮上，木板与两轮之间的摩擦系数均为的一块匀质木板放在两轮上，木板与两轮之间的摩擦系数均为u。若。若木板的质心偏离对称位置后，试证木板将作简谐振动，并求其振动周期。木板的质心偏离对称位置后，试证木板将作简谐振动，并求其振动周期。O2dx解：解： 以木板的中心为坐标原点，向右的方向为正，以木板的中心为坐标原点，向右的方向为正，设木板的质心偏离原点设木板的质心偏离原点x，木板对两轮的作用力，木板对两轮的作用力分别为分别为N1，N2根据木板所受力矩平衡条件根据木板所受力矩平衡条件12Ndmg dx22Ndmg dx木板在水平方向所受到的合力木板在水平方向所受到的合力12mgF

12、NNxd 水平方向水平方向22ddxFmt22d0dxgxtd振动周期振动周期2dTg整理ppt18 例例. 图中定滑轮半径为图中定滑轮半径为 R, 转动惯量为转动惯量为 J ， 轻弹簧劲度系数为轻弹簧劲度系数为 k ，物体物体质量为质量为 , 现将物体从平衡位置拉下一微小距离后放手，不计一切摩擦和空现将物体从平衡位置拉下一微小距离后放手，不计一切摩擦和空气阻力，使证明系统作简谐振动，并求其作谐振动的周期。气阻力，使证明系统作简谐振动，并求其作谐振动的周期。mkRJOXxT1mg解：以解：以 m 为研究对象。为研究对象。在平衡位置在平衡位置 O 时：合外力时：合外力00(1)Fmgk l 在任

13、意位置在任意位置 x 时：合外力时：合外力1(2)FmgT以下由转动系统解出以下由转动系统解出 T1：fT1R11()()(3)T Rklx RJJTklxR 将将 （1），（），（3）代入（）代入（2）中，合外力）中，合外力()(4)JJFmgklxkxRR 整理ppt19而物块下落加速度等于滑轮旋转加速度而物块下落加速度等于滑轮旋转加速度aFRmR代入（代入（4）中得）中得2JFFkxmR 222(1)()JmR kFkxFxmRmRJ 合外力与位移成正比且方向相反，系统的动力学方程为合外力与位移成正比且方向相反，系统的动力学方程为角频率为角频率为222R kmRJ周期周期2222mRJT

14、kR2222d()0dxmR kmxtmRJ整理ppt20例例4:4:劲度系数为劲度系数为k的轻弹簧挂在质量为的轻弹簧挂在质量为m，半径为半径为R的匀质圆的匀质圆柱体的对称轴上，使圆柱体作无滑动的滚动，证明：圆柱体的对称轴上，使圆柱体作无滑动的滚动，证明：圆柱体的质心作谐振动。柱体的质心作谐振动。水平面水平面kc证明：证明：xcxo建坐标如图，建坐标如图，弹簧原长处为坐标原点，设原点处为势能零弹簧原长处为坐标原点，设原点处为势能零点，质心在点，质心在xc时系统的机械能为时系统的机械能为222111const.222ccckxmvJ（注意上式中的（注意上式中的 是刚体转动的角速度）是刚体转动的角

15、速度）分析振动系统机械能守恒分析振动系统机械能守恒!整理ppt21222111const.222ccckxmvJ221mRJccvRcmkxcc224321两边对两边对t t求导数，得求导数，得03222ccxmktxdd将将代入上式代入上式得得与动力学方程比较知，物理量与动力学方程比较知，物理量xc的的运动形式是简谐振动运动形式是简谐振动mk32圆频率圆频率整理ppt22机械波知识要点机械波知识要点整理ppt231. 熟练掌握简谐波的描述熟练掌握简谐波的描述平面简谐波的波函数：平面简谐波的波函数：0cos ()xyAtu五大要素五大要素)cos(0kxtAy0cos2 ()txyAT整理pp

16、t242. 记住能量密度、能流以及能流密度公式记住能量密度、能流以及能流密度公式平均能量密度：平均能量密度：2221Aw平均能流：平均能流：uSwP平均能流密度平均能流密度波的强度：波的强度：uAuwI22213. 记住惠更斯原理的内容记住惠更斯原理的内容媒质中波阵面上的各点都可以看做子波波源，其后任媒质中波阵面上的各点都可以看做子波波源，其后任一时刻这些子波的包迹就是新的波阵面一时刻这些子波的包迹就是新的波阵面整理ppt254. 熟练掌握简谐波的干涉条件，干涉加强、熟练掌握简谐波的干涉条件，干涉加强、减弱的条件减弱的条件波的相干条件：波的相干条件：干涉加强或减弱的条件：干涉加强或减弱的条件：

17、12122,(0,1,2,.),(21) ,(0,1,2,.),kkAAAkkAAA振幅最大振幅最小21212()rr振动方向相同；振动方向相同；相位差恒定相位差恒定频率相同；频率相同；整理ppt265. 理解驻波的形成，并掌握驻波的特点理解驻波的形成，并掌握驻波的特点两列频率、振幅和振动方向都相同而两列频率、振幅和振动方向都相同而传播方向相反传播方向相反的的简谐波叠加形成驻波，其表达式为简谐波叠加形成驻波，其表达式为22coscosyAxt(21),0, 1, 2,.4xkk,0, 1, 2,.2xkk波节：波节：波腹：波腹：2cos00 x振幅2cos12Ax 振幅整理ppt27驻波的特点

18、：驻波的特点：1. 相邻波腹（节）之间的距离为相邻波腹（节）之间的距离为 /22. 一波节两侧质元具有相反的相位一波节两侧质元具有相反的相位3. 两相邻波节间的质元具有相同的相位两相邻波节间的质元具有相同的相位4. 驻波无能量传递驻波无能量传递同号相同；同号相同；异号相反！异号相反！整理ppt286. 掌握半波损失的概念掌握半波损失的概念波从波从波疏媒质到波密波疏媒质到波密媒质，从波密媒质反射媒质，从波密媒质反射回来，在反射处发生了回来，在反射处发生了 的相位突变的相位突变在在自由端无自由端无相位突变，无相位突变，无半波损失半波损失折射无半波损失折射无半波损失在在固定端有固定端有 相位突变，有

19、相位突变，有半波损失半波损失整理ppt29本章基本题型：本章基本题型：1. 已知波动方程，求有关的物理量已知波动方程，求有关的物理量(1) 求波长、周期、波速和初相位求波长、周期、波速和初相位2. 由已知条件建立波动方程由已知条件建立波动方程(2) 求波动曲线上某一点的振动方程求波动曲线上某一点的振动方程(3) 画出某时刻的波形曲线画出某时刻的波形曲线(1) 已知波动曲线上某一点已知波动曲线上某一点的振动状态的振动状态(2) 已知某一时刻的波形曲线已知某一时刻的波形曲线3. 波的传播及叠加波的传播及叠加(2). 驻波驻波(1). 波的干涉波的干涉(3). 半波损失半波损失整理ppt30例例 一

20、波长为一波长为 的平面简谐波，已知的平面简谐波，已知 A 点的振动方程为点的振动方程为 y=Acos(t+) 试求在图中四种坐标选择情况下此简谐波的表达式试求在图中四种坐标选择情况下此简谐波的表达式yO AxuyO AxuyxOAlu解答提示解答提示（1)(2)(3)（1）cos()xyAtu（2）cos()xyAtu（3）cos()xlyAtu（4）cos()xlyAtuxOAuy(4)l整理ppt31 1. 有一以速度u沿x轴正向传播的平面简谐波， 其质点振动的振幅和角频率分别为A和, 设某一瞬间的波形如图所示，并以此瞬间 为计时起点，分别以o和p点为坐标原点， 写出波动表达式。u整理pp

21、t32yAM-A解解: (1) 以以O点为坐标原点，设点为坐标原点，设O点振动方程为点振动方程为 cos()yAt0t Ou2O以以O点为坐标原点的波动表达式为点为坐标原点的波动表达式为 cos ()2OxyAtuPP以以P点为坐标原点的波动表达式为点为坐标原点的波动表达式为 cos ()PxyAtuxOPy整理ppt33 2. 如图所示，S1、S2为同一介质中沿其连 线方向发射平面简谐波的波源，两者相距作同方向、同频率、同振幅的简谐振动，设S1经过平衡位置向负方向运动时, S2恰处在正向最远端，且介质不吸收波的能量。求：S1S2x/m45S1和和 S2外侧合成波的强度外侧合成波的强度S1和和

22、S2之间因干涉而静止点的位置，设两列之间因干涉而静止点的位置，设两列波的振幅都是波的振幅都是A0，强度都是，强度都是I0 。整理ppt34xAM-A0t S1S22102两列波在干涉点的相位差两列波在干涉点的相位差解解:12121222()/2()rrrr(1) 在在S1左侧的左侧的P点，两列波的波程差点，两列波的波程差1254rr 1225()34满足干涉条件，所以在满足干涉条件，所以在S1左侧所有点合成振幅左侧所有点合成振幅A=0,合合成波强度为零成波强度为零S1S2x/m45整理ppt35(2) 在在S2右侧的右侧的P点，两列波的波程差点，两列波的波程差4521rr122 5()24 满

23、足干涉加强条件，所以在满足干涉加强条件，所以在S2右侧所有点合成振幅右侧所有点合成振幅A=2A,合成波强度为合成波强度为4I0(3) 在在S1、S2之间，两列波沿相反方向到达干涉点，设之间，两列波沿相反方向到达干涉点，设 任意干涉点到任意干涉点到S1的距离为的距离为x，则，则r1=x，r2=5/4-x，12524rrx12254(2)34xx43(21) ,0, 1, 2.xkk (1)2xk在干涉静止点：在干涉静止点：450 x,21 xS1S2x/m45整理ppt36 3. 一平面简谐波沿x正方向传播如图所示，振幅为 A，频率为v, 速率为u. 求 (1) t=0时，入射波在原点o处引起质

24、元由平衡位 置向位移为正的方向运动，写出波表达式 (2) 经分界面反射的波的振幅和入射波振幅相等 写出反射波的表达式，并求在x轴上因入射 波和反射波叠加而静止的各点位置。O Pux波疏波疏波密波密43整理ppt37解解: (1) 由已知条件可写出入射波在由已知条件可写出入射波在O点的振动表达式点的振动表达式cos(2)2OyAt入入射波的表达式为入射波的表达式为2cos2 ()cos(2)22xyAtAtxu入(2) 设反射波的表达式为设反射波的表达式为2cos2 ()cos(2)xyAtAtxu反在在P点，入射波的相位为点，入射波的相位为23242t入反射波的相位为反射波的相位为2324t反

25、Oux波疏波疏波密波密43P整理ppt38由由入反得得2 所以反射波的表达式为所以反射波的表达式为2cos(2)2yAtx反22coscos(2-)2yyyAxt入反波节位置波节位置2cos0 x2(21),0, 1, 2.2xkk(21)4xk因此合成波的表达式因此合成波的表达式34x(21),14xkk 的整数整理ppt39BBOd=5/4xp例例: 如图所示，波源位于如图所示，波源位于 O 处，由波源向左右两边发出振幅为处，由波源向左右两边发出振幅为 A，角频率为，角频率为 ，波速为，波速为 u 的简谐波。若波密介质的反射面的简谐波。若波密介质的反射面 BB 与点与点 O 的距离为的距离为 d=5/4, 试讨论合成波的性质。试讨论合成波的性质。解：解：设设 O 为坐标原点，向右为正方向。为坐标原点，向右为正方向。)2cos(),(1xtAtxy自自 O 点向右的波：点向右的波：自自 O 点向左的波：点向左的波：)2cos(),(2xtAtxy反射点反射点 p 处入射波引起的振动：处入射波引起的振动：)2cos()45(2