等差数列前n项和课件.pptPPT课件

1、1.通过教学使学生理解等差数列的前n项和公式的推导过程，并能用公式解决简单的问题.(重点）2.通过公式推导的教学使学生进一步体会从特殊到一般，再从一般到特殊的思想方法，通过公式的运用体会方程的思想（难点）第1页/共26页第2页/共26页第3页/共26页高斯高斯(17771855(17771855） 德国著名数学家德国著名数学家1+2+3+98+99+100=1+2+3+98+99+100=？ 高斯高斯1010岁时曾很快算出这一结岁时曾很快算出这一结果，如何算的呢？果，如何算的呢？第4页/共26页1+2+3+100=?带着这个问题，我们进入本节课的学习！带着这个问题，我们进入本节课的学习！第5页

2、/共26页下面来看下面来看1+2+3+98+99+1001+2+3+98+99+100的高斯算法的高斯算法. .设S100=1 + 2 + 3 +98+99+100 反序反序S S100100=100+99+98+ 3+ 2 + 1=100+99+98+ 3+ 2 + 1+ + + + + + +作作加加法法+ + + + + + +作作加加法法多少个多少个101 ?101 ?100100个个1011012S100=101+101+101+101+101+101/ / / / / + + + + + + +作作加加法法探究点1：等差数列的前n项和公式第6页/共26页所以所以S S100100=

3、 =(1+100)(1+100)100100？首项尾项？总和？项数这就是等差数列前n项和的公式！=5 050121()2nnn aaS 1(2） 第7页/共26页+得：2Sn=(a1+an)+(a2+an-1)+(a3+an-2)+(an+a1). 以下证明以下证明aan n 是等差数列，是等差数列，S Sn n是其前是其前n n项和，则项和，则证：证：S Sn n= a= a1 1+ a+ a2 2 + a+ a3 3 + + +a +an-2n-2+a+an-1n-1+a+an n, ,即即S Sn n= =a1,an+ a2 +an-1+a3an-2+. .1()2nnn aaS 第8页

4、/共26页2S2Sn n=(a=(a1 1+a+an n)+(a)+(a1 1+a+an n)+ )+ +(a+(a1 1+a+an n) ) 多少个(a1+an) ?共有共有n n个个(a1+an) 由等差数列的性质：当m+n=p+q时，am+an=ap+aq 知：a1+an=a2+an-1=a3+an-2=an+a1，所以式可化为：= n n(a(a1 1+a+an n).).这种求和的方法叫倒序相加法！因此，因此，. .1()2nnn aaS 第9页/共26页探究点2：等差数列的前n项和公式的其他形式（1)2nnn aaS 1(1)naand （11)2nn nSnad 1,22ddAB

5、 a2nSAnBn第10页/共26页例1 2000年11月14日教育部下发了关于在中小学实施 “校校通”工程的通知.某市据此提出了实施“校校通”工程的总目标：从2001年起用10年的时间，在全市中小学建成不同标准的校园网.据测算，2001年该市用于“校校通”工程的经费为500万元.为了保证工程的顺利实施，计划每年投入的资金都比上一年增加50万元.那么从2001年起的未来10年内，该市在“校校通”工程中的总投入是多少？第11页/共26页解：解：根据题意，从根据题意，从2001200120102010年，该市每年投入年，该市每年投入“校校校校通通” 工程的经费都比上一年增加工程的经费都比上一年增加

6、5050万元万元. .所以，可以建所以，可以建立一个等差数列立一个等差数列aan n ，表示从，表示从20012001年起各年投入的资金，年起各年投入的资金，其中，其中， 1 1a =500,d =50.a =500,d =50. 1010那那么么，到到2010年2010年（n =10）n =10），投投入入的的金金1010 （10-1）10-1）S=10S=10 500+500+ 50 =7 250（50 =7 250（万万元元）. .2 2资资总总额额为为从从该该总总20012010年20012010年，市市在在“校校校校通通”工工程程中中的的投投入入是是7 27 2答答：50万50万元元

7、. .第12页/共26页本题的设计意图： 培养学生的阅读能力，引导学生从中提取有效信息.通过对生活实际问题的解决，让学生体会到数学源于生活，又服务于生活，提高他们学习数学的兴趣，同时又提高学生运用数学知识解决实际问题的能力，促进了理论与实践的结合，对新知进行巩固，使教师及时收到教学反馈.第13页/共26页例2 已知一个等差数列 前10项的和是310，前20项的和是1 220.由这些条件能确定这个等差数列的前n项和的公式吗？ na分析：分析：将已知条件代入等差数列前将已知条件代入等差数列前n n项和的公式后，可项和的公式后，可得到两个关于得到两个关于 与与d d的二元一次方程，由此可以求得的二元

8、一次方程，由此可以求得与与d d，从而得到所求前，从而得到所求前n n项和的公式项和的公式. .1a1a 10201020n1n11 11 1由由意意知知S=310，S=310，S=1 220,S=1 220,n（n（n-1）n-1）它它代代入入公公式式S = na +d，S = na +d，2 210a +410a +4解解：5d =310，5d =310，得得到到20a +190d =1 220.20a +190d =1 220.题题将将们们 第14页/共26页 1 11 12 2n n解解于于a 与a 与d的d的方方程程，得得到到a = 4，a = 4，d = 6, d = 6, n（n

9、（n-1）n-1）所所以以S = 4n+S = 4n+6=3n +n.6=3n +n.2 2这这个个关关组组技巧方法：技巧方法：此例题的目的是建立等差数列前此例题的目的是建立等差数列前n n项和与方程组之间的联系项和与方程组之间的联系. .已知几已知几个量，通过解方程组，得出其余的个量，通过解方程组，得出其余的未知量未知量. .让我们归纳一下！第15页/共26页 2132.例例 已已知知数数列列的的前前 项项和和为为，求求这这个个数数列列的的通通项项公公式式 这这个个数数列列是是等等差差数数列列吗吗？如如果果是是，它它的的首首项项与与公公差差分分别别是是什什么么？nnanSnnn12n-1nn

10、12n-1nn-112n-1n-112n-1根根据据S = a +a +a+a 与S = a +a +a+a 与解解S= a +a +a （S= a +a +a （：n 1）n 1），nnn-1nnn-12222可可知知，n 1，n 1，a = S -Sa = S -S111111= n +n-（= n +n-（n-1）n-1）+ （+ （n-1）n-1）= 2n-.= 2n-.222222当当时时第16页/共26页 2 21111nnnnn nn =1，n =1，1313 a = S =1 + a = S =1 + 1=，1=，也也足足上上式式. .22221 1所所以以列列 a的a的通通公

11、公式式a = 2n-.a = 2n-.2 23 3由由此此可可知知，列列 a是a是一一首首，公公差差2的2的等等差差列列. .2 2当当时时满满数数项项为为数数个个项项为为为为数数第17页/共26页这这个个例例题题给给出出了了等等差差数数列列通通项项公公式式的的另另一一个个求求法法（n=1n=1） , ,已已知知前前 项项和和，可可求求出出通通项项（n2n2）这这种种用用数数列列的的公公式式来来确确定定的的方方法法对对于于任任何何数数列列都都是是可可行行的的，而而且且还还要要注注意意 不不一一定定满满足足由由求求出出的的通通项项表表达达式式，所所以以最最后后要要验验证证首首项项 是是否否满满足

12、足已已求求出出巧巧的的技技方方法法：11111. .nnnnnnnnnnSnSaSSSaaSSaaa 第18页/共26页1.（2016全国高考）已知等差数列 an前9项的和为27， ，则 （ ）（A）100（B）99（C）98（D）97分析：利用等差数列的前n项和公式及通项公式求出首项及公差，选c.第19页/共26页1.（2013安徽高考）设Sn为等差数列an的前n项和，8374,2 Sa a，则a9=（ ）A.-6 B.-4 C.-2 D.2分析：利用等差数列的前n项和公式及通项公式求出首项及公差.第20页/共26页8311718 7484 (2 ),2622 Saadadaad由110,2

13、 ad91810 166 aad解析：选A.由联立解得，所以.第21页/共26页 根根据据下下列列条条件件，求求相相应应的的等等差差数数列列的的前前n n项项和和1102.(1)5,95,10.nnaSaan10101010 (5+95)(5+95)S=S=：2 2解解500.500.1(2)100,2,50.adn 50505050 （50-1)50-1)S=50S=50 100+100+ (-2)= 2 (-2)= 2 解解2 2：550.550.1(3)14.5,0.7,32.nada32-14.532-14.5n =+1= 26,n =+1= 26,0.70.7解解：26262626 (14.5+32