九年级上册数学知识点总结

1、九年级上册数学知识点总结归纳第二十一章一元二次方程第二十二章二次函数第二十三章旋转第二十四章圆第二十五章概率初步第二十一章一元二次方程知识点1: 一元二次方程的概念一元二次方程：只含有一个未知数，未知数的最高次数是 2,且系数不为0 ,这样的方程叫一元二次 方程.一般形式：ax2+bx+c=0(a W0)。注意：判断某方程是否为一元二次方程时，应首先将方程化为一般形 式。知识点2: 一元二次方程的解法1 .直接开平方法：对形如(x+a) 2=b (b>0)的方程两边直接开平方而转化为两个一元一次方程的方法。X+a=二,bXi =-a+ bX2 =-a . b2 .配方法：用配方法解一元二

2、次方程：ax2 + bx+c=0(k w 0)的一般步骤是：化为一般形式；移项，将常数项移到方程的右边；化二次项系数为1,即方程两边同除以二次项系数；配方，即方程两边都加上一次项系数的一半的平方；化原方程为(x+a) 2=b的形式；如果b> 0就可以用两边开平方来求出方程的解；如果 b<0,则原方程无解.3 .公式法：公式法是用求根公式求出一元二次方程的解的方法.它是通过配方推导出来的.一元二次方 程的求根公式是xJ _"；(b2-4acJ0)。步骤：把方程转化为一般形式；确定a, b, c的2a值；求出b24ac的值，当b2 4ac> 0时代入求根公式。4 .因式

3、分解法：用因式分解的方法求一元二次方程的根的方法叫做因式分解法.理论根据：若ab=0,则a=0或b=0。步骤是：将方程右边化为 0;将方程左边分解为两个一次因式的乘积；令每个因式 等于0,得到两个一元一次方程乘积的形式，解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程 的解.因式分解的方法：提公因式、公式法、十字相乘法。5 . 一元二次方程的注意事项： 在一元二次方程的一般形式中要注意，强调aw0.因当a=0时，不含有二次项，即不是一元二次方程.应用求根公式解一元二次方程时应注意：先化方程为一般形式再确定a, b, c的值；若b2-4ac<0,则方程无解. 利用因式分解法解方程时，方程两

4、边绝不能随便约去含有未知数的代数式.如2(x + 4) 2 =3 (x + 4)中，不能随便约去 x+4。(4)注意：解一元二次方程时一般不使用配方法(除特别要求外)但又必须熟练掌握，解一元二次方程的 一般顺序是：开平方法一因式分解法一公式法.6 . 一元二次方程解的情况(Db2-4ac>0方程有两个不相等的实数根；b2 4ac=0u 方程有两个相等的实数根；b2 4acW0U 方程没有实数根。解题小诀窍：当题目中含有“两不等实数根”“两相等实数根” “没有实数根”时，往往首先考虑用b2-4ac解题。主要用于求方程中未知系数的值或取值范围。知识点3:根与系数的关系：韦达定理bc对于方程

5、ax2+ bx+c=0（a W0）来说，x1 +x2 = a , x1 x2= a。222利用韦达定理可以求一些代数式的值（式子变形），如x1 +X2 =（x1 +x2） -2x1x211 xi x2十= xi x2xix2o解题小诀窍：当一元二次方程的题目中给出一个根让你求另外一个根或未知系数时，可以用韦达定理。知识点4: 一元二次方程的应用一、考点讲解：1 .构建一元二次方程数学模型，常见的模型如下：与几何图形有关的应用：如几何图形面积模型、勾股定理等； 有关增长率的应用：此类问题是在某个数据的基础上连续增长（降低）两次得到新数据，常见的等量 关系是a（1 ±x） 2=b,其中a

6、表示增长（降低）前的数据，x表示增长率（降低率），b表示后来的数据。注意：所得解中，增长率不为负，降低率不超过1。 经济利润问题：总利润=（单件销售额单件成本）x销售数量；或者，总利润=总销售额总成本。（4）动点问题：此类问题是一般几何问题的延伸，根据条件设出未知数后，要想办法把图中变化的线段用 未知数表示出来，再根据题目中的等量关系列出方程。2 .注重解法的选择与验根：在具体问题中要注意恰当的选择解法，以保证解题过程简洁流畅，特别要对方程的解注意检验，根据实际做出正确取舍，以保证结论的准确性.一元二次方程与实际问题1、病毒传播问题2、树干问题3、握手问题（单循环问题）4、贺卡问题（双循环问题

7、）5、围栏问题6、几何图形（道路、做水箱）7、增长率、降价率问题8、利润问题（注意减少库存、让顾客受惠等字样）9、数字问题 10、折扣问题第二十二章二次函数一、二次函数概念：1 .二次函数的概念：一般地，形如y=ax2+bx+c (a, b, c是常数，a#0)的函数，叫做二次函数。这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数 a*0,而b, c可以为零.二次函数的定义域是全 体实数.2 .二次函数y=ax2+bx+c的结构特征： 等号左边是函数，右边是关于自变量 x的二次式，x的最高次数是2.a,b,c是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项.二、二次函数的基本形式1.二次函数基本

8、形式：y=ax2的性质：a的绝对值越大，抛物线的开口越小。a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a >0x>0时，y随x的增大而 ； x<0时，y随 x的增大而; x =0时，y有最值.a <0x>0时，y随x的增大而； x<0时，y随x的增大而； x=0时，y有最值.2y =ax c的性质:上加下减。a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a >0x>0时，y随x的增大而； x<0时，y随x的增大而； x = 0时，y有最值一.a <0x>0时，y随x的增大而； x<0时，y随x的增大而; x=0时，y有最值.2一 一y =a(x

9、 -h)的性质: 左加右减。a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a >0x>h时，y随x的增大而； x<h时，y随x的增大而； x = h时，y有最值.a <0x>h时，y随x的增大而 ； xch时，y随x 的增大而 ; x = h时，y有取 值 .24. y =a(xh )+k 的性质:a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a >0x>h时，y随x的增大而 ； x<h时，y随 x的增大而 ; x = h时，y有最值.a <0x>h时，y随x的增大而 ;x<h时，y随 x的增大而； x h时，y有最值三、二次函数图象的平移1 .平移步

10、骤：2万法一： 将抛物线解析式转化成顶点式y =a（x_h ）+k ,确定其顶点坐标 2保持抛物线y=ax的形状不变，将其顶点平移到 （h, k）处，具体平移方法如下：y=ax2y= y=ax 2+ k向右（h>0）【或左（h<0）】平移|k|个单位，、2 y=a(x-h)向上（k>0）【或向下（k<0）】平移|k|个单位向上（k>0）向上（k>0）【或下（k<0）平移|k|个单位向右（h>0）【或左（h<0）】平移|k|个单位向右（h>0）或左（h<0）】平移|k|个单位【或下（k<0）】平移|k|个单位之y=a （x-

11、h）2+k4a2 .平移规律在原有函数的基础上“ h值正右移，负左移；k值正上移，负下移”.概括成八个字“左 右,上 下方法二：6y=ax2+bx+c沿y轴平移：向上（下）平移 m个单位，y=ax2+bx + c变成 y=ax2+bx+c+m （或 y =ax2+bx+c m）丫=2*2 +bx+c沿轴平移：向左（右）平移 m个单位，y = ax2+bx + c变成y=a（x+m）2+b（x+m）+c （或 y = a（x - m）2 +b（x - m） + c）四、二次函数 y =a （xh j+k与y =ax2+bx+c的比较从解析式上看，y =a（x -h 2 +k与y =ax2 +bx

12、 +c是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前b4ac - bb 4ac - b者，即 y =a x+ +,其中 h = , k =.2a 4a2a 4a五、二次函数y = ax2 bx，c图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数y=ax2+bx+c化为顶点式y=a（x-h）2+k,确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图 .一般我们选取的五点为：顶点、与 y 轴的交点（0, c卜以及（0, c）关于对称轴对称的点（2h, c卜与x轴的交点（x1, 0）, （%,0）（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，

13、顶点，与x轴的交点，与y轴的交点.六、二次函数y =ax2 bx , c的性质1 .当a>0时，抛物线开口向上，对称轴为2b 4ac - b4a2a2小值或34ay随x的增大而减小；当x > 时，y随x的增大而增大；当 2ax 时，y有最2a2 .当a<0时，抛物线开口向下，对称轴为x =14ac -b24a随x的增大而增大；当 x>一包时，y随x的增大而减小；当 x =-2 时, 2a2ay有最大值当x < -时,y2a24ac -b七、二次函数解析式的表示方法1 . 一般式：y=ax2+bx+c （a, b , c 为常数，a#0）;2 .顶点式：y=a（xh

14、）2+k （a, h, k 为常数，a#0）;3 .两根式（两点式）：y =a（x _xj（xX2）（ a #0 ,为，x2是抛物线与x轴两交点的横坐标） 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x轴有交点，即b24ac之0时，抛物线的解析式才可以用交点式表示.二次函数解析式的这三种形式可以互化.八、二次函数的图象与各项系数之间的关系1 .二次项系数a二次函数y=ax2+bx+c中，a作为二次项系数，显然 a#0.当aA0时，抛物线开口向上， a的值越大，开口越小，反之 a的值越小，开口越大；当a<0时，抛物线开口向下， a的

15、值越小，开口越小，反之 a的值越大，开口越大.总结起来，a决定了抛物线开口的大小和方向，a的正负决定开口方向，a的大小决定开口的大小.2 . 一次项系数b在二次项系数a确定的前提下，b决定了抛物线的对称轴.在a >0的前提下，当b >0时，-b-<0 ,即抛物线的对称轴在 y轴左侧；2a当b =0时，_-b-=0 ,即抛物线的对称轴就是 y轴；2a当b <0时，-b->0 ,即抛物线对称轴在 y轴的右侧.2a 在a <0的前提下，结论刚好与上述相反，即当b >0时，-b->0 ,即抛物线的对称轴在 y轴右侧；2a当b =0时， 上 =0 ,即抛物

16、线的对称轴就是 y轴；2a当b <0时，-b-<0 ,即抛物线对称轴在 y轴的左侧.2a总结起来，在a确定的前提下，b决定了抛物线对称轴的位置.bab的符号的判定：对称轴 x =-在y轴左边则ab>0,在y轴的右侧则ab<0,概括的说就 2a是“左同右异”总结：3 .常数项c 当c>0时，抛物线与y轴的交点在x轴上方，即抛物线与 y轴交点的纵坐标为正； 当c=0时，抛物线与y轴的交点为坐标原点，即抛物线与y轴交点的纵坐标为 0; 当c<0时，抛物线与y轴的交点在x轴下方，即抛物线与 y轴交点的纵坐标为负.总结起来，c决定了抛物线与y轴交点的位置.总之，只要a

17、, b, c都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的.二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法.用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便.一般来说，有如下几种情况：1 .已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2 .已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3 .已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4 .已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式九、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达1.2.3.4.关于x轴对称y=ax2 +bx+c关于x轴对称后，得到的解析

18、式是2y =a(x h j +k关于x轴对称后，得到的解析式是 关于y轴对称y=ax2 +bx+c关于y轴对称后，得到的解析式是2y =a(x -h j +k关于y轴对称后，得到的解析式是 关于原点对称y=ax2-bx-c关于原点对称后，得到的解析式是2y=a(x-h ) +k关于原点对称后，得到的解析式是关于顶点对称(即：抛物线绕顶点旋转180。)-2y =-ax -bx -c ；2y =-a(x -h)k ；2,y =ax -bx+c;2y =a(x +h)+k ;-2y = -axbx -c ；2y =-a(x + h j -k ；y=ax2-bx-c关于顶点对称后，得到的解析式是2b2

19、y =-ax bx + c ; 2a2. 一. .一 一 .y=a(x-h ) +k关于顶点对称后，得到的解析式是2y = -a x-h -k5.关于点2.一 一 .2y =a(xh §+k关于点(m , n )对称后，得至解析式是 y=-a(x+h-2m) +2n-k根据对称的性质，显然无论作何种对称变换， 抛物线的形状一定不会发生变化，因此|a永远不变.求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定 原抛物线(或表达式已知的抛物线)的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方 向，然后再写出其对称抛物线的表达式.十、二次

20、函数与1.二次函数与一，兀一次方程：元二次方程的关系(二次函数与二次方程 ax2+bx+c =0是二次函数 yx轴交点情况)：2=ax + bx + c当函数值y = 0时的特殊情况.b2 4ac当当1'2'2.抛物线y求二次函数的图象与 x轴的交点坐标，需转化为二次方程;图象与x轴的交点个数： 当A=b24ac>0时，图象与x轴交于两点 A(x1 , 0,B(x2, 0 )(x1 ¥ %),其中的为，x2是一元二次方程ax2 +bx +c =0(a #0 )的两根.这两点间的距离 AB = 2 一%= =0时，图象与x轴只有一个交点； <0时，图象与x轴

21、没有交点.当a>0时，图象落在x轴的上方，无论x为任何实数，都有 y>0； 当a<0时，图象落在x轴的下方，无论x为任何实数，都有 y <0 .，=ax2 +bx+c的图象与y轴一定相交，交点坐标为 (0, c);3.二次函数常用解题方法总结:求二次函数的最大(小)值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；根据图象的位置判断二次函数 y =ax2 +bx +c中a, b , c的符号，或由二次函数中 号判断图象的位置，要数形结合；(4)x轴的二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标

22、>0抛物线与x轴有 两个交点二次二项式的值可止、 可零、可负一兀二次方程有两个/、相等实根0 =0抛物线与x轴只 有一个交点二次三项式的值为非负一兀二次方程有两个相等的实数根 <0抛物线与x轴无交占 八、二次三项式的值恒为正一兀二次方程无实数根.与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式ax2+bx+c(a=0)本身就是所含字母 x的二次函数；下面以a>0时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：图像参考：y=3 (x+4) 2y=3 x2卜一、函数的应用'刹车距离二次函数应用J何时获得最大利润最大面积是多少L二次函数考查重点与常见题型1 .考查二

23、次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中，如：已知以x为自变量的二次函数 y=(m2)x2 +m2m2的图像经过原点，则m的值是2 .综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像，习题的特点是在同一直角坐标系内考 查两个函数的图像，试题类型为选择题，如：如图，如果函数y =kx+b的图像在第一、二、三象限内，那么函数y = kx2+bx 1的图像大致是()5已知一条抛物线经过(0,3) , (4,6)两点，对称轴为x=,求这条抛物线的解析式。34.考查用配方法求抛物线的顶点坐标、对称轴、二次函数的极值，有关试题为解答题，如：3已知抛物线y=ax2+bx+c (a w 0)与x轴的两个交

24、点的横坐标是一1、3,与y轴交点的纵坐标是一2(1)确定抛物线的解析式；(2)用配方法确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标5 .考查代数与几何的综合能力，常见的作为专项压轴题。【例题经典】由抛物线的位置确定系数的符号例1 (1)二次函数y =ax2 +bx+c的图像如图1,则点M (b,-)在()aA .第一象限 B .第二象限 C .第三象限 D .第四象限(2)已知二次函数 y=ax2+bx+c (aw0)的图象如图2所示，？则下列结论：a、b同号；当x=1和x=3时，函数值相等；4a+b=0;当y=-2时，x的值只能取0.其中正确的个数是()A. 1个 B .2个 C .3个 D .4

25、个(1)(2)【点评】弄清抛物线的位置与系数a, b, c之间的关系，是解决问题的关键.例2,已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点(-2 , O)、(xi, 0),且1<xi<2,与y轴的正半轴的交 点在点(O, 2)的下方.下列结论： a<b<0;2a+c>O;4a+c<O;2a-b+1>O,其中正确结论的个数为 ()A 1 个B. 2 个C. 3 个D.4个会用待定系数法求二次函数解析式例3,已知：关于x的一元二次方程 ax2+bx+c=3的一个根为x=-2 ,且二次函数y=ax2+bx+c的对称轴是直线x=2,则抛物线的顶点坐标为

26、()A(2, -3) B.(2, 1) C(2,3) D .(3,2)L向正方形移动，直到AB与CD重合.设例4、如图(单位：mD,等腰三角形ABC以2米/秒的速度沿直线x秒时，三角形与正方形重叠部分的面积为ym2.(1)写出y与x的关系式；(2)当x=2, 3.5时，y分别是多少？(3)当重叠部分的面积是正方形面积的一半时， 三角形移动了多长时间？求抛物线顶点坐标、 对称轴.例5、已知抛物线y= x2+x- 5 .22(1)用配方法求它的顶点坐标和对称轴.(2)若该抛物线与x轴的两个交点为 A、B,求线段AB的长.【点评】本题(1)是对二次函数的“基本方法”的考查，第(2)问主要考查二次函数

27、与一元二次方程的关系.例6.已知：二次函数y=ax2-(b+1)x-3a 的图象经过点P(4,10)，交x轴于A(x1,0) , B(x2,0)两点(x1 < x2),交y轴负半轴于 C点，且满足3AO=OB(1)求二次函数的解析式；(2)在二次函数的图象上是否存在点M,使锐角/ MCO>ACO若存在，请你求出M点的横坐标的取值范围；若不存在，请你说明理由.一 一，一 12， 一一一1例7、已知函数y = x2+bx+c的图象经过点 a （c, 2）,2求证：这个二次函数图象的对称轴是x=3。”题目中的矩形框部分是一段被墨水污染了无法辨认的文字。（1）根据已知和结论中现有的信息，你

28、能否求出题中的二次函数解析式？若能，请写出求解过程，并画出二次函数图象；若不能，请说明理由。（2）请你根据已有的信息，在原题中的矩形框中，填加一个适当的条件，把原题补充完整。点评：对于第（1）小题，要根据已知和结论中现有信息求出题中的二次函数解析式，就要把原来的结论“函数图象的对称轴是 x=3”当作已知来用，再结合条件“图象经过点A （c, 2）”，就可以列出两个方程了，而解析式中只有两个未知数，所以能够求出题中的二次函数解析式。对于第（2）小题，只要给出的条件能够使求出的二次函数解析式是第（1）小题中的解析式就可以了。而从不同的角度考虑可以添加出不同的条件，可以考虑再给图象上的一个任意点的坐

29、标，可以给出顶点的坐标或与坐标轴的一个交 点的坐标等。x （元）？与产品的日销售量y （件）之间的关用二次函数解决最值问题例1某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售价系如下表：x （元）152030y （件）252010若日销售量y是销售价x的一次函数.?此时每日销售利润是多少元?（1）求出日销售量y （件）与销售价x （元）的函数关系式；（2）要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少元?【点评】解决最值问题应用题的思路与一般应用题类似，也有区别，主要有两点：（1）设未知数在“当某某为何值时，什么最大（或最小、最省） ”的设问中，？ “某某”要设为自变量，“什么”要设为函 数；

30、（2） ?问的求解依靠配方法或最值公式，而不是解方程.例2.你知道吗？平时我们在跳大绳时，绳甩到最高处的形状可近似地看为抛物线.如图所示，正在甩绳的甲、乙两名学生拿绳的手间距为4 m,距地面均为1m,学生丙、丁分别站在距甲拿绳的手水平距离1m1.5 m,则学生丁的身高为2. 5 m处.绳子在甩到最高处时刚好通过他们的头顶.已知学生丙的身高是(建立的平面直角坐标系如右图所示)()A. 1.5 mB. 1. 625 mC. 1. 66 m D . 1. 67 m分析：本题考查二次函数的应用第二十三章 旋转一、旋转1 、定义把一个图形绕某一点 。转动一个角度的图形变换叫做旋转，其中。叫做旋转中心，转

31、动的角叫做旋转角。2、性质(1)对应点到旋转中心的距离相等。(2)对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。二、中心对称1 、定义把一个图形绕着某一个点旋转 180。，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心。2、性质(1)关于中心对称的两个图形是全等形。(2)关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分。(3)关于中心对称的两个图形，对应线段平行(或在同一直线上)且相等。3、判定如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称。4、中心对称图形把一个图形绕某一个点旋转 180。，

32、如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个店就是它的对称中心。考点五、坐标系中对称点的特征(3分)1 、关于原点对称的点的特征两个点关于原点对称时，它们的坐标的符号相反，即点P (x, y)关于原点的对称点为 P' (-x, -y)2、关于x轴对称的点的特征两个点关于x轴对称时，它们的坐标中，x相等，y的符号相反，即点 P (x, y)关于x轴的对称点为 P' (x, -y )3、关于y轴对称的点的特征两个点关于y轴对称时，它们的坐标中，y相等，x的符号相反，即点 P (x, y)关于y轴的对称点为 P' (-x , y)第二十四章圆一

33、、知识回顾圆的周长：C=2 % r或C=tt d、圆的面积：S=tt r2圆环面积计算方法：S=tt R2-兀r2或S=tt ( R2-r 2) (R是大圆半径，r是小圆半径)二、知识要点一、圆的概念集合形式的概念：1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；2 、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合;3 、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合轨迹形式的概念：1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；固定的端点 O为圆心。连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫直径。圆上任意两点之间的部 分叫做圆弧，简称弧。2、垂直平分线：到线

34、段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线；3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。三、直线与圆的位置关系二、点与圆的位置关系1、点在圆内二 d2、点在圆上 =d3、点在圆外 二d<r= 点C在圆内;=r二 点B在圆上;>r二 点A在圆外;1、直线与圆相离2、直线与圆相切二 d >r = 无交点;= d = r = 有一个交点;3、直线与圆相交=d <r = 有两个交点;四

35、、圆与圆的位置关系外离（图1）无交点外切（图2）有一个交点相交（图3）有两个交点内切（图4）有一个交点无交点内含（图5）图4定理五、垂径垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。推论1： （1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧;（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧;（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧只要知道其中2个即可推出其它3以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共 5个结论中,个结论，即:AB是直径 AB_LCD CE=DE 弧 BC =弧 BD弧AC =弧AD中任意2个条件推出其他3个结论。推论2：圆的两条

36、平行弦所夹的弧相等。即：在。O 中，AB / CD弧 AC =弧 BD此定理也六、圆心角定理顶点到圆心的角，叫圆心角。圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等。称1推3定理，即上述四个结论中, 只要知道其中的1个相等，则可以推出其它的 3个结论,即： /AOB=/DOE ； AB =DE ； OC=OF ;弧 BA=MBD七、圆周角定理 顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角，叫圆周角。1、圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。即：: /AOB和/ACB是弧AB所对的圆心角和圆周角. AOB =2 ACB2、圆周角定理的推论:推论1:同弧或等弧

37、所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧;即：在。中，/C、/D都是所对的圆周角推论2:半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆,所对的弦是直径。即：在。中，AB是直径或 C =90. C =90AB是直径ABC是直角三角形或 /C = 90推论3:若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。即：在 ABC 中，OC=OA=OB注：此推论实是初二年级几何中矩形的推论：在直角三角形中斜边上的中线等 于斜边的一半的逆定理。八、圆内接四边形圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。DCBEAO性质定理推论MNABPO平分/

38、BPAOp圆骞定理AODOBPAC线段的比例中项COBADAEOPCB四边形ABCD是内接四边形MN _L OA且MN过半径OA外端DAE = C推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的过圆心；过切点；垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后PA =PBO EPA PB = PC(1)切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线(1)相交弦定理：圆内两弦相交，交点分得的两条线段的乘积相等。AB、CD相交于点PPA、PB是的两条切线,C . BAD =180. B . D =180CE2 =AE BE直径 AB-LCD ,即：在。O中，线与圆交点的两条线段长的比例中项。即：在。中，PA是