材料力学：第四章 弯曲 （5）

1、14-5 梁横截面上的切应力梁横截面上的切应力梁的切应力强度条件梁的切应力强度条件I. 梁横截面上的切应力梁横截面上的切应力1. 矩形截面梁矩形截面梁从发生横力弯曲的梁中取出长为从发生横力弯曲的梁中取出长为dx的微段，如图所示。的微段，如图所示。hbzyO2 由于由于m-m和和n-n上的弯矩不相等，故两截面上对应点处上的弯矩不相等，故两截面上对应点处的弯曲正应力的弯曲正应力s s1和和s s2不相等。因此，从微段中用距离中性层不相等。因此，从微段中用距离中性层为为y且平行于它的纵截面且平行于它的纵截面AA1B1B假想地截出的体积元素假想地截出的体积元素mB1(图图a及图及图b)，其两个端面，其

2、两个端面mmA1A上与正应力对应的法向上与正应力对应的法向内力内力F*N1和和F*N1也不相等。也不相等。3*111*1N*dddzzAzAzASIMAyIMAIMyAF s s*112*N2dddd)d(d*zzAzAzASIMMAyIMMAyIMMAF s s它们分别为它们分别为式中，式中， 为面积为面积A*(图图b)对中性轴对中性轴z的静矩；的静矩； A*为横截面上距中性轴为横截面上距中性轴z为为y的横线的横线AA1和和BB1以外部分的面以外部分的面积积(图图b中的阴影线部分中的阴影线部分)。 *d1*AzAyS4 0 xF*N1*N2SdFFF *SddzzSIMF 即即由于由于 ，故

3、纵截面，故纵截面AA1B1B上有切向内力上有切向内力dFS(图图b)：*1N*2NFF 5 为确定离中性轴为确定离中性轴z为为y的这个纵截面上与切向内力的这个纵截面上与切向内力dFS对对应的切应力应的切应力t t，先分析横截面与该纵截面的交线，先分析横截面与该纵截面的交线AA1处横截处横截面上切应力面上切应力t t 的情况：的情况：6 1. 由于梁的侧面为自由表面由于梁的侧面为自由表面(图图a和图和图b中的面中的面mABn为梁为梁的侧表面的一部分的侧表面的一部分)，其上无切应力，故根据切应力互等定，其上无切应力，故根据切应力互等定理可知，横截面上侧边处的切应力必与侧边平行；理可知，横截面上侧边

4、处的切应力必与侧边平行； 2. 对称弯曲时，对称轴对称弯曲时，对称轴y处的切应力必沿处的切应力必沿y轴方向，亦轴方向，亦即与侧边平行。即与侧边平行。7从而对于狭长矩形截面可以假设：从而对于狭长矩形截面可以假设：1. 横截面上各点处的切应力均与侧边平行；横截面上各点处的切应力均与侧边平行；2. 横截面上距中性轴等远处的切应力大小相等。横截面上距中性轴等远处的切应力大小相等。zyy8 于是根据切应力互等定理可知，距中性层为于是根据切应力互等定理可知，距中性层为y的纵截面的纵截面AA1B1B上在与横截面的交线上在与横截面的交线AA1处处各点的切应力各点的切应力t t 均与横均与横截面正交，且大小相等

5、截面正交，且大小相等。至于。至于t t 在在dx长度内可以认为没有长度内可以认为没有变化。这也就是认为，纵截面变化。这也就是认为，纵截面AA1B1B上的切应力上的切应力t t 在该纵在该纵截面范围内是没有变化的。于是有截面范围内是没有变化的。于是有xbFddSt t 9 根据切应力互等定理可知，梁的横截面上距中性轴根据切应力互等定理可知，梁的横截面上距中性轴z的距离为的距离为y处的切应力处的切应力t t 必与必与t t 互等，从而亦有互等，从而亦有 以上式代入前已得以上式代入前已得出的式子出的式子*SddzzSIMF bISFzz*S t txbFddSt t bISFbISxMzzzz*S*

6、dd t t得得10矩形截面梁横力弯曲时切应力计算公式矩形截面梁横力弯曲时切应力计算公式式中，式中，FS为横截面上的剪力；为横截面上的剪力；Iz 为整个横截面对于中性轴的惯性为整个横截面对于中性轴的惯性矩；矩；b为矩形截面的宽度为矩形截面的宽度(与剪力与剪力FS垂直的截面尺寸垂直的截面尺寸)；Sz*为横截面为横截面上求切应力上求切应力t t 的点处横线的点处横线以外部分以外部分面积对中性轴的静面积对中性轴的静 矩矩矩矩， *d1*AzAyS 上式就是矩形截面等直梁在对称弯曲时横截面上任一点处上式就是矩形截面等直梁在对称弯曲时横截面上任一点处切应力的计算公式。切应力的计算公式。bISFzz*S

7、t tzyy11横截面上切应力的变化规律横截面上切应力的变化规律 前已讲到，等直的矩形截面梁横力弯曲时，在对称弯前已讲到，等直的矩形截面梁横力弯曲时，在对称弯曲情况下距中性轴等远处各点处的切应力大小相等。现在曲情况下距中性轴等远处各点处的切应力大小相等。现在分析横截面上切应力分析横截面上切应力t t 在与中性轴垂直方向的变化规律。在与中性轴垂直方向的变化规律。 上述切应力计算公式中，上述切应力计算公式中，FS在一定的横截面上为一定在一定的横截面上为一定的量，的量，Iz和和b也是一定的，可见也是一定的，可见t t 沿截面高度沿截面高度(即随坐标即随坐标y)的的变化情况系由部分面积的静矩变化情况系

8、由部分面积的静矩Sz*与坐标与坐标y之间的关系确定。之间的关系确定。bISFzz*S t t12 222111*42dd*yhbybyAySAhyz 22S22S4242yhIFyhbbIFzzt tbhdy1yyzOy113 AFbhFbhhFIhFz23231288SS32S2Smax t t可见：可见： 1. t t 沿截面高度系按二次沿截面高度系按二次抛物线规律变化；抛物线规律变化； 2. 同一横截面上的最大切同一横截面上的最大切应力应力t tmax在中性轴处在中性轴处(y=0): 22S42yhIFzt t142. 工字形截面梁工字形截面梁 22*22222 222yhdhbyyhd

9、yhhbSz (1) 腹板上的切应力腹板上的切应力dISFzz*S t t其中其中15 可见腹板上的切应力在与中性轴可见腹板上的切应力在与中性轴z垂直的方向按二次垂直的方向按二次抛物线规律变化。抛物线规律变化。16(2) 在腹板与翼缘交界处：在腹板与翼缘交界处：在中性轴处：在中性轴处： t t hbdIFz2Smin 2S*max,Smax222 t thdhbdIFdISFzzz17(3) 翼缘上的切应力翼缘上的切应力 翼缘横截面上平行于剪力翼缘横截面上平行于剪力FS的切应力在其上、下边缘处的切应力在其上、下边缘处为零为零( (因为翼缘的上、下表面无因为翼缘的上、下表面无切应力切应力) )，

10、可见翼缘横截面上其，可见翼缘横截面上其它各处平行于它各处平行于FS的切应力不可的切应力不可能大，故不予考虑。分析表明，能大，故不予考虑。分析表明，工字形截面梁的腹板承担了整工字形截面梁的腹板承担了整个横截面上剪力个横截面上剪力FS的的90%以上。以上。18 由由56a号工字钢制成的简支梁如图号工字钢制成的简支梁如图a所示，试求梁的横所示，试求梁的横截面上的最大切应力截面上的最大切应力t tmax和同一横截面上腹板上和同一横截面上腹板上a点处点处( (图图b) )的切应力的切应力t t a 。不计梁的自重。不计梁的自重。例题例题 4-5-2191. 求求t tmax 梁的剪力图如图梁的剪力图如图

11、c所示，由图可见所示，由图可见FS,max=75kN。由型钢表。由型钢表查得查得56a号工字钢截面的尺寸如图号工字钢截面的尺寸如图b所示，所示，Iz=65 586 cm4和和Iz/S * z,max=47.73cm。d=12.5mm解解:例题例题 4-5-220 MPa6 .12Pa106 .12m105 .12m1073.47N10756323*max,max,S*max,max,Smax dSIFdISFzzzzt t例题例题 4-5-221dISFzzaa*max,S t t其中：其中：33*mm109402mm212mm560mm21mm166 zaS于是有：于是有： MPa6 . 8

12、Pa106 . 8m105 .12m1065586m10940N10756348363 at t2. 求求t ta例题例题 4-5-222腹板上切应力沿高度的变化规律如图所示。腹板上切应力沿高度的变化规律如图所示。t tmax例题例题 4-5-2233. 薄壁环形截面梁薄壁环形截面梁 薄壁环形截面梁在竖直平面内弯薄壁环形截面梁在竖直平面内弯曲时，其横截面上切应力的特征如曲时，其横截面上切应力的特征如图图a所示：所示： (1) 由于由于d r0，故认为切应力，故认为切应力t t 的的大小和方向沿壁厚大小和方向沿壁厚 无变化；无变化； (2) 由于梁的内、外壁上无切应力，由于梁的内、外壁上无切应力

13、，故根据切应力互等定理知，故根据切应力互等定理知，横截面横截面上切应力的方向与圆周相切上切应力的方向与圆周相切；24 (3) 根据与根据与y轴的对称关系可知：轴的对称关系可知： (a) 横截面上与横截面上与y轴相交的各点轴相交的各点处切应力为零；处切应力为零； (b) y轴两侧各点处的切应力其轴两侧各点处的切应力其大小及指向均与大小及指向均与y轴对称。轴对称。25 2000*22rrrSz 薄壁环形截面梁横截面上的最大切应力薄壁环形截面梁横截面上的最大切应力t tmax在中性轴在中性轴z上，半个环形截面的面积上，半个环形截面的面积A*=p pr0 ，其形心离中性轴的，其形心离中性轴的距离距离(

14、图图b)为为 ，故求，故求t tmax时有时有20r26302002p22drrrAIA zyzAAAAIIIAzAyAzyAI2 dddd22222p 及及30p21rIIz 得出：得出： 整个环形截面对于中性轴整个环形截面对于中性轴z的的惯性矩惯性矩Iz可利用整个截面对于圆可利用整个截面对于圆心心O的极惯性矩得到，如下：的极惯性矩得到，如下：27从而有从而有 AFrFrrFISFzzSS0S3020S*max2222 t t式中，式中， A=2p pr0 为整个环形截面的面积。为整个环形截面的面积。28(4) 圆截面梁圆截面梁 圆截面梁在竖直平面内弯曲时，圆截面梁在竖直平面内弯曲时，其横截

15、面上切应力的特征如图其横截面上切应力的特征如图a所所示：认为离中性轴示：认为离中性轴z为任意距离为任意距离y的的水平直线水平直线kk上各点处的切应力均汇上各点处的切应力均汇交于交于k点和点和k点处切线的交点点处切线的交点O ，且这些切应力沿且这些切应力沿y方向的分量方向的分量t ty相等。相等。因此可先利用公式因此可先利用公式 求出求出kk上各点的切应力竖向上各点的切应力竖向分量分量t ty ，然后求出各点处各自的切应力。，然后求出各点处各自的切应力。kkzzybISF *St t29AFdFddddFdISFzz344346432421S2S42S*Smax t t 圆截面梁横截面上的最大圆

16、截面梁横截面上的最大切应力切应力t tmax在中性轴在中性轴z处，其计处，其计算公式为算公式为30II. 梁的切应力强度条件梁的切应力强度条件 图图a所示受满布均布荷载的所示受满布均布荷载的简支梁，其最大弯矩所在跨中简支梁，其最大弯矩所在跨中截面上、下边缘上的截面上、下边缘上的C点和点和D点处于点处于单轴应力状态单轴应力状态(state of uniaxial stress) (图图d及图及图e)，故，故根据这些点对该梁进行强度计根据这些点对该梁进行强度计算时其强度条件就是按单轴应算时其强度条件就是按单轴应力状态建立的正应力强度条件力状态建立的正应力强度条件 s ss s max31 该梁最大

17、剪力所在两个支该梁最大剪力所在两个支座截面的中性轴上座截面的中性轴上E和和F点，点，通常略去约束力产生的挤压应通常略去约束力产生的挤压应力而认为其处于力而认为其处于纯剪切应力状纯剪切应力状态态 (shearing state of stress ) (图图f及图及图g)，从而其切应力强，从而其切应力强度条件是按纯剪切应力状态建度条件是按纯剪切应力状态建立的，即梁的切应力强度条件立的，即梁的切应力强度条件为为亦即亦即 t tt t max t t bISFzz*max,max,S式中，式中，t t 为材料在横力弯曲时的许用切应力。为材料在横力弯曲时的许用切应力。32 梁在荷载作用下，必须同时满足

18、正应力强度条件和切应梁在荷载作用下，必须同时满足正应力强度条件和切应力强度条件。在选择梁的截面尺寸时，通常先按正应力强力强度条件。在选择梁的截面尺寸时，通常先按正应力强度条件定出截面尺寸，再按切应力强度条件校核。度条件定出截面尺寸，再按切应力强度条件校核。bhqlbhqlAF4322323maxSmaxt2222maxmax4368bhqlbhqlWMshlmaxmaxts33 图图a所示梁，其既有剪所示梁，其既有剪力又有弯矩的横截面力又有弯矩的横截面m-m上任意点上任意点G和和H处于如图处于如图h及图及图i所示的所示的平面应力状态平面应力状态(state of plane stress)。3

19、4 需要指出，对于工字钢梁如果同一横截面上的弯矩和剪力需要指出，对于工字钢梁如果同一横截面上的弯矩和剪力都是最大的都是最大的(图图a、b、c)(或分别接近各自的最大值或分别接近各自的最大值) 则该截面则该截面上腹板与翼缘交界点处由于正应力和切应力均相当大上腹板与翼缘交界点处由于正应力和切应力均相当大 (图图d)，因此处于平面应力状态因此处于平面应力状态(图图e)。这样的点必须进行强度校核。这样的点必须进行强度校核。35 但要注意，这时不能分别按正应力和切应力进行强度校核，但要注意，这时不能分别按正应力和切应力进行强度校核，而必须考虑两种应力的共同作用，见第七章中例题而必须考虑两种应力的共同作用

20、，见第七章中例题7-7。36 此外，在最大弯矩所在横截面上还有剪力的情况，工字钢此外，在最大弯矩所在横截面上还有剪力的情况，工字钢翼缘上存在平行于翼缘横截面边长的切应力，因此最大弯曲正翼缘上存在平行于翼缘横截面边长的切应力，因此最大弯曲正应力所在点处也还有切应力，这些点事实上处于平面应力状态，应力所在点处也还有切应力，这些点事实上处于平面应力状态，只是在工程计算中对于它们通常仍应用按单轴应力状态建立的只是在工程计算中对于它们通常仍应用按单轴应力状态建立的强度条件。强度条件。374-6 梁的合理设计梁的合理设计I. 合理配置梁的荷载和支座合理配置梁的荷载和支座382max125. 00qlMMaC 时时当当2max0214. 0207. 0qlMMMlaCB 时时当当39II. 合理选取截面形状合理选取截面形状 (1) 尽可能使横截面上的面积分布在距中性轴较远处，尽可能使横截面上的面积分布在距中性轴较远处，以使弯曲截面系数以使弯曲截面系数Wz增大。增大。 由四根由四根100 mm80 mm10 mm不等边角钢按四种不不等边角钢按四种不同方式焊成的梁同方式焊成的梁(角钢的长肢均平放，故四种截面的高度角钢的长肢均平放，故四种截面的高度均为均为160 mm)，他们在竖直平面内弯曲时横截面对于中性，他们在竖直平面内弯曲时横截面对于中性轴的惯性矩轴的惯性矩Iz和弯曲截面系数和