函数与导数经典例题(含答案)

1、精品资料欢迎下载函数与导数1. 已知函数f ( x)4x33tx 26txt1, xR ，其中 tR （）当 t1 时，求曲线yf ( x) 在点 (0, f (0) 处的切线方程；（）当 t0 时，求 f (x) 的单调区间；（）证明：对任意的t(0,), f ( x) 在区间 (0,1) 内均存在零点【解析】（ 19）本小题主要考查导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性、曲线的切线方程、函数的零点、解不等式等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法，满分14 分。（）解：当 t 1时， f (x)4x33x26x, f (0) 0, f ( x)12x26xf(0)6. 所以曲线 yf

2、 (x) 在点 (0,f (0) 处的切线方程为y6x.（）解： f ( x)12x26tx6t 2 ，令 f ( x)0 ，解得 xt或 xt .因为 t0 ，以下分两种情况讨论：2（ 1）若 ttt ,当 x 变化时， f(x), f ( x) 的变化情况如下表：0,则x2ttt ,t,22f( x)+-+f ( x)所以， f( x) 的单调递增区间是, t,t ,; f ( x) 的单调递减区间是2（ ）若t0, 则t，当x变化时， f (x), f ( x) 的变化情况如下表：2tx2,tttt,2,2f( x)+-+f ( x)所以， f( x) 的单调递增区间是,t,t ,; f

3、 ( x) 的单调递减区间是26t , t 。2tt,.精品资料欢迎下载（）证明：由（）可知，当t0 时， f ( x) 在 0, t内的单调递减，在t ,内单调22递增，以下分两种情况讨论：（ 1）当t1,即 t 2 时， f (x) 在（ 0， 1）内单调递减，2f (0)t 1 0, f (1)6t 24t364423 0.所以对任意 t2,), f ( x) 在区间（ 0， 1）内均存在零点。（2）当 0t1,即 0 t2时， f ( x) 在 0,tt内单调递增，若2内单调递减，在,122t (0,1, f17 t 3t17 t 30.244f (1)6t24t36t4t32t30.

4、t所以 f ( x)在,1 内存在零点。若 t(1,2), ft7 t 3t17 t 31 0.244f (0)t10所以 f ( x)在 0, t内存在零点。2所以，对任意 t(0,2),f ( x) 在区间（ 0， 1）内均存在零点。综上，对任意 t(0,), f (x) 在区间（ 0， 1）内均存在零点。2. 已知函数 f ( x)2 x1 ， h( x)x 32（）设函数F(x) 18f(x) x2 h(x)2 ，求 F(x)的单调区间与极值；（）设 aR ，解关于 x 的方程 lg31)3x) 2lg h(4 x) ；f (x 2lg h(a24（）设 nN* ，证明： f (n)h

5、(n) h(1)h(2)h( n)1 6本小题主要考查函数导数的应用、不等式的证明、解方程等基础知识，考查数形结合、函数与方程、分类与整合等数学思想方法及推理运算、分析问题、解决问题的能力解：（） F (x) 18 f ( x)x2 h (x) 2x312x9( x 0) ，F ( x)3x212 精品资料欢迎下载令F ( x)0 ，得 x2 （ x2 舍去）当 x(0,2)时 F (x) 0 ；当 x(2,) 时， F ( x)0 ，故当 x0,2)时， F (x) 为增函数；当x2,) 时， F (x) 为减函数x 2 为 F (x) 的极大值点，且F (2)824925（）方法一：原方程

6、可化为33log 2 h(ax)log2 h(4x) ，log 4 f (x1)24即为 log 4 ( x1) log 2axlog 24xlog 2ax ，且xa,1x4,4x当 1 a 4 时， 1x a ，则 x1a x ，即 x26x a 4 0 ，4x364( a4)204a0 ，此时 x6204a5a ， 1x a ，23此时方程仅有一解x35a 当 a4时， 1x4 ，由 x1ax ，得 x26xa40 ，364( a4)20 4a ，4x若 4a5，则0，方程有两解 x35a ；若 a5时，则0 ，方程有一解x3 ；若 a1或 a5 ，原方程无解方法二：原方程可化为log 4

7、 ( x1)log 2 h(4x)log2 h(ax) ，x10,1x 4即 14x0,log 2 ( x1) log24xlog 2ax ，xa,ax0,2a( x3)25.(x 1)(4x)ax.当 1a4时，原方程有一解x35a ；当 4a5时，原方程有二解x35a ；当 a5时，原方程有一解x3；当 a1或 a 5时，原方程无解（）由已知得 h(1)h(2)h( n)12n ，f (n)h(n)14n3n1 666设数列 an 的前 n 项和为 Sn，且 Snf ( n) h(n)1 （ nN*）6从而有 a1S11，当 2k100时， ak又 akk1 (4k3)k(4 k1)k 1

8、6116(4 k3)k(4k1)k1即对任意 k2时，有 akk ，又因为a1SkSk 14k 3 k4k 1 k 1 661(4k3)2 k(4k1)2 ( k 1)6(4k3) k(4 k1) k 10 11 ，所以 a1a2an12n 则Sn h(1)h(2)( )，故原不等式成立h n精品资料欢迎下载3. 设函数f ( x)a 2 ln xx 2ax ， a0（）求f ( x) 的单调区间；（）求所有实数a ，使 e1f ( x)e2 对 x1,e 恒成立注： e 为自然对数的底数【解析】（ 21）本题主要考查函数的单调性、导数运算法则、导数应用等基础知识，同时考查抽象概括、推理论证能

9、力。满分 15 分。（）解：因为f ( x)a2 ln xx2ax.其中 x0a2a(xa)(2 xa)所以 f ( x)2xxx由于 a 0 ，所以 f (x) 的增区间为(0, a) ，减区间为 ( a, )（）证明：由题意得，f (1)a1 c1,即ac由（）知f ( x)在1,e 内单调递增，要使 e1f (x)e2 对 x1,e 恒成立，f (1)a1e 1,只要a2e2ae e2f (e)解得 ae.4. 设 f ( x)ex2 ，其中 a 为正实数 .ax1（）当 a4 时，求 f ( x) 的极值点；3（）若f ( x) 为 R 上的单调函数，求a 的取值范围 .【解析】（ 1

10、8）（本小题满分13 分）本题考查导数的运算，极值点的判断，导数符号与函数单调变化之间的关系，求解二次不等式，考查运算能力，综合运用知识分析和解决问题的能力.2x 1axax解：对 f ( x) 求导得f ( x)e22.（I）当 a4 ，若 f ( x)0, 则 4x28x 3 0, 解得 x13 , x21 .322综合 ,可知精品资料欢迎下载x( ,1)1(1,3)3(3, )222222f (x)+00+f ( x)极大值极小值所以 , x131是极小值点 , x2是极大值点 .22（ II ）若 f ( x) 为 R 上的单调函数，则f( x) 在 R 上不变号，结合与条件a>

11、0 ，知ax 22ax 10在 R 上恒成立，因此4a 24a4a(a1) 0, 由此并结合 a 0 ，知 0 a1.5. 已知 a， b 为常数，且a 0，函数 f （ x） =-ax+b+axlnx ， f （e） =2（e=2 71828 是自然对数的底数）。（ I ）求实数 b 的值；（ II ）求函数 f（ x）的单调区间；（III ）当 a=1 时，是否同时存在实数m 和 M （ m<M ），使得对每一个t m， M ，直线y=t与曲线y=f （ x）（ x 1 ， e）都有公共点？若存在，求出最小的实数m 和最大的实数eM ；若不存在，说明理由。【解析】 22本小题主要考查

12、函数、导数等基础知识，考查推理论证能力、抽象概括能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想、分类与整合思想，满分14 分。解：（ I ）由 f (e)2得b2,（II ）由（ I）可得 f (x)ax 2 ax ln x.从而 f '( x)a ln x.因为 a 0，故：（1）当 a0时 ,由f'(x)>0得x>1, 由f'(x)<0得0<x<1;（2）当 a0时,由f '(x)0得0 x 1,由f '(x)0得x 1.综上，当 a0 时，函数 f(x) 的单调递增区间为(1, )，单调递减区间为

13、（0， 1）；当 a0 时，函数f (x) 的单调递增区间为（0， 1），精品资料欢迎下载单调递减区间为 (1, )。（III ）当 a=1 时， f (x)x2 x ln x, f '( x)ln x.由（ II ）可得，当 x 在区间 ( 1,e) 内变化时， f'( x), f ( x) 的变化情况如下表：xee111e(,1)(1,e)ef '( x)2f ( x)2e-0+单调递减极小值 1单调递增2又 222, 所以函数 f '( x)( x 1, e) 的值域为 1， 2。ee据经可得，若m1,1M，则对每一个 t m, M ，直线 y=t 与曲线

14、 yf (x)( x ,e) 都有2e公共点。并且对每一个 t(, m) (M ,) ，直线 yt 与曲线 y f (x)( x 1 , e) 都没有公共点。e综上，当 a=1 时，存在最小的实数m=1，最大的实数M=2 ，使得对每一个 t m, M ，直线y=t与曲线 y f ( x)( x 1 ,e) 都有公共点。e6. 设函数 f ()xx32ax2bxa ， gx( ) x23x2 ，其中 x R，a、 b 为常数，已知曲线yf (x) 与 yg (x) 在点（ 2,0）处有相同的切线 l。（I ） 求 a、 b 的值，并写出切线l 的方程；（II ）若方程 f ()xg ()xmx

15、有三个互不相同的实根0、 x 、 x ，其中 x1x2 ，且对任意的 xx1, x2， fx()g()xm( x 1) 恒成立，求实数 m 的取值范围。【解析】 20本题主要考查函数、导数、不等式等基础知识，同时考查综合运用数学知识进行推理论证的能力，以及函数与方程和特殊与一般的思想，（满分 13 分）解：（） f( x)3x24axb, g (x) 2x3.由于曲线 yf (x)与yg( x) 在点（ 2， 0）处有相同的切线，故有 f (2)g (2)0, f (2)g (2)1.精品资料欢迎下载由此得88a2ba0,解得 a2,128a b1,b5.所以 a2, b5 ，切线 l的方程为 xy20（）由（）得 f ( x) x34x25x2，所以 f ( x)g (x)x33x22 x.依题意，方程 x( x23x 2m)0有三个互不相同的实数0, x1 , x2 ，x , x是方程x23x 2 m0的两相异的实根。故 1 2所以94(2m)0,即 m1 .4又对任意的 x x1 , x2 , f (x)g( x)m( x1) 成立，特别地，取 xx1 时， f ( x1 )g( x1 )m