高考第一轮总复习二次函数（课堂PPT）

1、 二次函数二次函数基础知识基础知识 自主学习自主学习例题：解答题例题：解答题 (2010(2010江苏镇江调研江苏镇江调研) )已知二次函数已知二次函数f(x)=4xf(x)=4x2 2- - 2(p-2)x-2p 2(p-2)x-2p2 2-p+1-p+1在区间在区间-1,1-1,1内至少存在一个实内至少存在一个实 数数c,c,使使f(c)0,f(c)0,求实数求实数p p的取值范围的取值范围. . 解解 二次函数二次函数f f( (x x) )在区间在区间-1,1-1,1内至少存在一个内至少存在一个 实数实数c c, ,使使f f( (c c)0)0的否定是对于区间的否定是对于区间-1,1

2、-1,1内的任意内的任意 一个一个x x都有都有f f( (x x)0,)0,二次函数在区间二次函数在区间-1,1-1,1内至少存在一个实数内至少存在一个实数c c, ,使使 f f( (c c)0)0的实数的实数p p的取值范围是的取值范围是 012224012224010122ppppppff)()(,)()(即即.,323012093222 pppppp或或解得解得整理得整理得).,(233 基础知识基础知识一、二次函数的解析式一、二次函数的解析式1一般式：一般式：f(x) (a0)2顶点式：顶点式：f(x) (a0)，(k，h)为顶点为顶点坐标坐标3零点式：零点式：f(x) (a0)，

3、x1、x2为两实为两实根根求二次函数的解析式一般都是采用求二次函数的解析式一般都是采用 ax2bxca(xk)2ha(xx1)(xx2)待定系数法待定系数法二、二次函数在闭区间上的最大值和最小值二、二次函数在闭区间上的最大值和最小值对二次函数对二次函数f(x)a(xk)2h(a0)在区间在区间m，n上的上的最值问题，有以下结论：最值问题，有以下结论：1若若km，n，则，则ym i nf(k) ，ym a xmaxf(m)，f(n)或者离或者离k远的远的m，n对应的对应的y的值。的值。2若若k m，n，当当kn时，时，ymin ，ymax (当当a0时，图象与时，图象与x轴有两个交轴有两个交点点

4、M1(x1,0)、M2(x2,0)，则，则|M1M2| .b24ac|x1x2|2 2实系数二次方程实系数二次方程axax2 2bxbxc c0(0(a a0)0)，两根为，两根为x x1 1，x x2 2，则，则(1)(1)方程有两个不等正根方程有两个不等正根(2)(2)有两不等负根有两不等负根(3)(3)一正根一负根一正根一负根 ；x1x20(4)(4)x x1 1 x x2 2 00(5)(5)k k x x1 1 00(6)(6)x x1 1 k k 00f f( (k k) ) 0 0；0易错知识易错知识一、求二次函数解析式时，因设法不恰当致使计算一、求二次函数解析式时，因设法不恰当

5、致使计算量过大量过大1已知二次函数的图象经过点已知二次函数的图象经过点(1，6)、(1，2)和和(2,3)，则这个二次函数的解析式为，则这个二次函数的解析式为_答案：答案：yx22x52若二次函数的图象经过点若二次函数的图象经过点(0,1)，对称轴为，对称轴为x2，最小值为最小值为1，则它的解析式为，则它的解析式为_ .答案：答案：y x22x13已知抛物线与已知抛物线与x轴交于轴交于A(1,0)、B(1,0)，并经过，并经过点点M(0,1)，则它的解析式为，则它的解析式为_答案：答案：yx21二、对二次函数的性质理解不透彻二、对二次函数的性质理解不透彻4函数函数f(x)x22ax3在区间在区

6、间1,2上是单调函数，上是单调函数，则则a的取值范围是的取值范围是_答案：答案：(，12，)5若函数若函数f(x)(k2)x2(k1)x2是偶函数，则是偶函数，则f(x)的单调递增区间是的单调递增区间是_答案：答案：(，06若函数若函数yx2(a2)x3，xa，b的图象关于的图象关于直线直线x1对称，则对称，则b_.答案：答案：6三、对于含参数的函数求最值或值域因考虑不全失三、对于含参数的函数求最值或值域因考虑不全失误误7已知函数已知函数f(x)ax2(2a1)x3(a0)在区间在区间 ，2上的最大值为上的最大值为1，则实数，则实数a的值为的值为_答案：答案： 或或四、对于一元二次方程根的分布

7、问题因考虑不全失四、对于一元二次方程根的分布问题因考虑不全失误误8关于关于x的方程的方程x2(2a)x5a0的一个根大于的一个根大于0而小于而小于2，另一个根大于，另一个根大于4而小于而小于6，则，则a的取值范围是的取值范围是_答案：答案： a5回归教材回归教材1函数函数yx2bxc(x0，)是单调函数的充是单调函数的充要条件是要条件是()Ab0Bb0Cb0 Db0答案：答案：A2函数函数yx24x2在区间在区间1,4上的最小值是上的最小值是()A7B4C2D2解析：解析：y(x24x4)24(x2)22，在，在x4时，函数有最小值时，函数有最小值2.应选应选C.答案：答案：C3(教材教材P4

8、36题即题即2008高考安徽卷高考安徽卷)a0是方程是方程ax22x10至少有一个负数根的至少有一个负数根的()A必要不充分条件必要不充分条件B充分不必要条件充分不必要条件C充分必要条件充分必要条件D既不充分也不必要条件既不充分也不必要条件解析：解析：当当a0时，时，x1x2 0，方程方程ax22x10有一个负根；当有一个负根；当a0时，方程时，方程ax22x10的根为的根为x .a0是方程是方程ax22x10有一个负数根的充分不有一个负数根的充分不必要条件，故选必要条件，故选B.答案：答案：B4二次函数二次函数yax2bxc(a0)的图象如图所示，确的图象如图所示，确定下列各式的正负：定下列

9、各式的正负：b_，ac_，abc_.答案：答案：0005二次函数二次函数yf(x)满足满足f(0)f(2)，x1、x2是方程是方程f(x)0的两个实根，则的两个实根，则x1x2_.答案：答案：2【例【例1】已知二次函数】已知二次函数f(x)满足满足f(2)1，f(1)1，且，且f(x)的最大值是的最大值是8，试确定此二次函数的解析式，试确定此二次函数的解析式解析解析方法一：利用二次函数一般式方法一：利用二次函数一般式设设f(x)ax2bxc(a0)，由题意得由题意得解之得解之得二次函数为二次函数为y4x24x7.方法二：利用二次函数顶点式方法二：利用二次函数顶点式设设f(x)a(xm)2n，f

10、(2)f(1)，抛物线对称轴为抛物线对称轴为m ，又根据题意，函数有最大值为，又根据题意，函数有最大值为n8，yf(x)a 28.f(2)1，a 281.解之得解之得a4.f(x)4(x )284x24x7.方法三：利用双根式方法三：利用双根式(零点式零点式)由已知由已知f(x)10的两根为的两根为x12，x21，故可设故可设f(x)1a(x2)(x1)，即即f(x)ax2ax2a1.又函数有最大值又函数有最大值8.即即 8，解之得解之得a4或或a0(舍舍)，所求函数解析式为所求函数解析式为f(x)4x24x7.总结评述总结评述本题采用二次函数式的三种形式，以上本题采用二次函数式的三种形式，以

11、上三种解法求得，法一最好想，法二注重观察得三种解法求得，法一最好想，法二注重观察得f(2)f(1)，从而得，从而得f(x)的对称轴方程，法三采用构造法，由的对称轴方程，法三采用构造法，由f(2)f(1)1，构造了方程，构造了方程f(x)10，采用双根式表达，采用双根式表达f(x)1，从而得，从而得f(x)设二次函数设二次函数f(x)满足满足f(2x)f(2x)，且，且f(x)0的的两个实根的平方和为两个实根的平方和为10，f(x)的图象过点的图象过点(0,3)，求，求f(x)的解的解析式析式思路点拨：思路点拨：由由f(2x)f(2x)，可得函数，可得函数f(x)的图象的图象关于关于x2对称，故

12、可设函数对称，故可设函数f(x)a(x2)2k(a0)解析：解析：f(2x)f(2x)，f(x)的图象关于直线的图象关于直线x2对称，对称，于是，设于是，设f(x)a(x2)2k(a0)，则由则由f(0)3，可得，可得k34a，f(x)a(x2)234aax24ax3.ax24ax30的两实根的平方和为的两实根的平方和为10，10 xx(x1x2)22x1x216 ，a1.f(x)x24x3.方法技巧：方法技巧：本题可设本题可设f(x)ax2bxc(a0)，然后利，然后利用条件求出用条件求出a，b，c，从而求得二次函数解析式不过利，从而求得二次函数解析式不过利用隐含条件用隐含条件(即函数即函数

13、f(x)图象的对称轴为图象的对称轴为x2)，设，设f(x)a(x2)2k(a0)来解决更为简捷来解决更为简捷温馨提示：温馨提示：本题易忽视条件本题易忽视条件f(2x)f(2x)的挖掘的挖掘利用，而致使计算量明显加大利用，而致使计算量明显加大.【例【例2】(2009湖北黄冈湖北黄冈)已知已知y2x22ax3在区在区间间1,1上的最小值为上的最小值为f(a)，试求，试求f(a)的解析式，并指出函的解析式，并指出函数数yf(a)的单调性的单调性命题意图命题意图本题主要考查一元二次函数在闭区间上本题主要考查一元二次函数在闭区间上的最值和函数的单调性的最值和函数的单调性分析分析讨论对称轴与区间的位置关系

14、讨论对称轴与区间的位置关系则则g(x)minf(a)当当a0时，时，f(a)为增函数，为增函数，当当a0时，时，f(a)为减函数为减函数(2009江苏启东市期中练习江苏启东市期中练习)函数函数yx22x在在4,3上的最大值为上的最大值为_解析：解析：yx22x(x1)21，函数在函数在4,3上上的最大值为的最大值为15.答案：答案：15总结评述：总结评述：本题主要考查二次函数在给定区间内的本题主要考查二次函数在给定区间内的最值，结合二次函数图象，较易解决最值，结合二次函数图象，较易解决(2009安徽皖南八校第二次联考安徽皖南八校第二次联考)已知函数已知函数yx2ax1在区间在区间0,3上有最小

15、值上有最小值2，则实数，则实数a的值为的值为 ()A2 BC2 D4答案：答案：C解析：解析：当当 0，即，即a0时，函数在区间时，函数在区间0,3上为增上为增函数，故函数，故f(x)minf(0)1不符合题意，舍去；不符合题意，舍去；当当 3，即，即a6时，函数在区间时，函数在区间0,3上为减函上为减函数，故数，故f(x)minf(3)2a ，与，与a6不符，舍不符，舍去；去；当当0 3，即，即6a0，f(1)0，求证：，求证：(1)a0且且2 0，f(1)0，c0,3a2bc0，abc0，消去，消去b得得ac0；再由条件再由条件abc0，消去消去c得得ab0，2 0，f(1)0，而而f()

16、abca0，方程方程f(x)0有两个实根，设方程的两根为有两个实根，设方程的两根为x1，x2，由韦达定理得，由韦达定理得， 故两根为故两根为正，正，又又(x11)(x21) 20，(x11)(x21) 0，故两根均小于，故两根均小于1，命题得证，命题得证总结评述总结评述高考对二次函数的考查是常考常新解高考对二次函数的考查是常考常新解决时要特别注意三个决时要特别注意三个“二次二次”的联系，特别是充分利用二的联系，特别是充分利用二次函数的图象，常使问题的解决显得直观明了次函数的图象，常使问题的解决显得直观明了设二次函数设二次函数f(x)ax2bxc(a0，a，b，cR)，且，且f(1) ，a2cb

17、.(1)判断判断a，b的符号的符号(2)证明：证明：f(x)0至少有一个实根在区间至少有一个实根在区间(0,2)内内解析：解析：(1)f(1) ，3a2b2c0，又又a2cb.3a2b2c3b2bb6b，综合综合得得a0且且b0.(2)证明：由证明：由得得b ac，又又f(0)c，f(2)4a2bcac.(a)当当c0时，时，a0，f(1) 0，且，且f(2)ac0.f(x)0在在(1,2)内至少有一个实数根内至少有一个实数根(b)当当c0时，时，a0.f(0)c0，且，且f(1) 0.f(x)0在区间在区间(0,1)内至少有一个实根内至少有一个实根综合综合(a)、(b)可得可得f(x)0在在(0,2)内至少有一个实数内至少有一个实数根根反思归纳：反思归纳：本题利用根与系数的关系和二次函数的本题利用根与系数的关系和二次函数的图象特征将方程的根转化为不等式和函数处理图象特征将方程的根转化为不等式和函数处理1求二次函数的单调区间时要经过配方法，要熟练求二次函数的单调区间时要经过配方法，要熟练准确利用配方法准确利用配方法2对于函数对于函数yax2bxc要认为它是二次函数，就要认为它是二次函数，就必须认定必须认定a0，当题目条件中未说明，当题目条件中未说明a0时，就要讨论时，就要讨论a0和和a0两种情况两种情况3对于二次