偏微分方程数值解期末试题及答案

1、精品资料欢迎下载偏微分方程数值解试题(06B)参考答案与评分标准信息与计算科学专业1 (一（10 分）、设矩阵 A对称，定义J ( x),) (,)(xRn ) ，Ax xb x2( )J ( x0x) . 若 ' (0) 0, 则称称 x0 是 J ( x) 的驻点（或稳定点） . 矩阵 A 对称（不必正定），求证 x0 是 J( x) 的驻点的充要条件是： x0 是方程组 Axb 的解解 :设 x0R n 是 J (x) 的驻点 ,对于任意的 xR n ,令2( )J ( x0x) J( x0 )( Ax0b, x)2( Ax, x) ,(3 分)' (0) 0 , 即 对

2、 于 任 意 的 x Rn , ( Ax0b, x)0 , 特 别 取 x Ax0b , 则 有( Ax0b, Ax0b)| Ax0b |20 ,得到 Ax 0b .(3 分)反 之 ,若x0R n满 足 Ax0 b,则对于任意的x , J (x0x)(1)(0)1 ( Ax, x)J ( x0 ) ,因此 x0 是 J (x) 的最小值点 .(4 分)2评分标准 :() 的展开式 3 分,每问 3 分 ,推理逻辑性1 分Luddu)qufx(a,b)二（ 10 分）、 对于两点边值问题：( pdxdxu(a)0, u'(b)0其中pC1(, ),(x)min()pmin0,q C(,

3、 ),q0,f H0 (,)a bpx a,b p xa ba b建立与上述两点边值问题等价的变分问题的两种形式： 求泛函极小的 Ritz 形式和 Galerkin 形式的变分方程。解1|u H1(,),()0为求解函数空间,检验函数空间.取: 设HEua b u avH E1 (a, b) ,乘方程两端 ,积分应用分部积分得到(3 分)a(u,v)( p du . dvquv) dxfvdxf (v) , v H E1 (a,b)bbadx dxa即变分问题的 Galerkin 形式 .(3 分)令 J (u)1a(u, u)1bdu)2qu2fu dx,则变分问题的 Ritz 形式2( f

4、 ,u) p(2 adx精品资料欢迎下载为求 u*H E1 (a, b) ,使 J (u* )min1J (u)(4 分)u H E评分标准 :空间描述与积分步骤3 分 ,变分方程 3 分 ,极小函数及其变分问题4 分 ,三（ 20 分）、对于边值问题2u2 u0, ( x, y)G (0,1)(0,1)x 2y 2u |x 0 1,u |x 10, u |y 0u |y 1 1x（ 1）建立该边值问题的五点差分格式 （五点棱形格式又称正五点格式） ，推导截断误差的阶。（ 2）取 h 1/ 3 ，求边值问题的数值解 （写出对应的方程组的矩阵形式， 并求解）（ 3）就 h 1/ 5 和 h 1/

5、 N 的一般情况写出对应方程组的系数矩阵（用分块矩阵表示）。解 : (1) 区域离散 xjjh , ykkh差分格式为,u j 1,k2u jku j 1,ku j ,k 12u jku j ,k1(5 分)h2h 20应用展开得到 ,截断误差为h 24 u4u(42)分Tayloy) 其阶为 O( h12x 4y 4jkO h,(3 )(2) 未知量为 U(u11 , u12 , u21 , u22 ) T ,矩阵形式为 AUF ,其中411 01 2/35 / 3A1401, F1/ 31/ 3(4分)1 0411 2/35 / 301141/ 31/ 3求解得到解为(3 分)2L1/ 2

6、15/21/ 2015/202 /152/ 1552 /15A=4,-1,-1,0;-1,4,0,-1;-1,0,4,-1;0,-1,-1,4L =2.0000-0.5000-0.5000001.9365-0.1291-0.5164001.9322-0.55210001.8516u= 0.66670.33330.66670.3333精品资料欢迎下载BI41IBI141(5 分)(3) 矩阵为, BI B14评分标准 :第 1问 8 分 ,格式 4 分,截断误差 4.(2) 7分,方程 4 分,解 3 分.(3)5 分, 形式 3分,B的形式 2分u2ubu, 0x1,0t Tta2x( x),

7、 0x1四（ 20 分）、对于初边值问题u(x,0)u(0, t )u(1,t )0,0tT（ 1）建立向前差分格式（最简显格式） ，推导截断误差的主项，指出误差阶;（ 2）写出差分格式的矩阵形式 （即 AU k 1BU kF 的形式），用矩阵方法分析格式的稳定性（ 3）建立六点对称格式 ( Crank Nicolson 格式 ) 并写出计算形式，应用 Fourier 方法（分离变量法）分析格式的稳定性。解 :(1)u kj1u kja12kk,(5分)区域离散 , 格式为h2xu jbu j应 用 Taylor 展开得到 , 误 差主 项为1(2 u kah24 ukO(24) ,阶为22

8、) j(x4) jht12O( h2 )(3分)(2)AE, Bdiag r ,12r , r ,(4分)稳定条件为 r1 / 2(3分)(3) 格式为u kj1u kja 2k 1k)bk 1k) ,(3分)h 2x( u j(1 )u j2(u ju j低阶项归入 O( ) 中, 格式是无条件稳定的.(2分)精品资料欢迎下载五（ 10 分）、逼近 uuu nj1u nj1unj 1u jn 100 的三层差分格式22htx分析格式的稳定性解 : 计算形式为 u nj 1r (u nj 1unj 1 )u nj 1(2此为三层格式 , 化为两层格式 . 令 vnj 1u nj , 则有u n

9、j1r (unj 1u nj 1 ) v nj(4vjn 1u nj令 unjw1n ei jh ,vnjw2nei jh , 代入格式 , 消去公因子 , 得到w1n 12ir sin h1w1n(2w2n 110w2n分)分)分)放大矩阵为 G2r sinhi1,特征方程为 | E G|2r sinhi110122r sin hi10 ,1,22r sinh4 4r 2 sin 2h i21 21, max|1 |,|2 |1 的充要条件为方程有相同的复根或一对共扼复根, 即44r 2 sin 2h0. 考虑到的变化 , 稳定条件为 r1(2分 )六（ 10 分）、建立波动方程2 ua22

10、 u的初值问题的显格式，推导截断误差,t2x2推导格式稳定的必要条件 .解 : 差分格式为u nj12u jnunj1a2 12 n(3分)2h 2xu j ,精品资料欢迎下载截断误差为 14 un4 un2a 2h2O(4h4 ) , 阶为 O( 2h2 ) (3 分 )12t 4jx4j分析稳定性必要条件(4分)七（ 10 分）、对于二维抛物型方程ua(2 u2u ) 建立 CrankNicolson 差分tx 2y2格式，指出截断误差阶，分析格式的稳定性。解 : 差分格式为u njk 1u njka(2 n 12 n 1)(4分 )x u jky u jkh2误差阶为 O( h 2 )

11、(3分 )放大因子为 G( ,)1,恒稳定.(3分)14r sin 2h4r sin 2h22八 . 用 Ritz Galerkin 方法求边值问题u"ux20x1u(0)0, u(1)1的第 n 次近似 un ( x) , 基函数 i ( x)sin(i x),i1,2,., n解 :(1)边界条件齐次化 : 令 u0x ,wuu0 , 则 w 满足齐次边界条件 , 且LwLuLu0x2x(3分)w(0)0, w(1)0第 n 次近似 wn 取为 wnnci, 其中 ci (i1,2,.n) 满足的 RitzGalerkin 方程为ii1na(i ,)ci( x2x, j )j1,2,., n (3j分)i1又a( i ,1''j )dxij2 1cos(i x) cos( jx)dxj )( iji001ijsin(i x) sin( jx)dxcos(ix ) cos( jx )dx021sin ix sin jx2由三角函数的正交性 , 得