高考二轮小专题-圆锥曲线题型归纳

1、高考二轮小专题：圆锥曲线题型归纳基础知识 ：1直线与圆的方程；2椭圆、双曲线、抛物线的定义与标准方程公式；3椭圆、双曲线、抛物线的几何性质等相关知识：a 、 b 、 c 、 e 、 p 、渐近线。基本方法：1 待定系数法：求所设直线方程中的系数，求标准方程中的待定系数a 、 b 、 c 、 e、 p 等等；2 齐次方程法：解决求离心率、渐近线、夹角等与比值有关的问题；3 韦达定理法：直线与曲线方程联立，交点坐标设而不求，用韦达定理写出转化完成。要注意：如果方程的根很容易求出，就不必用韦达定理，而直接计算出两个根；4 点差法：弦中点问题，端点坐标设而不求。也叫五条等式法：点满足方程两个、中点坐标

2、公式两个、斜率公式一个共五个等式；5 距离转化法：将斜线上的长度问题、比例问题、向量问题转化水平或竖直方向上的距离问题、比例问题、坐标问题；基本思想：1“常规求值”问题需要找等式，“求范围”问题需要找不等式；2“是否存在”问题 当作存在 去求，若不存在则计算时自然会无解；3证明“过定点”或“定值” ，总要设一个或几个参变量，将对象表示出来，再说明与此变量无关；4证明不等式，或者求最值时，若不能用几何观察法，则必须用函数思想将对象表示为变量的函数，再解决；5有些题思路易成，但难以实施。这就要优化方法 ，才能使计算具有可行性 ，关键是积累“转化”的经验；6大多数问题只要 忠实、准确 地将题目每个条

3、件和要求表达出来，即可自然而然产生思路。一、求直线、圆锥曲线方程、离心率、弦长、渐近线等常规问题例 .x2y2【浙江理数】设 F1 、 F2 分别为双曲线2b2 1, （ a >0、 b >0）的左、右焦点 . 若在双曲线右支上存在点，a满足 PF2F1F2 ，且 F2 到直线 PF1 的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为（）A.B.C.D.【答案】 C例 .【辽宁文数】设双曲线的一个焦点为，虚轴的一个端点为, 如果直线与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为（）A.B.C.D.【答案】 D例（ 14 分）已知椭圆 x2y21 (a b0) .过点（ 2，

4、1）且方向向量为 a ( 1 ,1) 的直线 L 交椭圆与 A、Ba2b222两点。若线段 AB 的中点为 M ，求直线 OM 的斜率（用 a、 b 表示）；若椭圆的离心率为3 ，焦距为2，求线段 AB 的长；3在的条件下，设椭圆的左焦点为F1 ，求ABF1 的面积。点评： 常规求值问题的方法：待定系数法，先设后求，关键在于找等式。二、“是否存在”问题例（ 14 分）已知定点A（ -2， -4），过点 A 作倾斜角为45 度的直线L ，交抛物线y22 px （ p >0）于 B 、C 两点，且线段 BC 长为 210。（ I）求抛物线的方程；（ II ）在（ I）中的抛物线上是否存在点

5、D ，使得 DB=DC 成立？若存在，求出点 D 的坐标，若不存在，请说明理由。（答： y22x 。存在点 D（ 2， 2）或（ 8，-4）例 .【北京理数】在平面直角坐标系xOy 中，点 B 与点 A（ -1,1 ）关于原点O对称， P 是动点，且直线AP 与 BP的斜率之积等于.( ) 求动点 P 的轨迹方程；( ) 设直线 AP和 BP分别与直线 x=3 交于点 M,N，问：是否存在点 P 使得 PAB与 PMN的面积相等？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，说明理由。三、过定点、定值问题例、（ 14 分）已知抛物线S 的顶点在坐标原点，焦点在x 轴上，心为抛物线的焦点，若BC 所在直

6、线L 的方程为 4x+y-20=0.( ) 求抛物线 S 的方程 ;( ) 若 O 是坐标原点， P、 Q 是抛物线S 上的两动点，且满足ABC 的三个顶点都在抛物线上，且ABC 的重OPOQ 。试说明动直线PQ 是否过一个定点。（答： y216 x ，定点为M （ 16， 0）例 .(14 分 )已知椭圆x2y 21abC：（>>0），过焦点垂直于长轴的弦长为，且焦点与短轴两端点构成等边三角a2b21形。( ) 求椭圆的方程;( ) 过点 Q（ 1，0）的直线 L 交椭圆于 A 、B 两点，交直线x = 4 于点 E，设 AQQB ， AEEB 。求证：为定值，并计算出该定值。点

7、评：距离转化法把斜线上的转化为垂直与水平上的，比如向量中的比例以坐标转化，比如抛物线中焦半径与到准线距离的转化。例（ 14 分）过抛物线 y24ax （ a >0）的焦点 F 作任意一条直线分别交抛物线于A 、B 两点，如果AOB （O 为原点）的面积是 S，求证：S2为定值。（答： a3）AB点评： 证明定值问题的方法 ：常把变动的元素用参数表示出来，然后证明计算结果与参数无关；也可先在特殊条件下求出定值，再给出一般的证明。处理定点问题的方法 ：常把方程中参数的同次项集在一起，并令各项的系数为零，求出定点；也可先取参数的特殊值探求定点，然后给出证明。四最值问题例（ 14 分）定长为3

8、的线段 AB 的两个端点在抛物线y2x 上移动，记线段AB 的中点为M ，求点 M 到 y 轴的最短距离，并求此时点 M 的纵坐标。（答：最短距离为5 ，M 的纵坐标为2）42点评： 最值问题的方法 ：几何法、配方法（转化为二次函数的最值）、三角代换法（转化为三角函数的最值）、利用切线的方法、利用均值不等式的方法等。五、求参数范围问题。常用思路：寻找不等式。将各限制条件都列出，再求交集。不要遗漏限制条件。常用建立不等式的途径：(1) 直线与曲线有交点时判别式大于等于零； 圆锥曲线中变量 X 、Y 的取值范围； 点与曲线的位置关系，如弦的中点在曲线内部；已知题设中有的范围；正弦函数、余弦函数的有

9、界性；均值不等式；焦半径的取值范围；函数的值域 ;三角形图形中两边之和大于第三边。例： 1.若直线 y=kx+1 与焦点在 x 轴上的椭圆 x 2y21 恒有公共点，则 t 的取值范围为 _.（答： 1,55tx2y21 的中心和左焦点， 点 P 为椭圆上的任意一点， 则 OP FP2【福建文数】 若点 O和点 F 分别为椭圆34的最大值为（）A 2B 3C 6D 8【答案】 C（利用圆锥曲线中变量X 、 Y的取值范围； ）3设 a >1，则双曲线 x2y21 的离心率 e 的取值范围为 _;（答：2,5）a2( a 1)2x2y21 的左右焦点，过 F1 作垂直于 x 轴的直线交双曲线

10、于A 、B 两点，若ABF24若 F1 、 F2 是双曲线2b2a为锐角三角形，则双曲线的离心率的取值范围为_;（答： 1,12）5.若 M 是椭圆x 2y21 上的任意一点，F1 、 F2 是椭圆的左、右焦点，则MF 1MF 2 的最大值为 _;94（答： 9）（利用均值不等式 ）6若点 P 是抛物线 y22 x 上的一个动点，则点 P 到点（ 0， 2）的距离与点P 到准线的距离之和的最小值为_; （答：17）（利用三角形两边之和大于第三边）2六、规范解题解析几何在高考中经常是两小题一大题：两小题经常是常规求值类型，一大题中的第一小题也经常是常规求值问题，故常用方程思想先设后求即可。解决第

11、二小题时常用韦达定理法结合以上各种题型进行处理，常按照以下七步骤：一设直线与方程； （提醒：设直线时分斜率存在与不存在；设为y=kx+b 与 x=mmy+n的区别）二设交点坐标；（提醒 : 之所以要设是因为不去求出它, 即“设而不求”）三则联立方程组；四则消元韦达定理； （提醒： 抛物线时经常是把抛物线方程代入直线方程反而简单）五根据条件重转化；常有以下类型：“以弦AB为直径的圆过点0”OAOBK1K 21 （提醒： 需讨论 K 是否存在）OA OB0x1 x2y1 y20“点在圆内、圆上、圆外问题”“直角、锐角、钝角问题”“向量的数量积大于、等于、小于0 问题”x1 x2y1 y2 >

12、0；“等角、角平分、角互补问题”斜率关系（ K1K20 或 K1K2 ）；“共线问题” （如： AQQB数的角度：坐标表示法；形的角度：距离转化法）；（如： A、 O、 B 三点共线直线 OA与 OB斜率相等）；“点、线对称问题”坐标与斜率关系；“弦长、面积问题”转化为坐标与弦长公式问题（提醒 ：注意两个面积公式的合理选择）；六则化简与计算；七则细节问题不忽略；判别式是否已经考虑；抛物线问题中二次项系数是否会出现0.七、站在系统的高度探究问题的本原“直线与圆锥曲线的位置关系”中文科主要考察“直线与抛物线”，这里就仅举直线与抛物线的位置关系为例。请证明以下命题：案例一： 抛物线 y22 px （

13、 p >0），过焦点 F（ p ， 0）作一条弦 AB 交抛物线于 A、B 两点，其中 A（ x1 ， y1 ）、 B2（ x2 ， y2 ）。如图（一） 有关定值问题：（ 1） x1 x2p224, y1 y2p ；（ 2） kOAkOB4（3） OAOB3P 24（4） 112；FAFBP（ 5）过抛物线的焦点作两条垂直的弦111AB， CD，则；ABCD2P（二）与数列有关的问题（ 1）AB 为焦点弦， T 为准线上任意一点，则TA、 TF、TB 的斜率成等差数列；（ 2）AB 为焦点弦，过点A、 B 的切线相交于点M，则 MA 、 MF、 MB 成等比数列；（三）有关圆的问题（

14、1）以 AB为直径的圆与抛物线的准线相切；以A1 B1 为直径的圆与抛物线的弦AB 相切；（ 2）以 AF 为直径的圆与y 轴相切；以 BF 为直径的圆与 y 轴相切；（ 3）其中性质（1）抛物线的准线与x 轴的交点 E 在以 AB为直径的圆外。（四）有关共线问题（ 1） A、 O、 B 三点共线；（ 2） B、 O、 A 三点共线；11（五）有关平分问题：EF 平分AEBK AEKBE 0（六）有关面积问题（1） S OABP2S2OABP 3S2A1FB 14；（ 2）8；（ 3）S FAA12sinABS FBB1（七）有关定点问题符合以上任一条性质的弦AB 过一定点F（即抛物线的焦点） 。案例二： 抛物线 y22 px （ p >0），过点 P （ 2 p ， 0）作一条弦 AB 交抛物线于 A、 B 两点，其中 A（ x1 ， y1 ）、 B（ x2 ， y2 ）。则（一） OAOB ；（二）以 AB为直径的圆经过原点；（三） S OAB 的最小值为 4p2，此时 ABx轴