高考数学复习点拨直线与圆的方程中的六种数学思想方法

1、直线与圆的方程中的六种数学思想方法1. 数形结合的思想例 1设 k， a 是实数，要使关于 x 的方程 |2x-1|=k(x-a)+a对于 k 的一切值都有解，求实数 a 的取值范围解在平面直角坐标系中分别画出 l 1： y=|2x-1| 和 l 2： y=k(x-a)+a 的图象( 如图 ) ，其中 l 2 是过点 M(a，a) 且斜率为 k 的直线系， l1 是折线 y=2x- 1(x 1 )和 y=-2x+1(x< 1 ) 由图形的直观性可知要使原方程对于2k 的一2切值都有解的几何意义是直线 l 2 绕点 M(a，a) 旋转时都与折线 l 1相交，点 M必须位于过 C( 1 ，

2、0) 的两条射线上或射线的上方2a 2a 1 1 a1a2a 13例 2 已知定点 A(1，1) ， B(3 ，3) ，动点 P 在 x 轴上，若 APB取得最大值，则点 P 的坐标是 ( )A. 这样的点 P 不存在B( 2 ，O)C ( 3，O)D( 6 ，O)分析 由 A、B 两点坐标及位置特点， 可以看出，动点 P 在 x 轴正半轴上的某个位置可能使么 APB取最大值，此题若设 P(x ，O)，用到角公式表示出 tanAPB，再求使之取得最大值时的 P 点坐标显然较繁而利用平面几何中的圆外角小于圆周角，设过 AB且与 x 轴正半轴相切的圆与 x 轴的切点为 P，( 如图 ) 则 P 点

3、即为所求的点，而 |OP| 2=|OA| ·|OB|= 2 · 18 =6|0P|= 6 ，点 P(6 ，0)，故选 D2. 分类讨论的思想例 3求与点 P(4，3) 的距离为 5，且在两坐标轴的截距相等的直线方程解 (1)若截距 aO，可设直线方程为：x + y =1 即 x+y-a=0a a由已知： | 4 3 a | =5 可得： a=7 士 322(2) 若截距 a=O，由于 OP所在的直线方程为 y= 3 x，且 |OP|=54所求直线方程为y=- 4 x3综上，所求直线方程为x-y-7-52 =0 或 x+y-7+52 =0 或 4x+3y=O对含有参数的数学问

4、题求解时要注意运用分类讨论的数学思想， 正确、严密地求解例 4分析d= | 3m | 5讨论直线 l ：3x+4y+m=0与圆 C：x2+y2 -2x=O 的位置关系先求得圆 C 的圆心 C(1，O)和半径 r=1 ，再得圆心 C 到直线 l 的距离，最后按 d<r 、d=r、d>r 三种情况讨论直线与圆相交、相切、相离时 m的取值范围解 当 d= | 3m | <1，即 -8<m<2时，直线与圆相交；5当 d= | 3 m | =1，即 m=-8或 m=2时，直线与圆相切；5当 d= | 3 m | >1，即 m<-8或 m>2时，直线与圆相离

5、53. 参数思想例 5已知直线 (a-2)y=(3a-1)x-1 (1)求证无论 a 为何值，直线总过第一象限(2) 为使这直线不过第二象限，求 a 的范围解 (1) 将方程整理得为 a(3x-y)+(-x+2y-1)=O 对任意实数 a，13恒过直线 3x-y=O 与 x-2y+1=0 的交点 (，) ，直线系恒过第一象限内的定点( 1 ， 3 ) ；5 5(2) 当 a=2 时，直线为 x= 1 不过第二象限；5当 a2时，直线方程化为： y= 3a1 x-1，a2a23a103a10a2a2不过第二象限的充要条件为或a>2，1100a2a2总之， a2时直线不过第二象限例 6 过点

6、 P(2，1) 作直线 l ，与 x 轴、y 轴正半轴分别交于 A、B 两点，| PA|·| PB|的最小值及此时 l 的方程分析 本题除了用斜率、角度作为参数外，我们再给出以直线的参数方程来求解的方法解 设直线 AB的倾斜角为 (<<),2x2t cos则直线 AB的参数方程为1t siny令 x=O，则得 B 点所对应的参数 t=-2，cos令 y=O，则得 A 点所对应的参数t=-1sin|PA| ·|PB|=| -2| ·|-1|=4cossin| sin 2 |当 a= 3时|PA| ·|PB|有最小值 4，此时直线 l 的方程为4

7、x23x22t cost4即232 ty1y1t sin424. 待定系数法的思想： 根据给定条件求直线和圆方程时， 待定系数法和代点法是常用的方法例 7 已知直线 l 在 x 轴上的截距比在 y 轴上的截距大 1，且过一定点 P(6， -2) ，求直线的方程解法一设直线l的方程为x + y=1ab直线 l 过点 (6 ，-2) ， 6 - 2 =1ab又 a=b+1代入整理得b2-3b+2=O，解之 b1=1， b2=2，a1=2，a2=3代入得所求的直线方程为x+2y-2=O 或 2x+3y-6=O解法二 设所求直线 l 的斜率为 k，又直线 l 过定点 P(6，-2) ，于是直线 l 的

8、方程是 y+2=k·(x -6)，即x+y=1.6k(6k22)k依题意知 6k 2 +6k+2=1,k=-2 或 k=- 1 .k32直线 l 的方程是 y+2=- 2 (x-6)或 y+2=- 1 (x-6)，32即 x+2y-2=O 或 2x+3y-6=O例 8 已知 ABC中，A 点坐标为 (1 ，2) ， AB 边和 AC边上的中线方程分别为 5x-3y-3=O 和 7x-3y-5=O ，求 BC边所在直线方程分析欲求 BC边的方程，没有直接的已知条件， 可设 B(x 1，y1) ，C(x2，y2) ，然后用两点式得方程解设 C(x1 ,y 1) ，AB中点坐标为 ( x1

9、1 ， y1 2 )225x13 y1 30则7x1 1y1203522解得： x1=3，y1=4， C(3， 4)说明 此题由代点法，结合解方程组比直接由已知方程求交点要简单得多，同理可求得 B(-1 ，-4) ，由两点式得直线 BC方程为 2x-y-2=05. 化归的思想 . 利用转化的思想可把较繁的问题简单化例 9求函数 y=x21 +x24x8 的最小值分析 此函数的定义域为 R，如果从代数的角度考虑，确实比较复杂；如果借助于两点间的距离公式，转化为几何问题，则是非常的容易解 y= x 21 + x 24x 8 = (x 0) 2(0 1)2 + (x 2)2(0 2)2令 A(O，1

10、) ，B(2，2) ，P(x ，O)，则问题转化为：在 x 轴上求一点 P(x ，O)，使得 |PA|+|PB| 取得最小值A关于 x 轴的对称点为 A (O，-1) ，(|PA|+|PB|) min=|A B|= (2 0) 2(2 1)2 = 4 9= 136. 函数、方程、不等式思想例 10 两条平行直线分别过点 P(-2 ，-2) ， Q(1，3) ，它们之间的距离为 d，如果这条直线各自绕点 P、 Q旋转并互相保持平行(1) 求 d 的变化范围(2) 用 d 表示这两条直线的斜率(3) 当 d 取最大值时，求这两条直线的方程解 当过 P、 Q的两条直线的斜率为 O时， d=5 ；当这两直线斜率不存在，即与 x 轴垂直时， d=3 设 l 1： y+2=k(x+2) ； l 2： y-3=k(x-1)(1) 由平行线间的距离公式得 d=| 3k 5 |k 21即(d 2-9)k 2