高等数学微分方程试题

1、精品资料欢迎下载第十二章微分方程§12-1 微分方程的基本概念一、判断题1.y=ce 2 x (c 的任意常数 )是 y=2x 的特解。()2.y=( y ) 3 是二阶微分方程。()3.微分方程的通解包含了所有特解。()4.若微分方程的解中含有任意常数，则这个解称为通解。（）5.微分方程的通解中任意常数的个数等于微分方程的阶数。（）二、填空题1.微分方程 .(7x-6y)dx+dy=0的阶数是。2.函数 y=3sinx-4cosx微分方程的解。3.积分曲线 y=(c 1 +c 2 x)e2 x 中满足yx=0=0,yx=0=1 的曲线是。三、选择题1下列方程中是常微分方程2 22(

2、B) 、 y+darctan x)0(C)、2 a+2 a=0 （ D）、 y2 2（ A ）、 x +y =a(e2y2=x +ydxx2.下列方程中是二阶微分方程（ A ）（ y ）+x22(B) ( y223(C)y+3y +y=0(D) y2y +x =0) +3x y=x-y =sinxd 2 y2其中 c.c1.c2 均为任意常数3.微分方程2+w y=0 的通解是dx（ A ）y=ccoswx(B)y=c sinwx(C)y=c 1coswx+c 2sinwx(D)y=c coswx+c sinwx24.C 是任意常数，则微分方程y = 3y 3的一个特解是（ A ）y-=(x+

3、2) 3(B)y=x 3+1(C) y=(x+c) 3(D)y=c(x+1) 3四、试求以下述函数为通解的微分方程。1 y Cx 2C 2（其中 C 为任意常数）2. yC1e2 xC 2e3x（其中 C1 ,C2为任意常数）五、质量为 m 的物体自液面上方高为 h 处由静止开始自由落下，已知物体在液体中受的阻力与运动的速度成正比。 用微分方程表示物体， 在液体中运动速度与时间的关系并写出初始条件。精品资料欢迎下载12-2可分离变量的微分方程一、求下列微分方程的通解1 sec2.tacydx+sec2ytanxdy=0222 (x+xy )dx-(x y+y)dy=03x+y (ex-e )d

4、x+(ex+yy-e )dy=04 y =cos(x-y).( 提示令 .x-y=z)二、求下列微分方程满足所给初始条件的特解-x1 cosydx+(1+e )sinydy=0. yx=0 =4精品资料欢迎下载secxxdx.y12.2 dy31yx2三 、设 f(x)=x+0x f(u)du,f(x) 是可微函数，求f(x)四、求一曲线的方程，曲线通过点（ 0.1） ,且曲线上任一点处的切线垂直于此点与原点的连线。五、船从初速 v0=6 米 /秒而开始运动， 5 秒后速度减至一半。已知阻力与速度成正比，试求船速随时间变化的规律。精品资料欢迎下载12-3齐次方程一、求下列齐次方程的通解1 xy

5、 -xsiny02 (x+ycosy ) dx-xcosy dy=0xxx二 求下列齐次方程满足所给初始条件的特解1 xydy=x 2+y2yx=e=2e2.x2dy+(xy-y 2 )dx=0yx=1=1ax三、求方程： （ x+y+1 ） dx=(x-y+1)dy的通解四、设有连结点 O(0， 0)和 A （ 1， 1）一段向上凸的曲线孤O A对于 O A上任一点P（ x，y） ,曲线孤与 O P 直线段OP所围图形的面积为x2，求曲线孤 O A 的方程。精品资料欢迎下载12.4 一阶线性微分方程一、求下列微分方程的通解1.xy+y=xe x2. y+ytanx=sin2x1sin xdy

6、y3. y +y4.x y 3e yxxdx二、求下列微分方程满足初始条件的特解1 y cosy+siny =xy x 042.(2x+1)e y y 2ey=4y x 0 0三、已知 f(),曲线积分ba sin xf ( x) y dx f ( x)dy 与路径无关，求函数 f(x).x四、质量为M0 克的雨滴在下落过程中，由于不断蒸发，使雨滴的质量以每秒减少， 且所受空气阻力和下落速度成正比，若开始下落时雨滴速度为零，度与时间的关系。m 克的速率试求雨滴下落的速五、 求下列伯努利方程的通解1 y +1 yx 2y52. xy +y-y 2lnx=0x精品资料欢迎下载12-4全微分方程一、

7、求下列方程通解1 cos(x+y 2)+3ydx+2ycos(x+y 2)+3xdy=02.(xcosy+cosx)y-ysinx+siny=03.eydx+(xe y-2y)dy=0二、利用观察法求出下列方程的积分因子，并求其通解1 ydx-xdy+y 2xdx=02 y(2xy+e x)dx-exdy=02三、 xy(x+y)-f(x)ydx+f(x)+x ydy=0 为全微分方程，其中函数 f(x) 连续可微， f(0)=0, 试求函数 f(x) ，并求该方程的通解。精品资料欢迎下载12-7 可降阶的高阶微分方程一、求下列各微分方程的通解1 y=xsinx2.y - y =x3.y y

8、+( y )2= y4.y (1+ex)+ y =0二、求下列各微分方程满足所给初始条件的特解1 2 y =sin2yy x 0y x 0 122. x y- y ln y + y lnx=0y x 12yx 1e2三、函数 f(x) 在 x>0 内二阶导函数连续且f(1)=2 ，以及 ff ( x)(x)-xxf (t2) dt 0,求 f(x).1 t四、一物体质量为m,以初速度Vo 从一斜面上滑下，若斜面的倾角为，摩擦系数为u,试求物体在斜面上滑动的距离与时间的函数关系。精品资料欢迎下载12-8高阶线性的微分方程一、选择题1下列方程中为线性微分方程（ A ）（ y ） +x y =

9、x(B)y y2 yx22yex(D) yy3xycos y(C) yyx2xx21x211)22.已知函数 y1= ex2， y1= ex2， y3=e(x-则x（ A）仅 y1 与 y2 线性相关（ B ）仅 y2 与 y3 线性相关（ C）仅 y1 与 y3 线性相关（D ）它们两两线性相关3若 y1 和 y2 是二阶齐次线性方程，y+p(x)y+4(x)y=0两个特解， c1c2 为任意常数，则y=c 1y1+c2 y2(A) 一定是该方程的通解（ B）是该方程的特解（ C）是该方程的解（ D）不一定是方程的解4下列函数中哪组是线性无关的（ A ） lnx, lnx 2(B)1 ，ln

10、x(C)x,ln2 x(D)ln x , lnx 2二、证明：下列函数是微分方程的通解1y=c 1x2+c2x2lnx(c 1 c2 是任意常数 )是方程 x2 y-3xy +4y=0 的通解2y=c 1e-x +c2e xex (c1c2 是任意常数 )是方程 2 yy2ex 的通解2三、设 y1(x)y 2(x) 是某个二阶线齐次线性微分方程的三个解，且y1(x)y 2(x).y 3(x). 线性无关，证明：微分方程的通解为：y c1 y1 (x) c2 y2 ( x)(1 c1 c2 ) y3 ( x)x四、试求以y= 1 (c1 ex+c2e-x )+ e(c1,c2 是任意常数 )为

11、通解的二阶线性微分方程。x2精品资料欢迎下载12-9 二阶常系数齐次线性微分方程一、选择题1 以 y1=cosx,y2 =sinx 为特解的方程是（ A ） yy0(B)yy0(C)yy0(D) yy02微分方程 2yyy0的通解是xx（ A ）yc1exc2e 2 x（ B） yc1 e xc2 e2（ C）yc1exc2 e 2(D) yc1e xc2 e2 x3常微分方程 y( 12 ) y12 y0 ，（其中1 ,2 是不等的系数） ，在初始条件y1x=0 = yx 00 特解是（ A ）y=0(B)y= c1e 1xc2 e 2 x(C)y12 x 2（ D） y( 12 ) x 2

12、4 y e2x是微分方程 ypy6y0 的一个特解，则此方程的通解是（ A ） y c1e2 xc2 e 3x（ B）y(c1xc2 )e2 x（ C） y c1 e2 xc2 e3 x（ D）ye2 x (c1 sin 3xc2 cos3x)5 y c1exc2 e x 是微分方程的通解（ A ） yy0 （ B ） y y0 （C） y y0 （ D） y y 0二、求下列微分方程的通解1 y5y02 y4 y4 y03 y4yy04 y5y6 y0精品资料欢迎下载5 y6 y3 y10 y05.y (4 )2yy0三、求下列微分方程满足初始条件的特解1 y2 y 10 y 0y x 0

13、1y 1x 02d 2 xdxx t 0 0x t 0 123x 0dtdt四、一质量为 m 的质点由静止（ t=0,v=0 ）开始滑入液体，下滑时液体阻力的大小与下沉速度的大小成正比（比例系数为 k），求此质点的运动规律。精品资料欢迎下载12-10二阶常数非齐次线性微分方程一、选择题1 微分方程， y2yx的特解 y * 形式为(A)ax(B)ax+b(C)ax2(D) ax 2bx2.微分方程 yyex1的特解 y* 形式为（ A ） aexb（ B ） axexb （ C） ae xbx（D ） axexbx3微分方程 y2uxe 2x 的特解 y* 形式为（ A ） x( ax b)e

14、2 x（B ） (axb)e2 x（C） xe2 x（ D） ( ax2bx c)e2 x4微分方程 y4 ycos2 x 的特解 y* 形式为（ A ）acos2x(B)axcos2x(C) x(acos2x+bsin2x)(D)acos2x+bsin2x5. 微分方程 yyxsin 2x 的特解形式为 y*=（ A ）（ ax+b） sin2x(B)(ax+b)sin 2x+(cx+d)cos 2x（ C）(ax+b)cos2x+(cx+d)sin2x（D ） (ax+b)cos2x+(cx+d)sin2x+ex+f6. 微分方程 y4y5ye xsin 5x 的特解形式为（ A ） ae

15、 xb sin 5x(B) ae xb cos5xcsin 5x（ C） axe xb sin 5x（ D） axe xb cos5xc sin 5x二、求下列各方程的通解1 y2yyxex2 y7 y6y sin x3 y2y5yex sin x4 yyxcos x精品资料欢迎下载三、求微分方程 y9 y cos x 满足 y xy x0 的特解22四、已知二阶常系数微分方程yyy( x2) 有特解 y*ex1x26x ，求, , 的值，并求该方程的通解五、 k 为常数。试求y2kyk 2 yex 的通解。xx六、设f (x)sin xf (t) dtxf (t )dt ，其中 f(x) 为

16、连续的数，求f(x) 。00七、一链长 18cm，挂在光滑的圆钉上，一边垂下 8cm，另一边垂下 10cm，问整个链子滑过钉子需要多少时间？精品资料欢迎下载第十二章自测题一一、 填空题1已知曲线 y=y(x) 过点（ 0，1）且其上任一点 （ x,y）处的切线斜率为 xln(1+x2)，则 f(x)=22以 x c 2y21 为通解的微分方程是（其中为任意常数）2的通解为3。微分方程 ydx+(c -4x)dy=04微分方程 yyln x ax 的通解为5已知某四阶线性齐次方程有四个线性无关的解-xxe ,e ,sinx,cosx,则该微分方程为二、选择题已知函数 y=f(x) 在任意点 x

17、处的增量 y=y x且当 xo 时，是比x 更高1x 2阶的无穷小量， y(o)=，则 y(1) 等于（A ）2（ B）（ C） e 4（D ） e 42 y=y(x) 是微分方程 yyesin x0 的解，且f (x0 ) 0 ，则 f(x) 在（ A ）x的某个邻域内单调增加（B ） x的某个邻域内单调减少（ C）x处的取极小值（ D） x处取极大值3一曲线通过点 m(4.3),且该曲线上任意一点 p 处的切线在 y 轴上的截距等于原点到离，则此曲线方程为（ A ） x2y 225 （ B） y 2x2（ C） (x 9) 2( y 9) 225 （ D） y 4104下列方程中可利用 p

18、 y , py降为 p 的一阶微分方程的是p 的距x 216（） ( y )2xyx0（） yyyy 20（ C） yy 2 yy2 x0(D) yyyx0三、求解下列微分方程2，满足 y x 11的特解，1.求 ydx+(xy-x)dy=02.求 yy1的通解ex1精品资料欢迎下载四、求 yyxsin x 的通解。五、已知 y1xexe2 x ， y2xe xe x ， y3xe xe2 xe x 是某二阶线性非齐次微分方程的三个解，求此微分方程。六、已知函数f(x) 可微，且对任意实数x,y 满足： f(x+y)= ex f ( y)e y f ( x) ,求此函数 f(x).七、火车沿水

19、平直线轨道运动，设火车质量为m,机车牵引力为F,阻力为a+bv,其中a,b 为常数， v 为火车的速度，若已知火车的初速度与初位移均为零，求火车的运动规律s=s(t).精品资料欢迎下载第十二章自测题二一、单项选择题设 y= f ( x) 是方程 y2 y4 y0 的解，若f ( x0 )0, 则 f ( x) 在 x0 点（ A ）取得极大值；（ B）取得极小值； （ C）某邻域内单调递增； （D ）某邻域内单调递减；函数y3e2 x 是方程 y4 y0 的（ A ）通解；（B ）特解；（ C）解，但既非通解也非特解（D ）以上都不对微分方程2 y5ycos2 x 的特解应具有形式（其中，a,b,c 为常数）（ A ） x(a cos2 xbsin 2 x);（B ） ax b cos2xc sin 2x（ C） a+bcos2x;(D)ax2+bcos2x+csin2x4.微分方程 y6y9yxe3x特解应具有形式（ A ）（ Ax+Bx ） e3x(B)x(Ax+B)e 3