圆锥曲线的大题综合测试(含详细问题详解)

1、圆锥曲线2 21设椭圆q七1 a、2的右焦点为Fi，直线I : x2a2uuuu2与x轴交于点A，若OF1.a22ULLT2FiA （其中O为坐标原点)(1)求椭圆M的方程;(2)设P是椭圆M上的任意一点，EF为圆N :x22y 21的任意一条直径E、F为直径的两个端点)求PE PF的最大值.2x已知椭圆E : 2a2b2 1 a0的一个焦点为F1、3,0 ,而且过点H2(I)求椭圆E的方程；(n)设椭圆E的上下顶点分别为 A1, A2, P是椭圆上异于 A, A的任一点，直线PA , PA2分别交x轴于点N , M ,若直线0T与过点M , N的圆G相切，切点为T 证明：线段0T的长为定值,

2、并求出该定值3、已知圆O: X y 2交x轴于A,B两点，曲线C是以AB为长轴，离心率为二的椭圆,其左焦点为F,若P是圆02上一点连结PF,过原点0作直线PF的垂线交直线x=-2于点Q.（I）求椭圆C的标准方程；（n）若点P的坐标为（1,1）,求证:直线pq与圆0相切;（川）试探究：当点P在圆0上运动时（不与A、B重合）,直线PQ与圆0是否保持相切的位置关系 ？若是，请证明；若不是，请说明理由2 24设A（x1, y<i）, B（x2,y2）是椭圆 与1（a b 0）上的两点，满足 （，上）（，里）0 ,椭圆的离心率x bbabav3 一一e ,短轴长为2, 0为坐标原点.（1 ）求椭圆

3、的方程；（2）若直线AB过椭圆的焦点F （0, c） , （c为半焦距），2求直线AB的斜率k的值；（3）试问： AOB的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由.5、直线I: y = mx + 1 ，双曲线C： 3x2 y2 = 1 ,问是否存在 m的值，使I与C相交于A , B两点，且以AB为直径的圆过原点2x6已知双曲线C: 2a2爲 1（a 0,b 0）的两个焦点为 Fi（-2，0），F2（2，0），点 P（3,J7）在曲线 C 上。（1）b求双曲线C的坐标；（2）记0为坐标原点，过点 Q（0,2）的直线I与双曲线C相交于不同两点 E, F,若OEF的面积 为2、2，求

4、直线I的方程。2x7.已知椭圆Ca22xy8 已知椭圆G :飞2 1(a bab0)的离心率为辽，直线Ly2 yx 2 2与以原点为圆心、以椭圆C1的短半爲 1( a b 0)经过点A(2, 1)，离心率为 2，过点b(3, 0)的直线丨与椭圆C交于不同的两b2求椭圆C的方程;(2)设直线AM和直线AN的斜率分别为kAM和kAN，求证:kAM kAN为定值.轴长为半径的圆相切。(I)求椭圆C1的方程;(n)设椭圆C1的左焦点为F1,右焦点为F2，直线11过点F1，且垂直于椭圆的长轴，动直线12垂直11于点P,线段PF2的垂直平分线交12于点M，求点M的轨迹C2的方程;(川)若AC、BD为椭圆C

5、1的两条相互垂直的弦，垂足为右焦点F2,求四边形 ABCD的面积的最小值.2 29设F是椭圆C： § 厶1(a b 0)的左焦点，直线l为其左准线，直线l与x轴交于点P,线段MN为椭圆的 a b长轴，已知 |MN | 8,且 |PM | 2|MF | .(1) 求椭圆C的标准方程； (2)若过点P的直线与椭圆相交于不同两点 A、B求证：/ AFM = ZBFN ;(2) 求三角形ABF面积的最大值.10如图，已知椭圆的中心在原点， 焦点在x轴上，长轴长是短轴长的 2倍且经过点M（2,1），平行于0M的直线I在 y轴上的截距为 m（m 0）， I交椭圆于A、B两个不同点（1 ）求椭圆的

6、方程；（2）求m的取值范围；（3）求证直 线MA MB与x轴始终围成一个等腰三角形。11已知椭圆C :x221(a b 0)，左、右两个焦点分别为F1、F2，上顶点A(0, b) , AF1 F2为正三角形且周长为6.(1)求椭圆C的标准方程及离心率;(2)O为坐标原点,P是直线FiA上的一个动点，求IPF2I| PO|的最小值，并求出此时点P的坐标.12 如图，设P是圆x2 y22上的动点,PD丄x轴，垂足为D , M为线段PD上一点，且A P|PD|= J2|MD|，点 A、F1 的坐标分别为(0, J2), (- 1 , 0 )。(1) 求点M的轨迹方程；(2) 求|MA|+|MF i|

7、的最大值，并求此时点 M的坐标。22y 1的右焦点为F，右准线为丨。_X13.如图，在平面直角坐标系xOy中。椭圆C :2(1)求到点F和直线丨的距离相等的点 G的轨迹方程。(2)uuuOTuuu2OA，求线段AB的长;(3)于占J 八、N，且和椭圆C的一个交点为点已知点 M的坐标为 Xo,y° ,Xo过点F作直线交椭圆C于点;若不存在，请说明理由。uuu2uuuu uuirOPOM ON?，若存在，求出实数圆锥曲线答案1解：（1）由题设知,A(1分223分解得a 6.UJLTUULT2由 OFi 2AF i 0，得.a 22 24 分所以椭圆M的方程为M :冬红 1 .6 2(2)

8、方法1 :设圆N : X2则 PE PFNE NP NF NP 6分UULT UUU NF NPNP 47 分 NPUJLT2NFUUU 2NP 1. 2从而求pe PF的最大值转化为求 NP的最大值.因为P是椭圆M上的任意一点，设P Xo , yo ,10分2 2所以 旦 匹 1,即 xo2 6 3yo2. 14分6 2因为点 N 0,2 ,所以丽2 x02 y0 2 2 2 y0 1 2 12 - 12 分因为y。 42，近，所以当y。 1时，NP2取得最大值12 . 13分所以PE PF的最大值为11 -14分2 由（I）可知直线PA1： y0,1 , A 0, 1，设 P Xo,yo

9、,1入-x,令 yy。0，得 xNXoyo1直线PA2：|ON |Xo2yo4 1 yo,|OM | |ON | 4取线段MN的中点Q，连接GQ,GM,GO,r |GM |OT2 OG2 GM 2 (OQ2 QG2) (MQ2 QG2)|OM | |ON | 42 2OQ MQ (|OQ MQ |)(| OQ | MQ |)|OT | 2.即线段OT的长为定值2 .14分3 7.（14分）解:（I ）因为a所以椭圆C的标准方程为VT e< ,所以 c=1,则 b=1,， 22y215 分21(n ) -P(1,1),二匕 ，-kOQ2,a直线OQ的方程为y=-2x,点 Q(-2,4)7

10、分kpQ1,又kop 1,.k°pkpQ1,即OP丄PQ,故直线PQ与圆O相切10分4 9解：(1) 2b 2.b1,ec2, 2.a br.i 3-y22a 2.e. 3椭圆的方程为x14aa(2)设AB的方程为ykx3所以k°pkpQ 1，即 OP丄PQ,故直线PQ始终与圆O相切.14分.(2 分)证明:设 P(x°, y°) (x。.2),则 y02 x0，所以kpFy° ,kkOQX01X015y°所以直线OQ的方程为x° 1y-x所以点Q(-2, 2X02)12 分y°y°2x。2y所以k0yo

11、y 02(2x02)2X°2 X0X0又kopy。13分kPQx0 2(x。2) y°（X。2)y°y°X0（川）当点P在圆O上运动时，直线PQ与圆O保持相切11分宁（k24_3k2、3k4k2 4汕得k2 7 分)(3 )当A为顶点时，B必为顶点.Szaob=18 分)B不为顶点时，设AB的方程为y=kx+bX1X2kx b21(k2x 14)x22kbxb240得到 x22kb k2 4b24k24 x1x2X1X2(kx1 b)(kx2 b)0代入整理得22:2b k4(11分)12|b|x1 心2|b| (x1 x2)2 4x1x2|b|、4k2

12、 4b2k2416.4k22|b|1y kx - 3 由v2y2 AX 14(k24)x22. 3kx 12尿0x1 x22, x1x2k 41.（4 分）k24由已知0X1X2V1V2.22bax1x21(kx1. 3)( kx243)(1)X1 X24 3T(X1X2)|4所以三角形的面积为定值 12分）2 2 221且c a b ,解得:b22,b2,976 解：(1)依题意c 2, .pa所以双曲线方程为（2）依题意可知，直线l的斜率存在设直线 l 的方程为 y=kx+2 ，E（ xi, yi），F（ X2,y）,2,R x由y=kx+2 及2291 得(1 k )x 4kx 60,.

13、有两个交点，ik22 2又厶=16k24(1 k ).'一 3 k .3，又 x1X2|EF| ,1 k(Xix2)2 4xjX2.1（加门O点到直线的距离为-|EF |d 2 2 ,24k )2241 k2) k22 2 , .k=2,.直线I的方程为y2x12分4_右1,_a27 .解：（1 ）由题意得 ab2c2,解得 a '、6 , b ,3ca2 '5分2 2故椭圆C的方程为一1 .63l的斜率存在，设直线l方程为yk(x 3),yk(x3),由x22丄得(1 2k2)x212k2x1,63（2 ）由题意显然直线因为直线l与椭圆C交于不同的两点 M , N ,

14、18k260.7 分所以422144k4(1 2k )(18k26)24(1 k )0,解得 1 k 1.N的坐标分别为(xi, yi),(X2, y2),X212k21乔，X1X218k21g，y1k(x1 3) , y2 k(x2 3).9 分2kkAN力1 yx12 x210'分所以kAM8 6 .解:(km 3k 1)(x22) (kx2 3k 1)(x12)2kxx (5k 1)(x-| x2) 12k4(Xi 2)(X22)xX22(x1 x2) 42k(18k26) (5k 1) 12k2 (12k4)(1 2k2)2 2 218k6 24 k 4(1 2k )4k242

15、2k22.kAN为定值2 .14.分a2 b21a222 2a 2b直线l : x y 20与圆x2b2相切b, b 2,b24, a28,22 2椭圆C1的方程是1.84(H)v MP=MF 2，动点M 到定直线h:x 2的距离等于它到定点 F2 (2 , 0 )的距离,动点M的轨迹C是以l1为准线，F2为焦点的抛物线2点M的轨迹C2的方程为y 8x(川)当直线 AC的斜率存在且不为零时，设直线A%, yJCg, y2),2x联立一8则直线AC的方程为yACk(x的斜率为k,2).所以Xi|AC|X2k(x8k21 2k2'"X21 k2)(x1 X2)2222)得(1 2

16、k )x8k2 81 2k2 .8k2x8k28 0.(1k2)(x1X2)24x-|X211由于直线BD的斜率为-,用-代换上式中的k可得| BD |冒9分.32(1 k2)k22 AC BD ,16(1 k2)21四边形ABCD的面积为S | AC | | BD |222(k 2)(1 2k )由(1 2k2)(k2 2) (1 2k2) (k2 2)2垫2- 2.12 分所以S 64,当1 2k2 k2 2时,即k1时取等号.13分9易知，当直线 AC的斜率不存在或斜率为零时，四边形ABCD的面积S 89解：/ |MN | 8又| PM| = 2| MF 得ap/(a 2cf)MF2e得

17、aec2c椭圆的标准方程为当AB的斜率为0时,122 y12显然当AB的斜率不为0时，设代 入(48m)2圆4 144(3m2AFMBFN 0.满足题意AgyJBXy) , AB 方程为 x4),y1kAFkBFkAF kBFx120,从而y2X2 2AFMmy 6BFN.综上可知：恒有AFMBFNS ABF Spbf S PAF1PF|卜2272 m 47223(m4) 163 m2当且仅当3 m24161(舍去)my 8,程 整48my1 y242my26(y1y223my2my2 672 mi 416m243m2 4722.316岳24即m2.三角形ABF面积的最大值是 3"

18、. 310【解析】：2x(1)设椭圆方程为a(my16)(my2 6)得1443m240(3m24)y2 48my1440 则28 (此时适合> 0的条件)取得等号32 y b21(ab 0)a则 42a2b1b21解得2ab28所以椭圆方程2(2)因为直线l平行于OM，且在y轴上的截距为 m又komiyXmi2y xm由 222Xyi821，所以I的方程为:22 2x 2mx 2m 40因为直线I与椭圆交于 A B两个不同点,m| 2 m 2,m 0。_ 2 _ 2 -(2 m) 4(2 m 4)0,所以m的取值范围是(3)设直线MA、MB的斜率分别为 佥山，只要证明& k2 0即可y2 ix22设 A(x!,y!), B(x2,y2)，则匕 也捲 22 2由x 2mx 2m 40可得论X222m, x!x2 2m 4而 kik2yi 1y ix12x2 2(yi 1)(X22)皿 1)(xi 2)(Xi 2)(X22)1 i(Xi m i)(x22)(X2 m i)(xi 2)2 2(Xi 2)(X22)xix2 (m 2)( x-i x2) 4( m i)(Xi 2)(X2 2)2m2 4 (m 2)( 2m) 4(m i)(Xi 2)(X22)ki k20 故直线MA、MB与X轴始终围