高考总复习经典讲义---空间向量及其运算

1、学习必备欢迎下载空间向量及其运算知识点 1、向量共线、共面的判定.1、共线 : 对空间任意两个向量a, b(b 0), ab 的充要条件是 _.2、共面 : 如果两个向量a, b(不共线 ), 那么向量p 与向量 a, b 共面的充要条件是存在惟一的有序实数对 (x, y), 使 _. 答案 :p xa yb.3、不共面 : 如果三个向量a, b, c 不共面 , 那么对空间任一向量p, 存在有序实数组 x, y, z,使得 p _, 把 a, b, c 叫做空间的一个基底.知识点 2、向量运算律 两向量的数量积已知两个非零向量a, b, 则 _ 叫做向量a, b 的数量积,记作_, 即 _.

2、 数量积的坐标运算, 若 a (a1, a2, a3), b (b1, b2 , b3), 则a·b _. 空间向量数量积的运算律结合律 : ( a) ·b _; 交换律 : a·b _; 分配律 : a·(b c) _. 模、夹角和距离公式设 a (a1, a2, a3), b (b1, b2, b3),则|a| a·a _, cos a, b |a|b|a·b _ .若 A(a1, b1, c1), B( a2 , b2, c2),则 |AB| _.题型一直线的方程形式(1) 空间向量 : 在空间中 , 具有 _和 _的量叫做空间

3、向量 .(2) 相等向量 : 方向 _且模 _的向量 .(3) 共线向量定理1. 若 a (2x,1,3), b (1, 2y,9),且 a b, 则 ()111313A. x 1, y 1B. x 2, y2C. x6, y2D. x6, y22x1313解: 选 C, ab, 2y , x , y .19622. (2016 青·岛月考 )如图所示 , 在平行六面体ABCD A1B1C1D1 中 , M 为 AC 与 BD 的交点 , 若 A1 B1 a, A1D1 b,)A1A c, 则下列向量中与B1M相等的向量是 (11111111A. 2a 2b cB.2a 2b cC.

4、2a 2bcD. 2a 2bc1 1 解: 选 A, B1MB1A1A1AAM A1B1 A1AAB AD22 a c 1(a b)1a1b c.2223. (2016 ·州调研广 )在平行六面体 ABCD ABCD中 , 已知 BAD AAB AAD 60°,AB 3, AD 4, AA 5, 则 |AC|_.学习必备欢迎下载 解: AC AB BC CC AB AD AA,22 22 |AC ABAD AA2AB2AD 2AA|·AD·AA·AB32224 5 2×3×4×cos 60 ° 2

5、5;4×5×cos 60 ° 2×3×5×cos 60 ° 97, |AC| 97.4. 有下列 4 个命题 : 若 p xa yb, 则 p 与 a、 b 共面 ; 若 p 与 a、 b 共面 , 则 p xa yb; 若 MP xMA yMB, 则 P、M、A、B 共面 ; 若 P、M、A、B 共面 , 则 MP xMA yMB .其中真命题的个数是()A. 1B. 2C. 3D. 44. 选 B, 正确 . 中若 a、b 共线 , p 与 a 不共线 , 则 p xa yb 就不成立 . 正确 . 中若 M、A、B 共

6、线 , 点 P 不在此直线上 , 则MP xMA yMB 不正确 .5. A(1,0,1), B(4,4,6), C(2,2,3), D(10,14,17) 这四个点 _(填共面或不共面 ).5. 共面,解 : AB (3,4,5),AC (1,2,2),AD(9,14,16), 设AD xAB yAC,即(9,14,16) (3x y,4x 2y,5x 2y). x 2,从而 A、B、 C、 D 四点共面 .y 3题型二空间基向量的应用6、已知空间四边形OABC 中,M为 BC的中点 ,N为AC 的中点,P为 OA的中点 ,Q为 OB的中点 , 若 ABOC, 求证 : PM QN.1 11

7、 1(a c),设OA a, OB b, OC c. OM(OB OC)2(b c), ON( OAOC)2221a11(b c a),PM PO OM22(b c)2111QNQO ONb (ac) (a c b).222 11 221 2 2PM ·QNc (a b) c(a b) c(ab) (|OC| |BA| )444 故 PMQN.|AB|OC|, PM ·QN 0.即 PMQN,7、如图 , 在正四面体ABCD 中 ,E、 F 分别为棱 AD 、 BC 的中点 , 则异面直线 AF 和 CE 所成角的余弦值为 _.1 1 设 AB, AC,AD 为空间一组基底

8、 , 则AF 2AB2AC,1 11 1 1 CECA CD2CA(AD AC) ACAD .2222 1 11 1 1 21 1 AF·CE2AB2AC ·AC 2AD 2AB ·AC2AC 4AB·AD 4AC·AD1 21 21 2121 2AB ACAB AC AC.428821 2 3 3 2 AC2AF ·CE2又|AF|CE|2|AC|, |AF | |CE·|AC|. cosAF , CE .4323|AF |CE|4|AC|2异面直线AF 与 CE 所成角的余弦值为.学习必备欢迎下载8、(2016 

9、3;肥调研合 )两个边长为1 的正方形ABCD 与正方形ABEF 相交于 AB, EBC 90°, 点 M、 N 分别在 BD、 AE 上, 且 AN DM .(1) 求证 : MN 平面 EBC; (2) 求 MN 长度的最小值 .解: 如图所示 , 建立坐标系后 ,的要证 MN 平行于平面 EBC, 只要证 MN横坐标为0即可.(1)证明如图所示 ,以 BA、 BC、 BE为单位正交基底建立空间直角坐标系 , 则 A(1,0,0), D (1,1,0), E(0,0,1), B(0,0,0), 设 AN DM ,则AEDB 1,0)( 1,0,1) (0, 1, ).MN MD

10、DA AN BD DA AE (1,1,0) (0,即 MN 平面 EBC.0< <1, 10,0,且 MN 的横坐标为0. MN 平行于平面 yBz,(2)222121,解: 由(1)知|MN| 2 2 1222当 1时 , MN 取得长度的最小值为222 .A 组专项基础训练题组1. 下列命题 : 若 A、B、 C、 D 是空间任意四点, 则有 AB BC CDDA 0; |a| |b| |a b|是 a、 b 共线的充要条件 ; 若 a、 b 共线 , 则 a 与 b 所在直线平行 ; 对空间任意一点O 与不共线的三点A、B、C, 若 OP xOA yOB zOC(其中 x、

11、y、zR )则 P、 A、 B、C 四点共面 . 其中假命题的个数是 ( C)A. 1B. 2C. 3D. 42. 如图所示 , 在正方体 ABCD A1B1C1D 1 中 , O 是底面 ABCD 的中心 , M、 N 分别是棱 DD 1、D1C1 的中点 , 则直线 OM(A)A. 既垂直于AC, 又垂直于MNB. 垂直于 AC, 但不垂直于MNC. 垂直于 MN, 但不垂直于ACD. 与 AC、MN 都不垂直3. (2016 ·兴月考绍 ) 如图所示 , 在三棱柱 ABC A1B1C1 中, AA1底面ABC, AB BC AA 1, ABC 90°, 点 E、F 分

12、别是棱 AB、BB1 的中点 , 则直线 EF和 BC1 所成的角是 (B)A. 45°B.60 °C. 90°D. 120°4.设点 C(2a 1, a1,2)在点 P(2,0,0)、A(1, 3,2)、B(8, 1,4)确定的平面上 ,则 a 等于 (A)A. 16B. 4C. 2D. 8解: 选A得 : (2a 1, a 1,2) 由PC 2(6, 1, 4),1PA2PB1( 1, 3,2) 6 2a 112 3 a 1，解得 a16.124 22125.在直角坐标系中 ,A(2,3),B(3, 2), 沿 x 轴把直角坐标系折成120 

13、6;的二面角 , 则 AB 的长度为 (B )A.2B.2 11C.3 2D. 42学习必备欢迎下载解: 过 A、B 分别作 AA1 x 轴 , BB 1 x 轴 , 垂足分别为A1 和 B1, 则 AA 1 3, A1B1 5, BB1 2,2 2 2 222 22 2×3×2×cos AB AA1 A1B1 B1B, AB AA1 A1B1 B1B 2AA1 ·B1B 3 511.60° 44. |AB| 26. (2016 ·阳模拟信)如图所示 , 已知空间四边形ABCD,F为BC的中点,E为则 _.AD 的中点 , 若 EF

14、(AB DC), 解: EF EAAB BF,又EF ED DC CF, 112EF AB DC ,EF(AB DC ), .227. (2016 铜·川模拟 ) 在正方体 ABCD A1B1C1D1 中 , 给出以下向量表达式 : (A1D 1A1A) AB;(BC BB1) D 1C1; (AD AB) 2DD 1;(B1D1 A1A)DD 1 .其中能够化简为向量BD 1的是 _. (填所有正确的序号 )解 (A1D 1 A1A) AB AD 1 AB BD 1; (BC BB1) D 1C1 BC1 D1 C1 BD 1; (AD AB) 2DD 1 BD 2DD 1 BD

15、1; (B1D 1 A1A) DD1 B1D1 (A1ADD 1)B1D1BD 1.8. (2016 丽·水模拟 ) 如图所示 , PD 垂直于正方形 ABCD 所在平面 , 3AB 2, E 为 PB 的中点 , cos DP, AE 3, 若以 DA, DC , DP 所在直线分别为 x, y, z 轴建立空间直角坐标系, 则点 E 的坐标为 _.解: 设 DP y>0, 则 A(2,0,0), B(2,2,0), P(0,0, y), E 1， 1，y2 ,yDP (0,0, y), AE 1， 1，2解得 y 2, E(1,1,1). 12 2yy3DP·AE

16、2. cosDP , AE 3y8 y2|DP|AE|y2 4B 组专项能力提升题组9. 如图所示 , 已知 ABCD A1B1C1D1 是棱长为 3 的正方体 , 点 E 在 AA1 上 ,点 F 在 CC1上, 且 AEFC11.(1) 求证 : E、 B、F、 D1 四点共面 ;(2) 若点2上, GM BF,垂足为 H, 求证 :G在BC上,BG ,点M在BB13EM平面 BCC1B1.证明 : (1)建立如图所示的空间直角坐标系 ,则 BE (3,0,1),BF (0,3,2), BD 1 (3,3,3). 所以 BD1 BE BF . 故 BD1、 BE、 BF 共面 .又它们有公

17、共点B, E、B、F、 D1 四点共面 . (6 分 )学习必备欢迎下载2(2) 设 M(0,0, z), 则GM0， z . 而 BF (0,3,2),23 得 z由题设 , 得GM ·BF×3 z·20,1. M(0,0,1), E(3,0,1), ME (3,0,0).3 从而 ME BB1, ME BC.又BB1 (0,0,3), BC (0,3,0), ME·BB1 0, ME·BC 0,又 BB1BC B, ME 平面 BCC1B1.10、如图所示 , 已知正方形 ABCD 和矩形 ACEF 所在的平面互相垂直,AB 2, AF 1

18、, M 是线段 EF 的中点 .求证 : (1) AM平面 BDE;(2) AM面 BDF .证: (1) 建立如图所示的空间直角坐标系,设 ACBD N, 连接 NE. 则点 N、 E 的坐标分别为2，2，0 、222，2.又点 A、 M 的坐标分别为(0,0,1). NE 2， 122222， 1 .( 2,2, 0)、 2， ，1 ,AM ，222不共线 . NEAM. 又 NE? 平面 BDE ,NEAM且 NE 与 AMAM?平面 BDE, AM 平面 BDE .(2) 由(1)得,2，2, D(2, 0,0), F(2,2, 1), B(0,2, 0),AM22， 1 (0,2,

19、1), DFBF (2, 0,1). AM ·DF 0, AM·BF 0. AM DF, AMBF,即 AM DF, AMBF. 又 DF BFF, AM平面 BDF .11、(2009 ·建福 )如图 , 四边形 ABCD 是边长为 1 的正方形 , MD 平面 ABCD , NB平面 ABCD , 且 MD NB 1, E 为 BC 的中点 .(1) 求异面直线 NE 与 AM 所成角的余弦值；(2) 在线段 AN 上是否存在点 S, 使得 ES平面 AMN ？若存在 , 求线段 AS 的长；若不存在 , 请说明理由 .解(1) 如图所示 , 以点 D 为坐标

20、原点 , 建立空间直角坐标系D xyz.依题意 , 得 D (0,0,0), A(1,0,0), M(0,0,1), C(0,1,0), B(1,1,0), N(1,1,1),11E 2， 1，0. NE2，0， 1, AM ( 1,0,1). 110NE·AM2,cos NE, AM 105|NE|·|AM |2× 2异面直线NE 与 AM 所成角的余弦值为1010 .(2) 假设在线段 AN 上存在点 S, 使得 ES平面 AMN .1AN (0,1,1), 可设 AS AN (0,), 又 EA 2， 1， 0,1 ES·AM 0，ESEA AS，

21、 1， . 由 ES平面 AMN, 得2 0，ES·AN12 0，1112即 0.故 2, 此时 AS 0， 2，2, |AS| 2 .学习必备欢迎下载经检验 , 当 AS2时 , ES平面 AMN . 故线段 AN 上存在点 S, 使得 ES平面 AMN , 此时22AS 2.12. (2011 汕·头月考 ) 如图所示 , 已知空间四边形 ABCD 的各边和对角线的长都等于 a, 点 M、 N 分别是 AB、 CD 的中点 .(1) 求证 : MNAB, MN CD；(2) 求 MN 的长；(3) 求异面直线 AN 与 CM 所成角的余弦值 .(1)证明设 AB p, AC q, AD r.由题意可知: |p| |q| |r| a,且 p、 q、 r 三向量两两夹角均为60°.1 11(q r p), (2 分 )MNAN AM (ACAD )AB212121 (q r p) ·p2222MN ·AB2(q·p r ·p p ) (a ·cos 60 °