南京工业大学高等数学ch85

1、第第 八八 章章多元函数微分法及其应用多元函数微分法及其应用第五节隐函数求导公式前页后页返回机动第五节第五节 隐函数的求导公式隐函数的求导公式返回前页后页返回机动一、一个方程的情形一、一个方程的情形 00 )(, )( ),( xyxfxyyyxf则有恒等式则有恒等式一元隐函数一元隐函数设二元方程设二元方程0 dxdyyfxfx 求全导数求全导数上式对上式对 0yfyfxfdxdy 要求要求解得解得前页后页返回机动隐函数存在定理隐函数存在定理1 1 . ),( iii ),( ii),(),( i ),( 0000000000 yxfyxfyxpyxfyxfy；某邻域内有连续偏导数某邻域内有连

2、续偏导数在点在点满足以下三个条件：满足以下三个条件：设设，且有，且有确定一个一元隐函数确定一个一元隐函数点的邻域内总能唯一点的邻域内总能唯一在在则二元方程则二元方程 )( ),(xyypyxf 00 具有连续导数；具有连续导数；单值连续，且单值连续，且 )( )( )( ixyyiixyyxyy 00 . iiiyfxfdxdy 公式公式前页后页返回机动. ),( 1 yxyeyx ，并求，并求点邻域内验证定理条件点邻域内验证定理条件，试在，试在设二元方程设二元方程例例00011 xyeyxfyx),( 设设解：解： 2y 求求 验证验证 1yefyxx ,xefyxy ；显显然然在在整整个个

3、实实平平面面连连续续，且且 ),( ),(0100000 yff.故满足定理条件故满足定理条件yxffy ； xeyeyxyx 前页后页返回机动“直直接接法法”另另法法： 求求导导的的恒恒等等式式，两两边边同同时时对对原原方方程程视视作作关关于于xx )()( 01 yxyyeyx即即可可。解解出出 xeyeyyxyx 直直接接法法”。而而求求高高阶阶导导数数一一般般用用“”只只适适合合求求一一阶阶导导数数！值值得得注注意意的的是是“公公式式法法接接法法”，用用了了“公公式式法法”和和“直直中中求求注注：例例y 1 前页后页返回机动隐函数存在定理隐函数存在定理2 2满足以下三个条件：满足以下三

4、个条件：设设 ),( 0 zyxf . ),( iii ),( ii),(),( i000000000000 zyxfzyxfzyxpzyxfz；邻域内有连续偏导数；邻域内有连续偏导数；在点在点，且有，且有一个二元隐函数一个二元隐函数点的邻域内唯一确定点的邻域内唯一确定在在则二元方程则二元方程 ),(z ),(yxfpzyxf 00 具有连续偏导数；具有连续偏导数；单值连续，且单值连续，且 ),( ii ),( ),( iyxfzyxfzyxfz 000 zyzxffyzffxz iii，公式公式前页后页返回机动. )( ),( 2 yzxzfyzyfzyxyxzz ，可微，求可微，求确定，其

5、中确定，其中由方程由方程设设例例222 全全微微分分法法直直接接法法公公式式法法可可考考虑虑方方法法： 答答案案： ，zfxxz22 zffyzfyyz22 . 3 2222204xzzzyx ，求求设设例例前页后页返回机动 二、方程组的情形二、方程组的情形. ),(),( ),(),( yxyxvvuuyxvvyxuuvuyxgvuyxf，均可偏导，求，均可偏导，求，确定两个二元函数，确定两个二元函数若方程组若方程组 00 解：解：， ),(),(,),(),(, 00yxvyxuyxgyxvyxuyxf求求偏偏导导数数上上面面恒恒等等式式两两边边分分别别对对 x前页后页返回机动 00 xv

6、gxuggxvfxuffvuxvux得得， ),(),(,),(),(, 00yxvyxuyxgyxvyxuyxf xvuxvugxvgxugfxvfxuf 或或则则方方程程组组有有唯唯一一解解为为：公公式式法法：若若系系数数行行列列式式由由解解二二元元一一次次方方程程组组的的0 vuvuggff ),(),(vugfj前页后页返回机动 vuvuvxvxggffggffxu ),(),(vxgfj 1vuvuxuxuggffggffxv ),(),(xugfj 1前页后页返回机动 同理可得： vuvuyuyuvuvuvyvyggffggffyvggffggffyu ),(),(vygfj 1)

7、,(),(yugfj 1前页后页返回机动. dzdydzdxzyxzyx及及，求，求设设例例 10222 利利用用“直直接接法法”解解：加减消元法xyzxdzdyxyyzdzdx ，可可得得前页后页返回机动三、内容小结三、内容小结1. 隐函数( 组) 存在定理2. 隐函数 ( 组) 求导方法方法1. 利用复合函数求导法则直接计算 ;方法2. 利用微分形式不变性 ;方法3. 代公式)()(xzzxyy及,2 yxeyx.ddxu求分别由下列两式确定 :又函数),(zyxfu 有连续的一阶偏导数 ,设,dsin0tttezxx返回前页后页返回机动)()(xzzxyy及,2 yxeyx.ddxu求分别由下列两式确定 :又函数),(zyxfu 有连续的一阶偏导数 ,设解解: 两个隐函数方