大学高等数学第七章2线性方程组的求解ppt课件

1、线性方程组的普通方式线性方程组的普通方式 111212122212nnmmmnaaaaaaAaaa12nxxXx12mbbbb11 11221121 1222221 122nnnnmmmnnma xa xa xba xa xa xba xaxaxb1 记记 那么有矩阵方式那么有矩阵方式 AXb11 112 21121 122 2221 12 2n nn nmmmn nma xa xa xba xa xa xba xa xa xb1 12 (1,2, )jjjmjaajna1122nnxxxb那么方程组有向量方式那么方程组有向量方式 线性方程组的向量方式线性方程组的向量方式 记记 线性方程组的普

2、通方式线性方程组的普通方式 11 11221121 1222221 122nnnnmmmnnma xa xa xba xa xa xba xa xa xb1 当当 时，称方程组时，称方程组1为齐次线性方程组；为齐次线性方程组；当当 ，称方程组，称方程组1为非齐次线性方程组。为非齐次线性方程组。0b 0b 齐次线性方程组的解的性质齐次线性方程组的解的性质 解向量：方程组的解构成向量解向量：方程组的解构成向量 称为解向量。称为解向量。 12,TnXx xx结论：齐次线性方程组的解的恣意线性组合还是该方程组的解。结论：齐次线性方程组的解的恣意线性组合还是该方程组的解。 1、假设、假设 是齐次线性方程

3、组的解，那么是齐次线性方程组的解，那么 也是也是 方程组的解。方程组的解。 12, 122、假设、假设 是齐次线性方程组的解，那么是齐次线性方程组的解，那么 也是方程组的解。也是方程组的解。 k根底解系的概念根底解系的概念 假设齐次线性方程组假设齐次线性方程组 的解向量组的解向量组 线性无关，方程组的恣意解可由该向量组线性表示，那么该组解向线性无关，方程组的恣意解可由该向量组线性表示，那么该组解向量称为方程组的一个根底解系。量称为方程组的一个根底解系。0AX 12,n r 注：根底解系是不独一的。注：根底解系是不独一的。 齐次线性方程组的解的构造齐次线性方程组的解的构造 定理定理 假设齐次线性

4、方程组的系数矩阵的秩假设齐次线性方程组的系数矩阵的秩 ，那么齐次线性方程组有根底解系，根底解系中含有那么齐次线性方程组有根底解系，根底解系中含有 个解向量。个解向量。( )R Arnnr证明：见书证明：见书 P267 定理定理 假设齐次线性方程组的根底解系为假设齐次线性方程组的根底解系为 ，那么方程组的通解为那么方程组的通解为12,n r 1 122n rn rXkkk12n rk kk, ,其中其中 为恣意常数。为恣意常数。 例例 求解齐次线性方程组，用根底解系表示通解。求解齐次线性方程组，用根底解系表示通解。 12341232341234032023054320 xxxxxxxxxxxxx

5、x解解 将系数矩阵将系数矩阵A作行初等变换作行初等变换 1111321001235432A10120123000000001111012301230123方程组的普通解为方程组的普通解为 134234223xxxxxx ()2R A 所以所以 12324221rrrrrrr 214135rrrr其中其中 为自在未知量为自在未知量 34,x x11221212314221223231001xkkxkkkkxkxk改写为向量方式，得改写为向量方式，得 121223,1001其中其中 即为根底解系即为根底解系 134234223xxxxxx 方程组的普通解为方程组的普通解为 非齐次线性方程组的解的性

6、质非齐次线性方程组的解的性质 非齐次线性方程组非齐次线性方程组 (1)AXb对应的齐次线性方程组对应的齐次线性方程组 0 (2)AX 假设假设 是是1的解，那么的解，那么 是是2的解。的解。 12, 12假设假设 是是1的解，的解， 是是2的解，那么的解，那么 是是1的解。的解。证明证明 1Ab2Ab120AAbAb0A证明证明 非齐次线性方程组的解的构造定理非齐次线性方程组的解的构造定理 假设假设 是非齐次线性方程组的特解，是非齐次线性方程组的特解， 是对应的是对应的齐次线性方程组的一个根底解系，那么非齐次线性方程组的通解齐次线性方程组的一个根底解系，那么非齐次线性方程组的通解可表示为可表示

7、为 。12,n r 1 122n rn rXkkk例例 设三元非齐次线性方程组设三元非齐次线性方程组AX=b的系数矩阵的系数矩阵A的秩为的秩为 2，且它，且它的三个解向量的三个解向量 满足满足 ，求，求AX=b的通解。的通解。123, 12133,1, 1,2,0, 2TT解解 由题设知：方程组由题设知：方程组AX=0的根底解系中只含有一个解向量的根底解系中只含有一个解向量 121323()() )1,1,1T即为一根底解系即为一根底解系 131,0, 12T即为一特解即为一特解 1,0, 11,1,1TTXk所以原方程组的通解为所以原方程组的通解为 非齐次线性方程组有解的充要条件非齐次线性方

8、程组有解的充要条件 非齐次线性方程组非齐次线性方程组AX=b有解有解 向量向量b可由矩阵可由矩阵A的列向量组的列向量组 线性表示线性表示 12,n 向量组向量组 与向量组与向量组 等价等价 12,n 12,nb 1212,nnRRb ( )( )R AR AAAb其中其中 ，称为增广矩阵，称为增广矩阵 定理定理 线性方程组线性方程组AX=b有解的充分必要条件是：系数矩阵有解的充分必要条件是：系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，即的秩等于增广矩阵的秩，即 。 当当 时，方程组有独一解；时，方程组有独一解； 当当 时，方程组有无穷多解；时，方程组有无穷多解； 当当 时，方程组无解。时，方程组无解。( )

9、( )R AR Arn( )( )R AR Arn( )( )R AR A( )( )R AR A例例 求解线性方程组求解线性方程组 23424538213496xyzxyzxyzxyz 解解 将增广矩阵作行初等变换将增广矩阵作行初等变换 23141245382134196A12324212234rrrrrrrr12450771401414280771432422122172rrrrrrr1021011200000000所以所以 ( )( )23R AR A方程组有无穷多解方程组有无穷多解 普通解为普通解为 1 22xzyz 其中其中Z为自在未知量为自在未知量 令令Z=K，将普通解改写为向量方

10、式，得，将普通解改写为向量方式，得 122101xykz 其中其中 为根底解系为根底解系 211例例 求解线性方程组，当求解线性方程组，当 K 为何值时，方程组有为何值时，方程组有1独一解？独一解？2无解？无解？3无穷多解？并用根底解系表示通解。无穷多解？并用根底解系表示通解。21kxyzxkyzkxykzk解解 方程组的系数行列式为方程组的系数行列式为 21111(2)(1)11kkkkk1当当 且且 时，时，方程组有独一解。方程组有独一解。2k 1k 2当当 时，增广矩阵为时，增广矩阵为2k 211112121124A033903361124000303361124( )3( )2R AR A此时，方程组无解。此时，方程组无解。 13232rrrr12rr3当当 时，