第九章1二重积分的概念和性质79589

1、二重积分的概念和性质二重积分的概念和性质 在一元函数积分学中，我们已经知道，定积在一元函数积分学中，我们已经知道，定积分是定义在某一区间上的一元函数的某种特定形分是定义在某一区间上的一元函数的某种特定形式的和式的极限，由于科学技术和生产实践的发式的和式的极限，由于科学技术和生产实践的发展，需要计算空间形体的体积、曲面的面积、空展，需要计算空间形体的体积、曲面的面积、空间物体的质量、重心、转动惯量等，定积分已经间物体的质量、重心、转动惯量等，定积分已经不能解决这类问题，另一方面，从数学逻辑思维不能解决这类问题，另一方面，从数学逻辑思维的规律出发，必然会考虑定积分概念的推广，从的规律出发，必然会考

2、虑定积分概念的推广，从而提出了多元函数的积分学问题。而提出了多元函数的积分学问题。 当人们把定积分解决问题的基本思想当人们把定积分解决问题的基本思想“分分割、近似代替、求和、取极限割、近似代替、求和、取极限”用于解决这类问用于解决这类问题时发现是完全可行的。把解决的基本方法抽象题时发现是完全可行的。把解决的基本方法抽象概括出来，就得到多元函数积分学。概括出来，就得到多元函数积分学。 具体地说就是推广到：定义在平面区域上的二元具体地说就是推广到：定义在平面区域上的二元函数、定义在空间区域上的三元函数、定义在一段函数、定义在空间区域上的三元函数、定义在一段平面曲线弧上的二元函数、定义在空间一段曲线

3、弧平面曲线弧上的二元函数、定义在空间一段曲线弧上的三元函数、定义在空间曲面上的三元函数，从上的三元函数、定义在空间曲面上的三元函数，从而得到二重积分、三重积分、曲线积分和曲面积分。而得到二重积分、三重积分、曲线积分和曲面积分。这就是多元函数积分学的内容。这就是多元函数积分学的内容。本章将讨论重积分，包括二重积分、三重积分的本章将讨论重积分，包括二重积分、三重积分的概念、性质、计算和应用。概念、性质、计算和应用。重点重点：重积分的计算方法，交换累次积分次序。：重积分的计算方法，交换累次积分次序。难点难点：选择坐标系，确定积分次序，定积分限。：选择坐标系，确定积分次序，定积分限。基本要求基本要求理

4、解重积分概念，了解其基本性质理解重积分概念，了解其基本性质熟练掌握重积分的计算方法熟练掌握重积分的计算方法掌握累次积分的换序法掌握累次积分的换序法掌握各种坐标系及坐标系下的面积元、体积元掌握各种坐标系及坐标系下的面积元、体积元理解重积分的实际背景，能用重积分解决立体体理解重积分的实际背景，能用重积分解决立体体积、曲面面积、重心、转动惯量等实际问题。积、曲面面积、重心、转动惯量等实际问题。一、问题的提出一、问题的提出曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积柱体体积柱体体积=底面积底面积高高特点特点：平顶：平顶.),(yxfz d柱体体积柱体体积=？特点特点：曲顶：曲顶. 求曲顶柱体的体积采用求曲顶柱体的体积

5、采用 “分割、求和分割、求和、取极限、取极限”的方法，如下动画演示的方法，如下动画演示步骤如下：步骤如下：用若干个小平用若干个小平顶柱体体积之顶柱体体积之和近似表示曲和近似表示曲顶柱体的体积，顶柱体的体积，xzyod),(yxfz i),(ii先分割曲顶柱体的底先分割曲顶柱体的底，并取典型小区域，并取典型小区域，.),(lim10iiniifv 曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积求平面薄片的质量求平面薄片的质量 设设有有一一平平面面薄薄片片，占占有有xoy面面上上的的闭闭区区域域d，在在点点),(yx处处的的面面密密度度为为),(yx ，假假定定),(yx 在在d上上连连续续，平平面面薄薄片片的的质

6、质量量为为多多少少？将薄片分割成若干小块，将薄片分割成若干小块，取典型小块，将其近似取典型小块，将其近似看作均匀薄片，看作均匀薄片， 所有小块质量之和所有小块质量之和近似等于薄片总质量近似等于薄片总质量xyo),(iii.),(lim10iiniim 二、二重积分的概念二、二重积分的概念定义定义 设设),(yxf是有界闭区域是有界闭区域d上的有界函上的有界函数，将闭区域数，将闭区域d任意分成任意分成n个小闭区域个小闭区域1 ，,2 ，n ，其中，其中i 表示第表示第i个小闭区域，个小闭区域，也表 示它 的 面积 ， 在每 个也表 示它 的 面积 ， 在每 个i 上 任取 一点上 任取 一点),

7、(ii ，作乘积作乘积 ),(iif i ， ), 2 , 1(ni ，并作和并作和 iiniif ),(1，如果当各小闭区域的直径中的最大值如果当各小闭区域的直径中的最大值 趋近于零趋近于零时，这和式的极限存在，则称此极限为函数时，这和式的极限存在，则称此极限为函数),(yxf在闭区域在闭区域 d d 上的上的二重积分二重积分，记为记为 ddyxf ),(，即即 ddyxf ),(iiniif ),(lim10. .对二重积分定义的说明：对二重积分定义的说明：(1) 在二重积分的定义中，对闭区域的划分是在二重积分的定义中，对闭区域的划分是任意的任意的.(2)当当),(yxf在闭区域上连续时，

8、定义中和式在闭区域上连续时，定义中和式的极限必存在，即二重积分必存在的极限必存在，即二重积分必存在.二重积分的几何意义二重积分的几何意义当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的负值负值由二重积分的定义可知由二重积分的定义可知若二重积分若二重积分 niiiidofdyxf1),(),(lim 存在存在则其值与区域的分法和小区域上点的取法无关，则其值与区域的分法和小区域上点的取法无关，故可采用一种便于计算的划分方式故可采用一种便于计算的划分方式 在直角坐标系下，用平行于坐标轴

9、的直线族把在直角坐标系下，用平行于坐标轴的直线族把d分成一些小区域，这些小区域中除去靠分成一些小区域，这些小区域中除去靠d的边界的边界的一些不规则小区域外，绝大部分都是小矩形，的一些不规则小区域外，绝大部分都是小矩形，紧靠紧靠d的边界的小区域的面积的边界的小区域的面积 iit其中其中l为为d的围长的围长ljj )0( , 0),( mlmfjjjjjj则面积元素为则面积元素为dxdyd xyo故二重积分可写为故二重积分可写为 dddxdyyxfdyxf),(),(三、二重积分的性质三、二重积分的性质（二重积分与定积分有类似的性质）（二重积分与定积分有类似的性质）性质性质.),(),( dddy

10、xfkdyxkf 性质性质 ddyxgyxf ),(),(.),(),( dddyxgdyxf 性质性质.),(),(),(21 ddddyxfdyxfdyxf 对区域具有可加性对区域具有可加性)(21ddd 性质性质 若若 为为d的面积，的面积，.1 dddd 性质性质若在若在d上上),(),(yxgyxf 则有则有.),(),( dddyxgdyxf 特殊地特殊地.),(),( dddyxfdyxf 性质性质 设设m、m分分别别是是),(yxf在在闭闭区区域域 d 上上的的最最大大值值和和最最小小值值， 为为 d 的的面面积积，则则 dmdyxfm),(（二重积分估值不等式）（二重积分估值

11、不等式）性质性质 设设函函数数),(yxf在在闭闭区区域域d上上连连续续， 为为d的的面面积积，则则在在 d 上上至至少少存存在在一一点点),( 使使得得 ),(),(fdyxfd（二重积分中值定理）（二重积分中值定理）例例 1 1 不不作作计计算算，估估计计 deidyx )(22的的值值， 其其中中d是是椭椭圆圆闭闭区区域域： 12222 byax )0(ab .解解区区域域 d的的面面积积 , ab在在d上上 2220ayx ,12220ayxeee 由由性性质质 6 知知,222)(adyxede dedyx)(22 ab.2aeab 例例 2 2 估估计计 dxyyxdi16222

12、的的值值，其其中中 d： 20, 10 yx.解解,16)(1),(2 yxyxf区域面积区域面积2 ,在在d上上),(yxf的的最最大大值值)0(41 yxm),(yxf的的最最小小值值5143122 m)2, 1( yx 故故4252 i. 5 . 04 . 0 i例例 3 3 判断判断 122)ln(yxrdxdyyx的符号的符号.解解当当1 yxr时时,故故 0)ln(22 yx;, 1)(0222 yxyx又又当当 1 yx时时, 0)ln(22 yx于是于是0)ln(122 yxrdxdyyx.例例 4 4 比较积分比较积分 ddyx )ln(与与 ddyx 2)ln(的大小的大小

13、, 其中其中 d 是三角形闭区域是三角形闭区域, 三顶点各为三顶点各为(1,0),(1,1), (2,0).解解三三角角形形斜斜边边方方程程2 yx在在 d 内内有有 eyx 21,故故 1)ln( yx,oxy121d于于是是 2)ln()ln(yxyx ,因因此此 ddyx )ln( ddyx 2)ln(. 求曲顶柱体的体积采用求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和分割、求和、取极限、取极限”的方法，如下动画演示的方法，如下动画演示四、小结四、小结二重积分的定义二重积分的定义（和式的极限）（和式的极限）二重积分的几何意义二重积分的几何意义（曲顶柱体的体积）（曲顶柱体的体积）二重积分的性质二重积

14、分的性质 （与定积分类似）（与定积分类似）思考题思考题 将二重积分定义与定积分定义进行比较，将二重积分定义与定积分定义进行比较，找出它们的相同之处与不同之处找出它们的相同之处与不同之处.思考题解答思考题解答 定积分与二重积分都表示某个和式的极限定积分与二重积分都表示某个和式的极限值，且此值只与被积函数及积分区域有关不值，且此值只与被积函数及积分区域有关不同的是定积分的积分区域为区间，被积函数为同的是定积分的积分区域为区间，被积函数为定义在区间上的一元函数，而二重积分的积分定义在区间上的一元函数，而二重积分的积分区域为平面区域，被积函数为定义在平面区域区域为平面区域，被积函数为定义在平面区域上的

15、二元函数上的二元函数练练 习习 题题一、一、填空题填空题: : 1 1、 当函数当函数),(yxf在闭区域在闭区域d上上_时时, ,则其在则其在d上的二重积分必定存在上的二重积分必定存在 . . 2 2、 二 重 积 分二 重 积 分 ddyxf ),(的 几 何 意 义 是的 几 何 意 义 是_._. 3 3、 若若),(yxf在 有 界 闭 区 域在 有 界 闭 区 域d上 可 积上 可 积 , , 且且21ddd , ,当当0),( yxf时时, , 则则 1),(ddyxf _ 2),(ddyxf ; ; 当当0),( yxf时时, , 则则 1),(ddyxf _ 2),(ddyxf . . 4 4、 ddyx )sin(22_ , ,其中其中 是圆域是圆域 2224 yx的面积的面积 , , 16. .二二、利利用用二二重重积积分分定定义义证证明明: : dddyxfkdyxkf ),(),(. .( (其其中中k为为常常数数) ) 三三、比比较较下下列列积积分分的的大大小小: : 1 1、 dddyxdyx 322)()(与与, ,其其中中d是是由由圆圆 2) 1()2(22 yx所所围围成成 . . 2 2、 dyxdyxd2)ln()ln(与与, ,其其中中d是是矩矩形形 闭闭区