2020-2021天津中考数学二次函数综合题汇编

1、2020-2021天津中考数学二次函数综合题汇编一、二次函数交y轴于点C,点P是该抛A重合)，过点P作PD/ y1.已知如图，抛物线 y=x2+bx+c过点A (3, 0) , B (1,0), 物线上一动点，点 P从C点沿抛物线向A点运动(点P不与点 轴交直线AC于点D.(1)(2)(3)(4)求抛物线的解析式；求点P在运动的过程中线段 PD长度的最大值； APD能否构成直角三角形？若能请直接写出点P坐标,若不能请说明理由;在抛物线对称轴上是否存在点M使| MA - MC|最大?若存在请求出点M的坐标，若不存在请说明理由.C0刍用图9.【答案】(1) y=x2-4x+3; (2)(3)点 P

2、 (1, 0)或(2, - 1);4(4) M (2,3) .【解析】试题分析：(1)把点A、B的坐标代入抛物线解析式，解方程组得到b、c的值，即可得解；(2) 出点(3)求出点C的坐标，再利用待定系数法求出直线AC的解析式，再根据抛物线解析式设P的坐标，然后表示出 PD的长度，再根据二次函数的最值问题解答；/APD是直角时，点P与点B重合， 求出抛物线顶点坐标，然后判断出点P为在抛物线顶点时， /PAD是直角，分别写出点 P的坐标即可;(4)根据抛物线的对称性可知MA=MB ,再根据三角形的任意两边之差小于第三边可知点M为直线CB与对称轴交点时， 式，再求解即可.试题解析：解：(1) .抛物

3、线| MA - MC|最大，然后利用待定系数法求出直线BC的解析y=x2+bx+c过点 A (3, 0) , B (1,0),9 3b c 04,1-抛物线解析式为y=x2 4x+3;3(2)令 x=0,则 y=3, 点 C4x+3) . PD/ y 轴,.点 D(0, 3),则直线 AC的解析式为y=-x+3,设点P (x, x2(x, - x+3) , PD= (-x+3) - (x24x+3) = - x2+3x=-x- 3) 2+9. a=-1V0, 当x=时，线段PD的长度有最大值 -;2424(3)/APD是直角时，点 P与点B重合，此时，点 P (1, 0),y=x2-4x+3=

4、 (x-2) 2-1,，抛物线的顶点坐标为(2, - 1) . A(3, 0),，点P为在抛物线顶点时，/ PAD=45°+45°=90°,此时，点 P (2, - 1).综上所述：点P (1, 0)或(2, - 1)时，aAPD能构成直角三角形；(4)由抛物线的对称性，对称轴垂直平分AB,，MA=MB,由三角形的三边关系，| MA -MC| V BC, 当M、B、C三点共线时，|MA-MC|最大，为BC的长度，设直线 BC的解析k b 0 k 3式为y=kx+b (kwQ ,则，解得：，直线BC的解析式为y=-b 3b 33x+3.二抛物线 y=x24x+3 的

5、对称轴为直线 x=2, .当 x=2 时，y=3X2+3= 3, .点 M(2, - 3),即，抛物线对称轴上存在点M (2, - 3),使|MA- MC|最大.点睛：本题是二次函数综合题，主要利用了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的最值问题，二次函数的对称性以及顶点坐标的求解，(2)整理出PD的表达式是解题的关键，(3)关键在于利用点的坐标特征作出判断，(4)根据抛物线的对称性和三角形的三边关系判断出点 M的位置是解题的关键.22.如图，已知抛物线 y ax bx c经过 A ( 3, 0) , B (1,0), C (0, 3)二点, 其顶点为D,对称轴是直线l, l与x轴交于点H.(

6、1)求该抛物线的解析式；(2)若点P是该抛物线对称轴l上的一个动点，求 4PBC周长的最小值；(3)如图(2),若E是线段AD上的一个动点(E与A、D不重合)，过E点作平行于y 轴的直线交抛物线于点 F,交x轴于点G,设点E的横坐标为m, 4ADF的面积为S.求S与m的函数关系式；S是否存在最大值？若存在，求出最大值及此时点E的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】(1) yx2 2x 3.(2) 3坂 J0.(3) S m2 4m 3. 当m=-2时，S最大，最大值为1,此时点E的坐标为(-2, 2).【解析】【分析】(1)根据函数图象经过的三点，用待定系数法确定二次函数的解析式即可 (2)根

7、据BC是定值，得到当 PB+PC最小时，4PBC的周长最小，根据点的坐标求得相应 线段的长即可.(3)设点E的横坐标为m,表示出E (m, 2m+6) , F (m, m2 2m 3),最后表示 出EF的长，从而表示出 S于m的函数关系，然后求二次函数的最值即可.【详解】解：(1)二.抛物线 y ax2 bx c经过 A ( 3, 0) , B (1, 0),可设抛物线交点式为 y a x 3 x 1 .又.抛物线 y ax2bx c经过 C (0,3), a1.抛物线的解析式为：y x 3 x1,即yx22x 3.(2) .PBC的周长为：PB+PC+BC且BC是定值. 当PB+PC最小时，

8、 PBC的周长最小. 点A、点B关于对称轴I对称， 连接AC交l于点P,即点P为所求的点.D .AP=BP,4PBC 的周长最/、是： PB+PC+BC=AC+BC. A (-3, 0) , B (1, 0) , C (0, 3) , .AC=3>/2, BC=7T0. PBC的周长最小是：372 屈.(3)抛物线y x2 2x 3顶点D的坐标为(-1, 4) , A ( - 3, 0), 直线AD的解析式为y=2x+6丁点 E 的横坐标为 m, - -E (m, 2m+6) , F (m,m2 2m 3)22. 一 二 EF m 2m 3 2m 6 m 4m 3.2m 4m 31111

9、2S S DEF S aef EF GH EF AG EF AH m 4m 3 22222 .S与m的函数关系式为S m2 4m 3.2 S m 4m 3 m 21,当m=-2时，S最大，最大值为1,此时点E的坐标为(-2, 2)3.如图，已知抛物线 y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点(A点在B点左侧)，与y轴交于 点C (0, 3),对称轴是直线 x=1,直线BC与抛物线的对称轴交于点 D.(1)求抛物线的函数表达式；(2)求直线BC的函数表达式；(3)点E为y轴上一动点，CE的垂直平分线交 CE于点F,交抛物线于P、Q两点，且点P 在第三象限. 当线段PQ=3AB时，求tan/CED的

10、值;4当以点C D、E为顶点的三角形是直角三角形时，请直接写出点P的坐标.题卤番场图【答案】(1)抛物线的函数表达式为y=x2-2x-3. ( 2)直线BC的函数表达式为y=x-3. (3) 2. P1 (172, 2) , P2 (1立，Z).324【解析】【分析】 已知C点的坐标，即知道 OC的长，可在直角三角形 BOC中根据/ BCO的正切值求出 OB 的长，即可得出 B点的坐标.已知了 4AOC和BOC的面积比，由于两三角形的高相等， 因此面积比就是 AO与OB的比.由此可求出 OA的长，也就求出了 A点的坐标，然后根据A、B、C三点的坐标即可用待定系数法求出抛物线的解析式.【详解】(

11、1)抛物线的对称轴为直线x=1 ,=1b2a ' b=-2抛物线与y轴交于点C (0, -3), . c=-3,抛物线的函数表达式为y=x2-2x-3;(2)二.抛物线与x轴交于A、B两点，当 y=0 时，x2-2x-3=0.X1=-1 , X2=3.A点在B点左侧，.A (-1, 0) , B (3, 0)设过点B (3, 0)、C (0,-3)的直线的函数表达式为y=kx+m,0= 3k m则，3= mk=1m= 3直线BC的函数表达式为y=x-3；一3(3).=4, PQ=-AB,PQ=3.PQy 轴.PQ/ x 轴, 3则由抛物线的对称性可得 PM= 一 ,2 对称轴是直线x=

12、1,，1.P到y轴的距离是一，2 1.点P的横坐标为-,21 .4-27 5.FC=3-OF=3-=-4 4.PQ垂直平分CE于点F,5，CE=2FCh2丁点D在直线BC上，.当 x=1 时，y=-2,则 D (1, -2),过点D作DG± CE于点G,，DG=1, CG=1,.GE=CE-CG=5 -1 = 3 . 22.GD 2在 RtEGD 中，tan Z CED=.EG 3P i (1-J2, -2) , P2 (1-6, -|).设 OE=a,则 GE=2-a,当 CE为斜边时，则 DG2=CG?GE 即 1= (OC-OG ? (2-a),.1=1 x(2-a),a=1,

13、.CE=2, .OF=OE+EF=2，F、P的纵坐标为-2,把y=-2，代入抛物线的函数表达式为y=x2-2x-3得：x=1 + 72或1- J2丁点P在第三象限.P1 (1-亚，-2),当CD为斜边时，DE± CE,.OE=2, CE=1,.OF=2.5,八5 .P和F的纵坐标为：-一，2把y=-5,代入抛物线的函数表达式为y=x2-2x-3得：x=1-Y6,或1 +逅,222丁点P在第三象限.65 P2 ( 1 - , -2) .综上所述：满足条件为P1(1-J2, -2), P2(1-16, -5).本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有抛物线的顶点公式和三角形的面积求

14、 法.在求有关动点问题时要注意分析题意分情况讨论结果.4.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx-3 (awQ与x轴交于点A ( - 2, 0)、B (4, 0)两点，与y轴交于点C.(1)求抛物线的解析式；(2)点P从A点出发，在线段 AB上以每秒3个单位长度的速度向 B点运动，同时点 Q从B点出发，在线段 BC上以每秒1个单位长度的速度向 C点运动，其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动，当 4PBQ存在时，求运动多少秒使 4PBQ的面积最大，最大面积是 多少？(3)当4PBQ的面积最大时，在 BC下方的抛物线上存在点 K,使 热cbk： Sa pbc=5： 2,求 K点坐标.

15、【答案】(1) y=3x2- 3x-384一 一9(2)运动1秒使PBC的面积取大，取大面积是 一27)，K2 (3,815、810(3) & (1,【解析】 【详解】试题分析：(1)把点A、B的坐标分别代入抛物线解析式，列出关于系数a、b的解析式，通过解方程组求得它们的值;9(2)设运动时间为t秒.利用二角形的面积公式列出Szxpbq与t的函数关系式 Sapbc=10.9(t-1) 2+ .利用二次函数的图象性质进行解答；10(3)利用待定系数法求得直线BC的解析式为y=-x- 3,由二次函数图象上点的坐标特征4可设点K的坐标为(m, 3 m2 - - m - 3).84如图2,过点

16、K作KE/ y轴，交BC于点E.结合已知条件和(2)中的结果求得9 S>A CBK= 则根据图形得到:4S>acBK=Skcek+Sbek=EK?m+?EK? (4-m),把相关线段的22长度代入推知：-3 m2+3m= - -易求得Ki (1, L, K2(3,-竺) 4488解：(1)把点 A ( - 2, 0)、B (4, 0)分别代入 y=ax2+bx-3 (awq ,得4a 2b 3 016a 4b 3 0 a 解得 b所以该抛物线的解析式为：y=3x2- -x- 3;84(2)设运动时间为t秒，则AP=3t, BQ=t. .PB=6- 3t.由题意得，点C的坐标为(0,

17、 - 3).如图1,过点Q作QH± AB于点H.在 RtBOC中，BC=j32 42 =5.图1.QH / CO,.BHQsBOC,HB BG Hb t 一 一 ，即一-OC BC 3511-1 Sa pbq= PB?HQ=22(6 3t) ? t= - -12+ 1=510510一 9(t 1) 2+ 10当APBQ存在时，0v t<2当 t=1 时,9Sa pbq 最大=一.10 一 9答：运动1秒使4PBQ的面积取大，取大面积是 一；10(3)设直线BC的解析式为y=kx+c (kw。.把 B (4, 0) , C (0, - 3)代入，得4k c 0c 3'k

18、3解得 4 ,c 3直线BC的解析式为y=-x- 3.4丁点K在抛物线上.，设点K的坐标为(m , 3 m2m 3)EK= m-3- ( I m2 - m - 3) = - 1 m2+ m .48482当APBQ的面积最大时,S>ACBK： Spbq=5： 2,9Sa pbq=10如图2,过点K作KE/ y轴，交BC于点E.则点E的坐标为(m,9 Sa cbk=.4Sacbk=Sacek+Sabek= _ EK?m+ ?EK? (4 - m)221=一 X 4?EK2=2(-3 m2+ - m)82="-m2+3m.4即： m2+3m=2.44解得 m1=l, m2=3.一一

19、27、，-15、 Ki ( 1, ) , K2 (3, ) -88点评：本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有待定系数法求二次函数解析式 和三角形的面积求法.在求有关动点问题时要注意该点的运动范围，即自变量的取值范 围.5.如图，直线l: y=-3x+3与x轴、y轴分别相交于 A、B两点，抛物线y=ax2- 2ax+a+4 (a<0)经过点B,交x轴正半轴于点 C.(1)求该抛物线的函数表达式；(2)已知点M是抛物线上的一个动点，并且点 M在第一象限内，连接 AM、BM,设点M 的横坐标为m, AABM的面积为S,求S与m的函数表达式，并求出 S的最大值及此时动 点M的坐标；(3

20、)将点A绕原点旋转得点 A；连接CA'、BA',在旋转过程中，一动点 M从点B出发， 沿线段BA'以每秒3个单位的速度运动到 A；再沿线段A'C以每秒1个单位长度的速度运动 到C后停止，求点 M在整个运动过程中用时最少是多少？备用图【答案】(1) y=- x2+2x+3; (2) S与m的函数表达式是 S= m-5m , S的最大值是225,此时动点M的坐标是(5,7); ( 3)点M在整个运动过程中用时最少是 晅8243秒.【解析】【分析】(1)首先求出B点的坐标，根据 B点的坐标即可计算出二次函数的a值，进而即可计算出二次函数的解析式；(2)计算出C点的坐标

21、，设出 M点的坐标，再根据 4ABM的面积为S= S四边形oamb-Sxaob=Sabom+SaOAM - SxAOB,化简成二次函数，再根据二次函数求解最大值即可.(3)首先证明OHA'sOAB,再结合A'H+A'C用C即可计算出t的最小值. 【详解】(1)将 x=。代入 y= - 3x+3,得 y=3, 点B的坐标为(0, 3),: 抛物线 y=ax2- 2ax+a+4 (a<0)经过点 B,3 = a+4,得 a= - 1,，抛物线的解析式为：y= - x2+2x+3;(2)将 y=0 代入 y= - x2+2x+3,得 xi = 1 , x2=3, 点C的

22、坐标为(3, 0), 点M是抛物线上的一个动点，并且点 M在第一象限内，点 M的横坐标为m, ，0vmv3,点 M 的坐标为（m, m2+2m+3）, 将 y= 0 代入 y= - 3x+3,得 x= 1,.点A的坐标（1,0）,21 m 2m 31322.ABM的面积为 S, .S= S四边形 oamb Saaob= S bom+Saoam Saaob= 3 m2化简，得22m 5m 1525S= = m ，22285当m=时，S取得最大值，此时2S=竺，此时点M的坐标为（5 ,2824即S与m的函数表达式是 S=m一5m , S的最大值是-,此时动点28M的坐标是（3）如右图所示，取点H的

23、坐标为（0,1）,连接HA'、OA',3,， OH / HOA = / A OB,OAOAOB.OHAAOAB,BAAH3,日n BA即 A H ,3. AH+A'C *C= J 132823.t3即点M在整个运动过程中用时最少是 _82秒.3郢【点睛】本题主要考查抛物线的性质，关键在于设元，还有就是(3)中利用代替法计算t的取值范围，难度系数较大，是中考的压轴题.6.如图，直线y=-1x-3与x轴，y轴分别交于点 A, C,经过点A, C的抛物线y = ax2+bx 2-3与x轴的另一个交点为点 B(2, 0),点D是抛物线上一点，过点 D作DE，x轴于点E,连接AD

24、, DC.设点D的横坐标为 m.(1)求抛物线的解析式；S的最大值(2)当点D在第三象限，设 ADAC的面积为S,求S与m的函数关系式，并求出 及此时点D的坐标；D(- 3,(3)连接BC,若/ EAD= / OBC,请直接写出此时点 D的坐标.c 27，.一.2+ ； ADC的面积最大值为427,一；此时415力；满足条件的点D坐标为(-4, -3)或(8, 21).【解析】【分析】(1)求出A坐标，再用待定系数法求解析式；( 2)设DE与AC的交点为点F设点D的坐标为：(m,m2+m- 3),则点 F 的坐标为：(m , - - m - 3),根据 Saadc= Sadf+Sxdfc求42

25、出解析式，再求最值；(3)当点D与点C关于对称轴对称时，D(-4, - 3),根据对称性此时 / EAD= / ABC.3 作点D(- 4, - 3)关于x轴的对称点D' <4, 3),直线AD'的解析式为y=-x+9,解方程2组求出函数图像交点坐标.【详解】1, 一解：(1)在 y= x 3 中，当 y=0 时，x= - 6,2即点A的坐标为：(-6, 0),将 A(-6, 0), B(2, 0)代入 y=ax2+bx-3 得：36a 6b 3 04a 2b 3 01r a 一解得： 4 , b 11 2，抛物线的解析式为：y= -x2+x- 3;4(2)设点D的坐标为

26、：(m, 1m2+m-3),则点F的坐标为：(m , -1m-3),42设DE与AC的交点为点 F. DF= - - m - 3 - ( m2+m - 3)= - - m2 - - m,2442Sa adc= Sa adf+Sa dfc11=DF?AE+ ?DF?OE221=DF?OA2=xm m2" m)x 6242m22+红,43 (m+3)4. a 3<0, 4，抛物线开口向下,27当m = - 3时，Saadc存在取大值 一,4又,.当 m= 3 时， m2+m - 3= 15 , 44，存在点D(-3,-),使得ZADC的面积最大，最大值为 ；44(3)当点D与点C关

27、于对称轴对称时,D(-4, - 3),根据对称性此时 /EAD=/ABC.作点D(-4, - 3)关于x轴的对称点D'飞4, 3), .3直线AD的解析式为y=3x+9,23-x21 2-x x4x6x 8或y 0y 21此时直线AD与抛物线交于D(8, 21),满足条件,综上所述，满足条件的点D坐标为(-4, - 3)或(8, 21)【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了待定系数法，一次函数的应用，二次函数的性质等知 识，解题的关键是学会构建二次函数解决最值问题，学会构建一次函数解决实际问题，属 于中考压轴题.7.如图，已知抛物线经过原点 O,顶点A (1, - 1),且与直线y=k

28、x+2相交于B (2,0)和C两点(1)求抛物线和直线 BC的解析式；(2)求证：4ABC是直角三角形；(3)抛物线上存在点 E (点E不与点A重合)，使/BCE=/ACB,求出点E的坐标；(4)在抛物线的对称轴上是否存在点F,使4BDF是等腰三角形？若存在，请直接写出点F的坐标.5 5【答案】(1) y=x2-2x, y=- x+2; (2)详见解析；(3) E ( ,); ( 4)符合条件2 4的点F的坐标(1, 或(1,-或(1, 2+77)或(1, 2- 77).【解析】【分析】(1)将B(2,0)代入设抛物线解析式y=a(x-1)2-1,求得a,将B (2,0)代入y=kx+2,求得

29、 k;(2)分别求出AB2、BC2、AC2,根据勾股定理逆定理即可证明；(3)作/ BCE= / ACB与抛物线交于点 E,延长AB,与CE的延长线交于点 A ,过A'作 A'H垂直x轴于点H,设二次函数对称轴于 x轴交于点G.根据对称与三角形全等，求得 A'(3, 1),然后求出A'C解析式，与抛物线解析式联立，求得点 E坐标；(4)设F (1, m),分三种情况讨论： 当BF= BD时，""m2 2J2， 当DF= BD时, Jm4m5 2 J2， 当 BF= DF时, 工m2 4m4m5， m= 1，然后代 入即可.【详解】(1)设抛物

30、线解析式 y=a (x-1) 2-1, 将B (2, 0)代入，0 = a (2-1) 2 1, a = 1,抛物线解析式：y = ( x- 1) 2- 1 = x2 - 2x,将 B (2, 0)代入 y=kx+2, 0 = 2k+2, k= - 1,直线BC;式：y= - x+2;(2)联立x 22x 2x解得x2 2 y20C (-1, 3),- A (1, T) , B (2, 0),.AB2= (1-2) 2+ ( - 1 - 0) 2=2,AC2=1 - (T) 2+ (T - 3) 2 = 20, BC2=2- (- 1) 2+ (0-3) 2=18, .AB2+BC2=AC2,

31、 .ABC是直角三角形；(3)如图，作/BCg/ACB,与抛物线交于点 E,延长AB,与CE的延长线交于点 A,过A'作A'H垂直x轴于点H,设二次函数对称轴于x轴交于点G. / BCE= / ACB, / ABC= 90 ；点A与A'关于直线BC对称，AB= A' B,可知AFBA'HB (AAS), ,. A (1 , T) , B (2, 0) -AG=1, BG= OG= 1, .BH=1, A'H=1, OH=3, .A' (3, 1),- C (T, 3), 15 "直线 AC： y x ,2215 y x 联立：2

32、2 ,y x2 2x5解得254.E(4)二.抛物线的对称轴：直线 x=1, 设 F (1, m),直线BC的解析式：y = - x+2； .D (0, 2) B (2, 0),x1BD=X2BF , (2 1)(0 m)DF.,(10)212)2272，-")当 BF= BD 时，71 m2 m= ±77,，F 坐标(1,")或(1, 当 DF= BD时，Jm2 4m 5 2反， m= 2±77,，F 坐标(1, 2+")或(1, 2 -")当 bf= DF 时,m 4m4m5 ,m= 1,F (1, 1),此时B、D、F在同一直线

33、上，不符合题意.综上，符合条件的点 f的坐标(1, 77)或(1, - J7)或(1,2+/)或(1,2-.7).【点睛】考查了二次函数，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键.8.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2-2x+a-3,当a=0时，抛物线与y轴交于点A,将点A向右平移4个单位长度，得到点 B.(1)求点B的坐标；(2)将抛物线在直线 y= a上方的部分沿直线 y=a翻折，图象的其他部分保持不变，得到 一个新的图象，记为图形 M,若图形M与线段AB恰有两个公共点，结合函数的图象，求 a的取值范围.【答案】(1) A (0, 3) , B (4, 3) ; (2) - 3< a

34、<Q【解析】【分析】(1)由题意直接可求 A,根据平移点的特点求 B;(2)图形M与线段AB恰有两个公共点，y=a要在AB线段的上方，当函数经过点 A时,AB与函数两个交点的临界点；【详解】解：(1) A (0, 3) , B (4, - 3);(2)当函数经过点 A时，a=0,;图形M与线段AB恰有两个公共点，. .y=a要在AB线段的上方， a > - 3 - 3 V a w q【点睛】本题二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数图象的特点，函数与线段相交的交点情况 是解题的关键.9.如图，已知抛物线V = / + z + c的图象与x轴的一个交点为 B (5, 0),另一个交点

35、为 A,且与y轴交于点C (0, 5)。(1)求直线BC与抛物线的解析式；(2)若点M是抛物线在x轴下方图象上的动点，过点 M作MN/y轴交直线BC于点N, 求MN的最大值；(3)在(2)的条件下，MN取得最大值时，若点 P是抛物线在x轴下方图象上任意一点，以BC为边作平行四边形 CBPQ设平行四边形 CBPQ的面积为S, 4ABN的面积为 S2,且S=6a,求点P的坐标。【答案】(1)/一"4525彳(3) P 的坐标为(1, 12)或(6, 5)或(2, 3)或(3, 4)【解析】【分析】(1)由B (5, 0) , C (0, 5),应用待定系数法即可求直线BC与抛物线的解析式

36、。(2)构造MN关于点M横坐标的函数关系式，应用二次函数最值原理求解。(3)根据Si=6Q求得BC与PQ的距离h,从而求得PQ由BC平移的距离，根据平移的性质求得PQ的解析式，与抛物线丫=黑一 6品43联立，即可求得点 P的坐标。【详解】解：(1)设直线BC的解析式为广以 + e,J 5k + m = ° Ik =_ 1将B (5, 0) , C (0, 5)代入，得 "，得 巾-J。直线BC的解析式为V=-k+5。卜5 + 5吐c = 0卜二6将 B （5, 0） , C （0, 5）代入y =3+ bx +j 得 c = 5 ，得，抛物线的解析式¥ = /_与

37、+ 5。（2） ,点M是抛物线在x轴下方图象上的动点，设M（m. m2- Gm + 5）o,点N是直线BC上与点M横坐标相同的点，.N（n -m + 5:当点M在抛物线在x轴下方时，N的纵坐标总大于 M的纵坐标。225 225MN - m + 5 -g-6m + S）=r m' +-（m = R + 丁一 。25MN的最大值是4。I 5 5（3）当MN取得最大值时，5?。.¥ = /一说斗 5 的对称轴是 X = 3, b 。）, ，a（i, 0）。 AB=415$2 = SABN 二二 5. . 。由勾股定理可得，BC = 5«?。设BC与PQ的距离为h,则由Si

38、=6S2得：5*NXh = 6x5,即卜=3"2。如图，过点B作平行四边形 CBPQ的高BH,过点H作x轴的垂线交点E,则BH=h=*，？，EH是直线BC沿y轴方向平移的距离。易得， BEH是等腰直角三角形，.EH=Yx V2=<1o直线BC沿y轴方向平移6个单位得PQ的解析式：y=-x + 5 + 6=-x + lly=-x + S-6=-x-lo当v=r+ll时，与产=-0 + 5联立，得 y ="x + 11 卜=-1 k=6y x - 4+ 5 ,解得“或厂。此时，点P的坐标为（1, 12）或（6, 5）。当卜K - 1时，与y = - 6* + §

39、联立，得I y -1 I x= 2 | x= 3% =、% + 5 ,解得1尸或""-4。此时，点P的坐标为（2, 3）或（3,一4）。综上所述，点P的坐标为(1, 12)或(6, 5)或(2, 3)或(3, 4)。10.如图：在平面直角坐标系中，直线l: y=-x- 3与x轴交于点A,经过点A的抛物线333y=ax2 - 3x+c的对称轴是 x=.2(1)求抛物线的解析式；(2)平移直线l经过原点O,得到直线 m,点P是直线m上任意一点，PB，x轴于点B, PCX y轴于点C,若点E在线段OB上，点F在线段OC的延长线上，连接 PE, PF,且 PE=3PF 求证：PE&

40、#177; PF；(3)若(2)中的点P坐标为(6, 2),点E是x轴上的点，点 F是y轴上的点，当PE! PF时，抛物线上是否存在点 Q,使四边形PEQF是矩形？如果存在，请求出点 Q的坐 标，如果不存在，请说明理由.【答案】(1)抛物线的解析式为 y=x2-3x-4; (2)证明见解析；(3)点Q的坐标为(-2, 6)或(2, - 6).【解析】【分析】(1)先求得点A的坐标，然后依据抛物线过点A,对称轴是x=g列出关于a、c的方程组2求解即可；(2)设P (3a, a),则PC=3a, PB=a,然后再证明/ FPC=Z EPB,最后通过等量代换进行 证明即可；(3)设E (a, 0),

41、然后用含a的式子表示BE的长，从而可得到 CF的长，于是可得到点F的坐标，然后依据中点坐标公式可得到QFg, Qy 匚刍，从而2 222可求得点Q的坐标(用含a的式子表示)，最后，将点Q的坐标代入抛物线的解析式求得a的值即可.【详解】14 _3(1)当y=0时，-x 0 ,解得x=4,即A (4, 0),抛物线过点 A,对称轴是x=,3 3216a 12 c 0 得 3 3， 2a 2 a 1解得，抛物线的解析式为 y=x2-3x-4;c 4(2)二.平移直线l经过原点O,得到直线 m,，直线m的解析式为y= - x.3 点P是直线1上任意一点， 设 P (3a, a),贝U PC=3a, P

42、B=a.又 PE=3PFPC PB .PF PE/ FPC=/ EPB / CPE吆 EPB=90 ,° / FPC吆 CPE=90,°.-.FP± PE(3)如图所示，点 E在点B的左侧时，设 E (a, 0),则BE=6- a. CF=3BE=18- 3a, .OF=20- 3a.F (0, 20 - 3a).FyEy2PEQF为矩形，,Qx Px Fx ExQy Py222.Qx+6=0+a, Qy+2=20-3a+0, .Qx=a- 6, Qy=18- 3a.a=4或将点Q的坐标代入抛物线的解析式得：18- 3a= (a-6) 2-3 (a-6) -4,解

43、得:a=8 (舍去).Q (-2, 6).如下图所示：当点 E在点B的右侧时，设 E (a, 0),则BE=a- 6.,.CF=3BE=3a- 18, .OF=3a 20. .F (0, 20 - 3a)PEQF为矩形，FyEy2QxPxFxExQyPy22'2 .Qx+6=0+a, Qy+2=20-3a+0, .Qx=a- 6, Qy=18- 3a.将点Q的坐标代入抛物线的解析式得:18- 3a= (a6) 2-3 (a6) 4,解得：a=8 或a=4 （舍去）.Q （2, - 6）.综上所述，点Q的坐标为（-2, 6）或（2, - 6）.【点睛】本题主要考查的是二次函数的综合应用，

44、解答本题主要应用了矩形的性质、待定系数法求二次函数的解析式、中点坐标公式，用含a的式子表示点 Q的坐标是解题的关键.211.我们知道，经过原点的抛物线解析式可以是y=ax bx a 0。（1）对于这样的抛物线：当顶点坐标为（1, 1）时，a=；当顶点坐标为（m, m） , mo时，a与m之间的关系式是 ;（2）继续探究，如果 bwo,且过原点的抛物线顶点在直线y=kx k 0上，请用含k的代数式表示b;（3）现有一组过原点的抛物线，顶点A1, A2,，An在直线y=x上，横坐标依次为1,2,，n （n为正整数，且n< 12 ,分别过每个顶点作 x轴的垂线，垂足记为 B1, B2, B3,

45、，Bn,以线段AnBn为边向右作正方形 AnBnQDn,若这组抛物线中有一条经过点Dn ,求所有满足条件的正方形边长。1b2b【答案】（1） 1； a= （2）=k （3） 3, 6, 9m4a2a解：（1） 1; a=m bb2(2)二.过原点的抛物线顶点 在直线 y=kx k 0 上，2a 4a,b2b -k °4a2ab wq b= 2k。(3)由(2)知，顶点在直线 y=x上，横坐标依次为1, 2,，n (n为正整数，且 12_12cn< 12 的抛物线为：y= x n n ,即 y= - x 2x。nn对于顶点在在直线 y=x上的一点Am (m, m) ( m为正整数

46、，且 m<n),依题意，作的正方形AmBmCmDm边长为m,点Dm坐标为(2 m, m),1 2右点Dm在某一抛物线 y= x 2x上，则n1-23m= - 2m 2 2m ,化简，得 m=-n。n4m, n 为正整数，且 mK nw,12.n=4, 8, 12, m=3, 6, 9。，所有满足条件的正方形边长为3, 6, 9。上=1(1)当顶点坐标为(1, 1)时，由抛物线顶点坐标公式, 2a 2 ，即4ac b =14a2=1a= 1 ° 2a'b21=14ab一 =m 2a当顶点坐标为(m, m),m0时，2b一 =m4a22am=m4aa=b2代入4a(2)根据

47、点在直线上，点的坐标满足方程的关系，将抛物线顶点坐标 y=kx ,化简即可用含k的代数式表示bo由于抛物线与直线只有一个公共点，意味着联立解析式后得到的一元二次方程，其根的判别式等于0,由此可求出 m的值和D点坐标。(3)将依题意，作的正方形 AmBmCmDm边长为m,点Dm坐标为(2 m, m),将(2 m,m)代入抛物线y二2x求出m, n的关系，即可求解。12.如图1,抛物线C:y ax2 bx经过点A( 4,0)、B( 1,3)两点，G是其顶点，将抛 物线C绕点O旋转180c5，得到新的抛物线 C' .S102图3(1)求抛物线C的函数解析式及顶点 G的坐标;，一12(2)如图

48、2,直线| ：y kx 一经过点A，D是抛物线C上的一点，设 D点的横坐标为 5m ( m 2),连接DO并延长，交抛物线 C于点E ,交直线l于点M ,DE 2EM,求m的值；(3)如图3,在(2)的条件下，连接 AG、AB ,在直线DE下方的抛物线C上是否存 在点P ,使得 DEPGAB ?若存在，求出点 P的横坐标；若不存在，请说明理由.【答案】(1) yx2 4x ,顶点为：G( 2,4)； (2) m的值为-3； (3)存在，点7 ,73, 73 7P的横坐标为：或-44【解析】【分析】(1)运用待定系数法将 A( 4,0)、B( 1,3)代入y ax2 bx中，即可求得a和b的值和

49、 抛物线C解析式，再利用配方法将抛物线C解析式化为顶点式即可求得顶点G的坐标；(2)根据抛物线C绕点。旋转180°,可求得新抛物线 C'的解析式，再将 A( 4,0)代入12 ,y kx 一中，即可求得直线l解析式，根据对称性可得点 E坐标，过点D作DH/y轴 5交直线l于H ,过E作EK /y轴交直线l于K ,由DE 2EM ,即可得-ME 1 ,再证MD 3明MEK s mdh ,即可得DH 3EK ,建立方程求解即可；(3)连接BG,易证 ABG是Rt , ABG 90°,可得1tan DEP tan GAB -,在x轴下万过点。作OH OE ,在OH上截取

50、31OH -OE J2,过点E作ET y轴于T ,连接EH交抛物线C于点P,点P即为 3所求的点；通过建立方程组求解即可.【详解】(1)将 A( 4,0)、B( 1,3)代入 y216a 4b 0ax bx中，得a b 3解得，抛物线C解析式为：y配方，得：yx2 4x2,x 4x ,2(x 2)4 , 顶点为：G( 2,4)；(2) ,抛物线C绕点O旋转180°,得到新的抛物线 C'.新抛物线C的顶点为：G (2, 4),二次项系数为：a 1，新抛物线c'的解析式为：y (x 2)2 4 x2 4x12123将A( 4,0)代入y kx 一中，得0 4k ,解得k

51、-, 555312 直线l斛析式为y x 552 D(m, m 4m),，直线DO的解析式为y (m 4)x ,由抛物线C与抛物线C'关于原点对称，可得点 D、V关于原点对称， 2 E( m,m 4m)如图2,过点D作DH /y轴交直线l于H ,过E作EK/y轴交直线l于K ,则 H (m,123)，3 K( m, m5DH4m (1712一 m 一,55EK m24m(3 m517 m512W' DE 2EMME 1MD 3DH /y轴,DH /EKEK /y 轴ME" MDHEKDHMEMD13'即DH3EK17 m5123(m2”m鸟55解得:mi，m225'm的值为：(3)由(2)-3；知：m D( 3,3),E(3, 3),3,OE 3、, 2,如图3,连接BG ,在 ABG 中，AB2 ( 1 4)2 (3 0)2 18,