ch3-2正交多项式)n

1、第二节第二节 正交多项式正交多项式 正交函数系的性质正交函数系的性质 正交多项式的构造正交多项式的构造正交多项式的基本概念正交多项式的基本概念 小结小结正交多项式 函数逼近的基本概念函数逼近的基本概念 确定确定a1,a2, am 的准则（最小二乘准则）：的准则（最小二乘准则）：使使n个点（个点（xi,yi) 与曲线与曲线 y=f(x) 的距离的距离 i 的平方和最小的平方和最小 。记记 )2()()(),(211211221iiknimkkininiiimyxrayxfaaaJ 问题归结为，求问题归结为，求 a1,a2, am 使使 J(a1,a2, am) 最小。最小。 先选定一组函数先选定

2、一组函数 r1(x), r2(x), rm(x), mn, 令令其中其中 a1,a2, am 为待定系数。为待定系数。）（ 1)(.)()()(2211xraxraxraxfmm 曲线拟合的常用解法曲线拟合的常用解法此时正则方程组为此时正则方程组为:yRaRRTT )( nmnmmnmmnnmmmnmmnyyyxxxxxxaaaxxxxxxxxxxxx2111211212111221111121121111111111即即 nimiiniiiniimniminiminiminiminiiniiniminiixyxyyaaaxxxxxxxxn1111211221111121111 曲线拟合的常用

3、解法指数拟合指数拟合 如果数据组如果数据组 分布近似指数分布近似指数曲线曲线，则可考虑用指数函数则可考虑用指数函数 去拟合数据，去拟合数据，即选取即选取a,ba,b，使，使), 2 , 1)(,(niyxii axbey niaxiibeybaF12)(),(最小。最小。但正则方程组是非线性的但正则方程组是非线性的，可考虑通过取对数可考虑通过取对数 转化为线性。转化为线性。baxylnln 求出数据组求出数据组 的最小二乘拟的最小二乘拟合直线合直线), 2 , 1)(ln,(niyxii ,10 xaay 取指数得数据组取指数得数据组 ), 2 , 1)(,(niyxii 最小二乘拟合指数最小

4、二乘拟合指数.1010 xaaxaaeeey 曲线拟合的常用解法。最小二乘法方法评注最小二乘法方法评注曲线拟合的常用解法的的重重要要工工具具正正交交多多项项式式是是函函数数逼逼近近 一一、 正交多项式的基本概念正交多项式的基本概念 .)(,)()(0)()()()()(,)(,)()(0正正交交上上带带权权在在与与则则称称，数数且且满满足足上上的的权权函函为为，若若xbaxgxfdxxgxfxxgxfbaxbaCxgxfba ;)()(, 00)()()()()(),()(10正正交交函函数数系系上上带带权权，是是则则称称，满满足足关关系系，若若函函数数族族xbaxkjAkjdxxxxxxxk

5、kkjbakjn 定义定义., 1系系则则称称之之为为标标准准正正交交函函数数若若 kA 一、一、 正交多项式的基本概念正交多项式的基本概念,sin,cos,2sin,2cos,sin,cos, 1nxnxxxxx.,)1(上上的的积积分分等等于于零零任任意意两两个个不不同同函函数数在在 , 0cos nxdx, 0sin nxdx三角函数系三角函数系：正交性正交性：. 0cossin nxdxmx), 2 , 1,( nm其其中中 .,.2sin,2cos,sin,cos, 1,上上的的正正交交函函数数族族就就是是在在区区间间三三角角函函数数族族例例如如 xxxx回忆傅氏级数的结论回忆傅氏级

6、数的结论正交多项式的基本概念, 0sinsin nmnmnxdxmx, 0coscos nmnmnxdxmx.,)2( 上上的的积积分分等等于于任任意意两两个个相相同同函函数数在在 0)sin,(cos)sin,(sin)cos,(cos0)sin, 1()cos, 1()sin,(cos,.2 , 1,)cos,(cos)sin,(sin,2)1 , 1( jxkxjxkxjxkxkxkxkxkxjkjkkxkxkxkx有有时时当当而对而对 正交多项式的基本概念 区间区间a,b上关于权函数的正交函数系必上关于权函数的正交函数系必定线性无关定线性无关证明证明,.,),(10nx 正交函数系为：

7、正交函数系为：权函数为权函数为设设0.,.,.,)(11001010 nnnncccccc 使使得得：即即存存在在不不全全为为零零的的实实数数线线性性相相关关，假假设设反反证证0).)01100 iiiinniiiccccc ，（，（，（，（，则则有有：不不妨妨设设矛盾矛盾只有只有，（而而0, 0) iiic 证毕定理定理6.2 二、二、 正交函数系的性质正交函数系的性质证明证明：0)()(1 dxQxxkkbak 正交正交)()()()(101xbxQxxjkjjkkk 线性组合线性组合线性无关组线性无关组正交正交dxxbxxdxQxjkjjkbakkba)()()()(101 0)()()

8、(10dxxxxbjbakkjj ,.)2 , 1(0)(),(,)()()( 11 kdxQxQkbaxxkxkkbakkkk 对对任任意意的的上上正正交交的的充充要要条条件件是是：在在则则为为权权函函数数，次次多多项项式式，是是设设定理定理6.3次次多多项项式式为为任任意意至至多多其其中中1)(1 kxQk正交函数系的性质,.)2 , 1(0)(),(,11 kdxQxQkkkbakk 若若对对任任意意的的 kjAkjdxxxxkkjbakj, 00)()()()(，要证明：要证明： )1,.2 , 1(0)()()(),()()(1 kjdxxxxxxQjkbajkjk 特别取：特别取：

9、0)()(),(20)(2 dxxxkbaxkkk 又又上正交上正交在在所以所以,)(baxk 证毕证毕正交函数系的性质的线性组合的线性组合均可表为均可表为对对nnnHxP ,.)()2(0 kjAkjdxxxxkkjbakj, 00)()()()()3(， 线性无关线性无关,.,)1(10n 正交多项式系的性质正交多项式系的性质：正交函数系的性质 :)(.,., 1),(,0 xxxxbann 构构造造出出正正交交多多项项式式序序列列利利用用逐逐个个正正交交化化手手续续关关的的幂幂函函数数均均可可由由一一族族线线性性无无及及权权函函数数只只要要给给定定区区间间.)21)()()()()(,

10、1)(100，（），（），（ nxxxxxxxxjnjjjjnnn 三、三、 正交多项式系的构造正交多项式系的构造9241221115112022753)(25214256592025)(70172792)(2015323)(61)(21)(1)(2345662345523442332210 xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx :)(1 , 0.,., 10 xxxnn 正交多项式序列正交多项式序列正交化构造出正交化构造出由由请同学们写出请同学们写出)()(108xx 正交多项式系的构造正交性验证正交性验证：kjAkjdxxxxkkjbakj , 00)()()()(，

11、1109908100000006985441000000044100100000002800100000001801000000012100000001正交多项式系的构造Clearx,ff0=1;fk_:=xk-Sum(Integratexk*fi,x,0,1)/(Integratefi2, x,0,1)*fi,i,0,k-1Tablefk,k,0,6/N;Expand%/N;MatrixForm%Fi_,j_:=Integratefifj,x,0,1TableFi,j,i,0,6,j,0,6;MatrixForm%积分积分正交多项式系的构造xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx42

12、935143105143231)(23151151115)(215910)(35376)(53)(31)()(1)(35772466355244332210 :)(1 , 1.,., 10 xxxnn 正正交交多多项项式式序序列列正正交交化化构构造造出出由由请同学们写出请同学们写出)()(108xx 正交多项式系的构造定理定理：按以下方式定义的多项式集合按以下方式定义的多项式集合,10n 是区间是区间a,b上关于权函数上关于权函数 的正交函数族的正交函数族。不恒为零）不恒为零）（)(, 0)(xx ), 3 , 2()()()()()(, 1)(21110nkxxxxxxxkkkkk 其中其中

13、或按下述定理求或按下述定理求正交多项式系的构造), 3 , 2()()()()(),(),(22122211nkdxxxdxxxbakbakkkkkk ), 2 , 1()()()()(),(),(12121111nkdxxxdxxxxxbakbakkkkkk 正交多项式系的构造勒勒让让德德多多项项式式. 1及其结构特点及其结构特点1)( x 权函数权函数正正交交化化得得到到的的多多项项式式由由,.,., 1nxx1 ,1 区区间间为为),.(),.(),(:10 xPxPxPn专专用用符符号号,.)2 , 1(1)(,) 1(!21)(:02 nxPxdxdnxPnnnnn一一般般表表达达式

14、式四、勒让德四、勒让德(Legendre(Legendre) )正交多项式正交多项式的的勒勒让让德德多多项项式式为为显显然然最最高高项项系系数数为为的的系系数数于于是是得得首首项项1.) !(2)!2(2nnaxnnn )1()!2(!)(2nnnnxdxdnnxP 勒让德正交多项式 nmnnmdxxPxPmn，；，正交性正交性性质性质1220)()(111:. 2质质勒让德多项式的重要性勒让德多项式的重要性奇偶性奇偶性性质性质2 为奇数时为奇数时奇函数奇函数为偶数时为偶数时偶函数偶函数nnxPn,)(递推关系递推关系性质性质3)(1)(112)(11xPnnxPnnxPnnn .1 , 1)

15、(4个个不不同同的的实实零零点点内内有有在在区区间间性性质质nxPn 勒让德正交多项式xxPxP )(1)(10213)(22 xxP,2)35()(33xxxP ,8)33035()(244 xxxP,8)157063()(355xxxxP ,16)510531523()(2466 xxxxP:10. 3位位勒让德多项式集的前勒让德多项式集的前请同学们写出请同学们写出)()(108xx ,16)35315693429()(3577 xxxxP勒让德正交多项式时时，区区间间为为）（当当权权函函数数11,112 xx 式式正正交交化化得得到到的的正正交交多多项项由由序序列列, 12nxxx它可表

16、示为它可表示为多项式多项式就是切比雪夫就是切比雪夫,)(Chebyshev. 1),arccoscos()( xxnxTn则则若令若令,cos x.0cos)( nxTn五、切比雪夫五、切比雪夫(Chebyshev(Chebyshev) )正交多项式正交多项式切切比比雪雪夫夫多多项项式式. 1及其结构特点及其结构特点211)(xx 权函数权函数正正交交化化得得到到的的多多项项式式由由,.,., 1nxx1 ,1 区区间间为为),.(),.(),(:10 xTxTxTn专用符号专用符号. 1),arccoscos()(: xxnxTn一一般般表表达达式式切比雪夫正交多项式 00201)()(11

17、12nmnmnmdxxxTxTmn ，正交性正交性带权带权性质性质:. 2性质性质切比雪夫多项式的重要切比雪夫多项式的重要奇偶性奇偶性性质性质2的的奇奇数数项项仅仅含含的的偶偶数数项项仅仅含含xxTxxTnn)(,)(122 递推关系递推关系性质性质3)()(2)(11xTxxTxTnnn .1 , 1)(4个个实实零零点点内内有有在在区区间间性性质质nxTn 切比雪夫正交多项式:10. 3位位切比雪夫多项式集的前切比雪夫多项式集的前请同学们写出请同学们写出)()(108xx ,34)(33xxxT , 188)(244 xxxT,52016)(355xxxxT 150400112012805

18、12)(9120432576256)(132160256128)(75611264)(, 1184832)(24681010357992468835772466 xxxxxxTxxxxxxTxxxxxTxxxxxTxxxxT, 12)(22 xxTxxT )(11)(0 xT切比雪夫正交多项式)()(,)(), 0 xnnnxnxexdxdexLex 递推关系递推关系：), 2 , 1()()()12()(), 2 , 1(!)1()(, 24)(, 1)(, 1)(12102210 nxLnxLxnxLnxknknxLxxxLxxLxLnnnnkkkn六、拉盖尔（六、拉盖尔（Laguerre

19、Laguerre）正交多项式）正交多项式数据拟合时正交多项式的使用数据拟合时正交多项式的使用:定义定义:满足下列条件的函数族满足下列条件的函数族),(,),(),(xxxm 10称为以称为以 为权关于点集为权关于点集 ),(nii21 nxxx,21的正交函数族的正交函数族. )(),(),()(),(jkmkxjkniikikk010012 拉盖儿正交多项式正交化方法正交化方法: ),()()()()()()(mkxxxxxxkkkkk321121110 其中其中 ),()()()(),()(),(mkxxxxxxxxniikiniikiikkkkk211211211111 ),()()()

20、(),()(),(mkxxxxxxniikiniikikkkkk321221212211 拉盖儿正交多项式按上述方法求出正交多项式函数族后，以此正交函按上述方法求出正交多项式函数族后，以此正交函数族为基函数做最小二乘拟合多项式，其正则方程数族为基函数做最小二乘拟合多项式，其正则方程组的系数矩阵一定是对角阵，不会出现病态。此时组的系数矩阵一定是对角阵，不会出现病态。此时正则方程组的解为：正则方程组的解为： ), ,()()(,mkxxyyaniikiniikiikkkk10121 最小二乘函数为最小二乘函数为： mkkkxax0)()( 拉盖儿正交多项式函数逼近的基本概念函数逼近的基本概念函数逼

21、近函数逼近)()(xfxp复复杂杂函函数数简简单单函函数数尽可能小尽可能小要求：要求：)()(xpxf （足够的小）（足够的小）N N维空间维空间,),( xPHnn,，数数乘乘区区间间上上的的连连续续函函数数， babaCp,，数乘，数乘阶连续导数的函数，阶连续导数的函数，区间上具有区间上具有 babaCp函数逼近的基本概念,.,S21nxxxspan 生成空间：生成空间：nnHxxxspan ,., 1S2生成空间：生成空间：N+1维空间维空间定理定理1Weierstrass上一致成立。上一致成立。在在使得：使得：总存在多项式总存在多项式则对任何则对任何设设,)()(),(, 0,)( baxfxpxpbaCxf 函数逼近的基本概念范数与赋范空间范数与赋范空间称称为为赋赋范范线线性性空空间间。则则上上的的范范数数，为为为为线线性性空空间间，设设 S, SS内积与内积空间内积与内积空间nnyxyxyxyx .),(2211N N维数量空间内积维数量空间内积332211),(yxyxyxyx 函数逼近的基本概念推而广之推而广之它满足以下条件：它满足以下条件：为为中一个数与之对应，记中一个数与之对应，记有有）上的线性空间，对）上的线性空间，对或或