chap 3 平稳时间序列分析

1、1第三章平稳时间序列分析2本章结构n平稳随机过程与非平稳随机过程nAR(1)和AR(n)nMA(1)和MA(n)nARMA33.1 平稳随机与非平稳随机过程n随机变量和随机过程n平稳随机过程n非平稳随机过程4随机过程（S.P）TtTtn定义1：（从时间变化角度来考虑）若对每一个特定的 （T是一个无穷集合，参数集），X(t)是一个随机变量，则称这一族无穷多个随机变量X(t), 是一个随机过程。n定义2：（从试验结果来看）若对事物变化的全过程进行一次观测，得到的结果是关于时间t的一个函数。但对同一事物的变化过程独立地重复进行多次观测，所得的结果是不相同的，则称这种变化过程为随机过程。5SeTtn定

2、义3：设E是随机实验，S是它的样本空间，如果对于每一个 我们总可以依某种规则确定一时间t的函数X(e,t)， 与之对应，因此对所有的 来说，得到一族时间t的函数，我们称这族时间t的函数为随机过程，每一个函数为这个随机过程的样本函数（一次实现）。Se6R.V与S.P的区别与联系n区别： 1）单值实函数 函数簇 2）t 无关 有关 3）静态 动态n联系 1）包含关系 2）特例 3）t固定 R.V=S.P7平稳S.Pn纯随机过程-白噪声n独立增量随机过程n二阶矩过程n正态过程n严平稳过程8严平稳与宽平稳关系n严 宽n宽 严n严+二阶矩存在 宽n正态过程 严 宽9非平稳S.Pn自相关 比如回归模型：n

3、动态性 系统的记忆性 神经系统神经系统10113.2 AR(1)和AR(n)nAR模型（Auto Regression Model） AR(1): 其中X(t)为零均值平稳序列； 为X_t对X_t-1的依赖程序； 为随机扰动。本质：独立数据变化器。 12AR(p)n具有如下结构的模型称为 阶自回归模型，简记为n特别当 时，称为中心化 模型tsExtsEVarExxxxtsstttptptpttt, 0, 0)(,)(0)(0222110，p)(pAR00)(pAR13 AR(P)序列中心化变换n称 为 的中心化序列 ，令p101ttxytytx14自回归系数多项式n引进延迟算子，中心化 模型又

4、可以简记为 n自回归系数多项式(特征多项式特征多项式)(pARttxB)(ppBBBB2211)(15线性差分方程 n线性差分方程n齐次线性差分方程)(2211thzazazazptpttt02211ptptttzazazaz16齐次线性差分方程的解n特征方程n特征方程的根称为特征根，记作n齐次线性差分方程的通解n不相等实数根场合n有相等实根场合n复根场合02211ppppaaap,21tpptttcccz2211tpptddtddtcctctccz111121)(tpptititttccececrz3321)(17非齐次线性差分方程的解 n非齐次线性差分方程的特解n使得非齐次线性差分方程成立

5、的任意一个解n非齐次线性差分方程的通解n齐次线性差分方程的通解和非齐次线性差分方程的特解之和tttzzz tz )(2211thzazazazptpttt tz18n例3.1 解差分方程 .分析：非齐次化为齐次 通解+特解解：考虑齐次差分方程 的解。假设 则有因此齐次差分方程的通解为 。求特解，若 =常数，则 。可推出 19因此原差分方程的通解为Ex：1. 2. 20平稳性n渐进稳定性：系统受扰后达到任意初始状态，由此出发的状态向量随时间增长趋于平衡状态。n不平稳性：系统受扰后达到任意初始状态，由此出发的状态向量将随着时间的增长而趋向无穷。n临界稳定性：既不回到均衡位置，又不趋向无穷。21AR

6、模型平稳性判别 n判别原因nAR模型是常用的平稳序列的拟合模型之一，但并非所有的AR模型都是平稳的 n判别方法n单位根判别法n平稳域判别法22例3.1:考察如下四个模型的平稳性1(1)0.8tttxx1(2)1.1tttxx 12(3)0.5ttttxxxttttxxx115 . 0)4(23例3.1平稳序列时序图1(1)0.8tttxx12(3)0.5ttttxxx24例3.1非平稳序列时序图1(2)1.1tttxx ttttxxx115 . 0)4(25AR模型平稳性判别方法n特征根判别nAR(p)模型平稳的充要条件是它的p个特征根都在单位圆内n根据特征根和自回归系数多项式的根成倒数的性质

7、，等价判别条件是该模型的自回归系数多项式的根都在单位圆外n平稳域判别 n平稳域,21单位根都在单位圆内p26AR(1)模型平稳条件n特征根n平稳域127AR(2)模型平稳条件n特征根n平稳域2424221122211111,12221，且28例3.1平稳性判别8 . 010.81 . 111.1 211i212i221210.5,0.5,1.5 23112312221210.5,1.5,0.5 模型特征根判别平稳域判别结论(1)平稳(2)非平稳(3)平稳(4)非平稳29平稳AR模型的统计性质n均值n方差n协方差n相关系数n偏自相关系数30均值 n如果AR(p)模型满足平稳性条件，则有n根据平稳

8、序列均值为常数，且 为白噪声序列，有n推导出p101)(110tptpttxxEExTtEExtt,0)(,t31nAR(1): Xt=aXt-1+t这里，t 是一个白噪声。解为： 描述了系统的动态性，称这个系数为格林函数（记忆函数）。记为：nAR(2)?Green函数0, jttjjXatZjajjaG 32Green函数递推公式n原理n方法n待定系数法n递推公式pkpkjGGGkkkjjkkj, 0, 2 , 1110其中，ttttttBGBBGxxB)()()()(33方差n平稳AR模型的传递形式n两边求方差得函数为GreenGGxVarjjjt,)(202jtjjtGx034例3.2:

9、求平稳AR(1)模型的方差n平稳AR(1)模型的传递形式为nGreen函数为n平稳AR(1)模型的方差itiitiittBBx01011)(1, 1 , 0,1jGjj2122021021)()(jjtjjtVarGxVar35协方差函数n在平稳AR(p)模型两边同乘 ，再求期望n根据n得协方差函数的递推公式)()()()(11kttktptpkttkttxExxExxExxEktx1,k0)(kttxE1,kpkpkkk221136例3.3:求平稳AR(1)模型的协方差n递推公式n平稳AR(1)模型的方差为n协方差函数的递推公式为0111kkk212011,12121kkk37例3.4:求平

10、稳AR(2)模型的协方差n平稳AR(2)模型的协方差函数递推公式为21)1)(1)(1 (12211201122121220kkkk，38自相关系数n自相关系数的定义n平稳AR(P)模型的自相关系数递推公式0kk1122kkkpkp 39常用AR模型自相关系数递推公式nAR(1)模型nAR(2)模型0,1kkk2110, 1221121kkkkkk40AR模型自相关系数的性质n拖尾性n呈负指数衰减1( )pkiiikc不能恒等于零pccc,211( )0pkiiikc123312( )(),)tititttppiikr c ec eccabireabire(其中 112111( )()dttt

11、dddppkcc tc tcc其它情形类似：其它情形类似：41例3.5:考察如下AR模型的自相关图ttttttttttttttxxxxxxxxxx2121115 . 0)4(5 . 0)3(8 . 0)2(8 . 0) 1 (42例3.5n自相关系数按负指数单调收敛到零1(1)0.8tttxx43例3.5:n正负相间衰减1(2)0.8tttxx 44例3.5:n自相关系数呈现出“伪周期”性12(3)0.5ttttxxx45例3.5:n自相关系数不规则衰减12(4)0.5ttttxxx 46偏自相关系数n定义 对于平稳AR(p)序列，所谓滞后k偏自相关系数就是指在给定中间k-1个随机变量 的条件

12、下，或者说，在剔除了中间k-1个随机变量的干扰之后， 对 影响的相关度量。用数学语言描述就是121,ktttxxxktxtx2,)()(11ktktktktttxxxxxExExExxExEkttktt47偏自相关系数的计算n滞后k偏自相关系数实际上就等于k阶自回归模型第个k回归系数的值。02211202112112011kkkkkkkkkkkkkkkkk2()()() ttt kt kkkt kt kE xExxExE xEx48偏自相关系数的截尾性nAR(p)模型偏自相关系数P阶截尾pkkk,049例3.5续:考察如下AR模型的偏自相关图ttttttttttttttxxxxxxxxxx21

13、21115 . 0)4(5 . 0)3(8 . 0)2(8 . 0) 1 (50例3.5n理论偏自相关系数n样本偏自相关图1(1)0.8tttxx0.8,10,2kkkk51例3.5:n理论偏自相关系数n样本偏自相关图1(2)0.8tttxx 0.8,10,2kkkk52例3.5:n理论偏自相关系数n样本偏自相关图12(3)0.5ttttxxx2,130.5,20,3kkkkk 53例3.5:n理论偏自相关系数n样本偏自相关系数图12(4)0.5ttttxxx 2,130.5,20,3kkkkk 54练习(1) 判断如下模型是否稳定(2) 假如稳定，计算其自相关系数和偏相关系数。120.8tt

14、ttxxx 553.3MA(1)和MA(n)n具有如下结构的模型称为 阶移动平均模型，简记为n特别当 时，称为中心化 模型q)(qMA0)(qMA112220( )0( ),()0,ttttqt qqtttsxEVarEst ，56移动平均系数多项式n引进延迟算子，中心化 模型又可以简记为 n 阶移动平均系数多项式)(qMAttBx)(qqqBBBB2211)(57MA模型的统计性质n常数均值n常数方差）（qtqttttEEx221122212211)1 ()()(qqtqttttVarxVar58MA模型的统计性质n自协方差函数q阶截尾n自相关系数q阶截尾q kqkkkqiikikqk ,

15、01 ,)(0 ,)1 (212221qkqkkqkqiikikk , 01 ,10 , 1221159n定理 设零均值平稳序列 Xt 有自协方差函数k，则 Xt 是 MA(q) 序列的充要条件充要条件为 q 0, k=0, |k|qMA模型的统计性质证明见何书元(2004)60常用MA模型的自相关系数nMA(1)模型nMA(2)模型2, 01, 10, 1211kkkk3, 02, 11, 10, 1222122221211kkkkk61例3.6:考察如下MA模型的相关性质212111162545)4(251654)3(5 . 0)2(2) 1 (ttttttttttttttxxxx62MA

16、模型的自相关系数截尾n n 112tttx（）120.5tttx（ ）63MA模型的自相关系数截尾n n 124163525ttttx（ ）125254416ttttx（ ）64MA模型的偏自相关系数拖尾n n 112tttx（）120.5tttx（ ）65MA模型的偏自相关系数拖尾n n 124163525ttttx（ ）125254416ttttx（ ）66MA模型的可逆性nMA模型自相关系数的不唯一性n例3.6中不同的MA模型具有完全相同的自相关系数和偏自相关系数212111162545)4(251654)3(5 . 0)2(2) 1 (ttttttttttttttxxxx67可逆的定义

17、n可逆MA模型定义n若一个MA模型能够表示称为收敛的AR模型形式，那么该MA模型称为可逆MA模型n可逆概念的重要性n一个自相关系数列唯一对应一个可逆MA模型。68可逆MA(1)模型n n 1tttx11tttx21ttBx1ttBx11可逆, 1可逆, 169MA模型的可逆条件nMA(q)模型的可逆条件是：nMA(q)模型的特征根都在单位圆内n等价条件是移动平滑系数多项式的根都在单位圆外11i1i70逆函数的递推公式n原理n方法n待定系数法n递推公式qkqkjIIIkkkjjkkj, 0, 2 , 1110其中，ttttttxxBIBxBIBx)()()()(71例3.6续:考察如下MA模型的

18、可逆性212111162545)4(251654)3(5 . 0)2(2) 1 (ttttttttttttttxxxx72(1)(2)n n n逆函数n逆转形式不可逆1221tttx可逆15 . 05 . 01tttx05 . 0kktktx1,5 . 01kIkk73(3)(4)n n n逆函数n逆转形式可逆1, 125165412221ttttx, 1 , 0,23, 0133,) 1(1nnknnkIknk或013130338 . 0) 1(8 . 0) 1(nntnnnntnntxx不可逆11625162545221ttttx74MA模型的统计性质n偏自相关系数拖尾零不会在有限阶之后恒为不恒为零kkq,1202221()()() ()() () (1)ttt kt kkkt kt kttt kt kqk lllqE xExxExE xExE xExxVar xI75ARMA模型的定义n具有如下结构的模型称为自回归移动平均模型，简记为n特别当 时，称为中心化 模型),(qpARMAtsExtsEVarExxxtsstttqpqtqttptptt, 0, 0)(,)(0)(00211110，00),(qp