明极限的基本方法通过对数列性质及极限存在条件的学ppt课件

1、教学目的教学目的1、使学生初步掌握数列极限这一重要概念、使学生初步掌握数列极限这一重要概念2、使学生学会用定义证明极限的根本方法、使学生学会用定义证明极限的根本方法3、经过对数列性质及极限存在条件的学习，、经过对数列性质及极限存在条件的学习，可以处置求数列极限的计算以及证明。可以处置求数列极限的计算以及证明。4、加深对数学的笼统性特点的认识；体验、加深对数学的笼统性特点的认识；体验数学概念构成的笼统维方法；体验数学数学概念构成的笼统维方法；体验数学“符符号化的意义及号化的意义及“数形结合方法；数形结合方法；第二章数列极限第二章数列极限我们已经有了函数的概念，但如果我们只停留在函数概念本身去研究

2、运动，即如果仅仅把运动看成物体在某一时刻在某一地方，那我们就还没有达到揭示变量变化的内部规律的目的，我们就事实上还没有脱离初等数学的领域，只有我们用动态的观点揭示出函数 yf（x）所确定的两个变量之间的变化关系时，我们才算真正开始进入高等数学的研究领域。极限是进入高等数学是钥匙和工具。我们从最简单的也是最基本的数列极限开始研究。 1 1 数数列列极极限限的的概概念念 课题引入 1予备知识：数列的定义、记法、通项、项数等有关概念。 由此，可给出数列的定义： 对于数列 na，设 A 是一个常数，若任给 0. ，都存在相应的自然数 NnN, 时， Aan ，则称 A 为数列na的极限。 下面我们通过

3、图示，对数列定义作几点说明： 二、数列极限定义 1将上述实例一般化可得： 对数列 na，若存在某常数a，当n无限大时，an能无限接近常数a，则称该数为收敛数列，a 为它的极限。 例如：n1， a=0； nn) 1(3， a=3; 2n ， a 不存在，数列不收敛； n) 1(， a 不存在，数列不收敛； 2将“n无限大时”，数学“符号化”为： “存在 N，当 nN 时” 将“an 无限接近 a”，数学“符号化”为： 任? 0， aan 例如对 nn) 1(3 以 3 ? 极限，对 =101，要使 3)1(3naann=1011n 只需取 N=10，即可 3“抽象化”得“数列极限”的定义 定义：

4、 设 na是一个数列， a 是一个确定的常数， 若对任给的正数，总存在某一自然数 N，使得当 nN 时，都有 aan 则称数列 na收敛于 a，a 为它的极限。记作 aannlim(或 ana,(n) 说明（1）若数列 na没有极限，则称该数列为发散数列。 (2）数列极限定义的“符号化”记法： aannlim0，N，当nN，有aan (3）上述定义中的双重性：的的任任意意性性 0是任意的，但在求N时，又可视为是给定的，由“任意性”可知，不等式aan，可用 2|aan，knaa |来代替 “”号也可用 “” 号来代替 (4）上述定义中N的双重性：N 的的相相应应性性, , N是仅依赖于的自然数，

5、有时记作N=N（）（这并非说明N是的函数，是即：N是对应确定的！但N又不是唯一的，只要存在一个N，就会存在无穷多个N。 （5）如何用肯定的语气叙述 aannlim： 00，N，n。尽管 n。N，但aaon。 （6）如何用肯定的语气叙述，数列 na发散： Ra ，)(aOO0，N，no, 尽管 noN，但 aaon o。 （7）aannlim的几何意义： 即a的任给邻城，都存在一个足够大的确定的自然数 N，使数列na 中,所有下标大于 N 的an,都落在a的邻城内。 x xa-a+aNanaNa三三、用用极极限限定定义义证证明明 aannlim 的的例例题题 例1.证明 01limknn （K为

6、正实数） 证：由于kknn101 所以0，取N=k11,当nN时,便有01kn 注：或写作：0，取N=k11，当nN时，有 KKnn101，01limknn 例2. 证明 343lim22nnn 分析，要使nnnn12412343222（为简化，限定n 3 只要 12n 证.3,12max,0N取,当nN,有 nnnn12412343222 由定义 343lim22nnn 由由上上面面数数列列极极限限的的证证明明可可总总结结出出数数列列极极限限证证明明的的步步骤骤： （1 1） 化化减减 aan （2 2） 适适当当放放大大 aan，通通常常放放大大成成 nMaan的的形形式式 为放大方便，有

7、时候，要? 当予先限定 nn。 （3 3） 解解 nM， 求求出出需需要要的的 N 例 3证明 nnqlim=0， 这里 1|q 证.若 q=0, 结果显然成立 若 0 q 1，令 q =hh(110) 由于 由贝努利不等式nnnhqq)1 (1 nhnh111 所以，0，取 N=NnhN当,1，有有 0nq 四、小结：(可以师生共同总结，或教师引导学生小结，然后教师再条理一下) 本节课重点在于“数列极限的概念” ，而“用极限定义证明极限”的例题学习也是为了巩固极限概念。为此，同学们要注意： 1极限概念的“-N”叙述要熟练掌握，并注意理科，N 的双重性。 2用极限定义证明极限时， 关键是由任给

8、的0 通过反解不等式an-a求 N，其中的若干技巧在于化简不等式。特别注意不等式的“放大”要适度；即要尽可能化简，又不要过度，N 的表达式一定仅依赖于，当然 N 是否是自然数，倒是无关紧要的。 3同学们在学习这部分知识的同时要反复体验其中渗透看的重要数学思维方法，如：抽象化法，数形结合法，符合化法等，这对于大家体验数学的本着特点及培养数学思维能力是十分有益的。关于这一点希望同学们在课下复习时反复体会一下，并结合以前学过的知识中的类似方法对照思考。 对于圆周率的估计，我国古代数学家过出了很大贡献。我国最早的算书周髀算经 （公元 700 年）已经谈到“圆径一而周三”，即3，三国时候（263），三国

9、时期，我国科学家刘徽就提出了“割圆求周”的思想，直径为 1 的圆周分成六等份，量得圆内接正六边形的周长，再平分各弧量出内接正十二边形的周长，这样分割下去，算出了14. 3（称徽率）。南北朝时代的祖冲之（429-500）在缀术一书中求得 在1415926. 3与1415927. 3之间，于是定 14159265. 3叫做圆率正数，133355叫做“密率”，722叫做“约率 ”，后人总称“祖率”。祖冲之 的密率 要比欧洲最早得出这个近似值德人鄂图早 1100 余年。 2 2 收收敛敛数数列列的的性性质质 1 1. . 极极限限唯唯一一性性：（ 证 ） 2 2. . 收收敛敛数数列列有有界界性性 收

10、敛的必要条件：（ 证 ） 3 3. . 收收敛敛数数列列保保号号性性： 定理2.4 设 ( 0limaann或) 0. 则对ar 0 (或 , ),0NraraNnn , (或).ran 例1 设 .lim ,limbbaannnn 证明：若 , ba 则. , ,nnbaNnN （ 证 ） 定理2。5 设.lim ,limbbaannnn 若nnbaNnN ,时有， . ba （注意“ = ” ；并注意bbn 和 0b的情况 ）. 推论 若 , 0limaann 则对. , , , 0raNnNarn 1 1. . 迫迫敛敛性性 Th ( 证 ) 例2 求 limnnn 2 2. . 绝绝对

11、对值值收收敛敛性性: : . lim ,limaaaannnn ( 注意反之不确 ). . 0 lim , 0limnnnnaa ( 证 ) 推论 设数列na 和nb 收敛, 则 .lim , lim min , min lim, lim , lim max , maxlimnnnnnnnnnnnnnnbabababa 6 6 四四则则运运算算性性质质: : 例3 求 1010limmmknka nan abnbn b 例4 求 lim1nnnaa 例5 求 lim(1)nnnn 7 7. . 子子列列收收敛敛性性: : 子子列列概概念念. . Th ( 数列收敛充要条件 ) na 收敛 na

12、 的任何子列收敛于同一极限. Th ( 数列收敛充要条件 ) na 收敛 子列12 ka、ka2和3ka都收敛. 一一. . 利用数列极限性利用数列极限性质质求极限求极限: : 两个基本极限：). 1 ( , 0lim , 01limqqnnnn 1 利用四则运算性质求极限： 例 1 .52102113limnnnnn 註： 关于n的有理分式当n时的极限情况 例2 填空: _;_) 12() 12()2(lim102862nnnn ._ ,8173223lim3223223kaanannaananankn 例 3 例 3 ). 1 (limnnnn 例 4 . 1 .1limaaannn 2.

13、 利用迫敛性的基本技法: 大小项双逼法 例 5 求下列极限: );12sin( ) 13 (lim2nnn ninin02;31lim .121241141lim22nnnn 例 6 .limnnn ( .)122112nnnnnnnnn 例 7 ).1 ( , 0kiai 求证 ., maxlim2121knnknnnaaaaaa 例 8 设nnnbalim存在. 若 , 0limnnb 则. 0limnna 一. 利用子列性质证明数列发散: 例 9 证明数列 13n) 1 (2nnn发散. 3 3 数数列列极极限限存存在在的的条条件件 单调有界定理：任何单调 有界数列都有极限。 例1 设

14、111,22nan ， 证明该数列收敛。 例2 证明数列 ,222,22,2 收敛，并求其极限. clf,n=20; a(1)=sqrt(2); plot(0;n,2;2),hold on for i=1:n; a(i+1)=sqrt(2+a(i); plot(i,a(i),r.),hold on end axis(1,n,1,2.2) 数列的单调递增是显然的, 有界很容易用归纳法证明, 而且 nnaa21 利用单调有界定理, 设其极限为 A , 则有 AA 2 , A=2 例3 证明 nnn)11 (lim 存在。（c16, n=） 先看一下数列的变化的图像, 该数列单调有界（小于3），所以

15、极限存在，且由图象看出：随着 n 的增大, nnna)11 ( 逐渐接近一个 718. 2 的无理数e c cl lf f, , n n= =5 50 0; ; x x= =1 1: :n n; ; f f( (x x) )= =( (1 1+ +1 1. ./ /x x) ). . x x; ; p pl lo ot t( ( 0 0; ;n n , , 2 2. .7 71 18 8; ;2 2. .7 71 18 8 ) ), ,h ho ol ld d o on n p pl lo ot t( (x x, ,f f( (x x) ), , r r. . ) ) 051015202530

16、3540455022.12.22.32.42.52.62.72.8证明： Cauchy收敛准则： Th 2.10 数列na收敛，. , , , , 0 nmaaNnmN （ 或数列na收敛， . ,p , , , 0 npnaaNnNN 例4 证明: 任一无限十进小数 ) 10( . 021nbbb的不足近似值所组成的数列 ,101010 , ,1010 ,102212211nnbbbbbb 收敛. 其中) 9 , 2 , 1 (ibi是 9 , 1 , 0 中的数. 证 令 na ,101010 221nnbbb有 1122111011011109101010 pnpnpnnnnnnpnbb

17、baa 1109n.1101) 1 . 0(11011 . 01) 1 . 0 (1nnpnp 例5 设 .sinsinsin , 102nnnqqqqqqxq 试证明数列 nx收敛. 数列nn11单调有界证法欣赏: Cauchy (17891857 ) 最先给出这一极限，Riemann（18261866）最先给出以下证法一. 证法一 （ Riemann最先给出这一证法 ） 设 .11nnnx应用二项式展开，得 nnxn11321! 3) 2)(1(1! 2) 1(nnnnnnnnnnnn1!123) 1( nnnnnnnn112111!12111! 3111! 2111， ! 21111nx

18、121111! 31111nnn+ + )!1(1n;11111nnn 注意到 ,11111nn ,12121nn .11111 ,nnnn 且1nx比nx 多一项)!1(1n, 011111nnn , 1nnxx 即nx . nnnxn) 1(132121111!1! 31! 21110 nxnnn . 31111111312121111 有界.。综上, 数列nx 单调有界. 证法二 ( 利用Bernoulli不等式 ) 注意到Bernoulli不等式 nxnxxn , 1( ,1)1 (为正整数 ), 有 nnnnnnxx1111111nnnn11111111nnnnnn12211122 ,) 1(111112nnn 由 , 1) 1(12n 利用Bernoulli不等式,有 . 1133233) 1(1111232321nnnnnnnnnxxnn nx . 为证nx 上方有界, 考虑数列 .111nnny 可类证ny . 事实上, 1nnyy 2111111nnnn1111111111nnnn12221221nnnnnnn nnnnnnnnnn2112121121212 nynnnnnn , 1441442323. 显然有 , .nyxnn 有 . 41yy