人教版七年级数学上册第一章有理数的概念复习教案

1、有理数的概念一、目标认知学习目标：了解正数、 负数、有理数的概念，会用正数和负数表示相反意义的量。 掌握一个数的相 反数的求法和性质， 学习使用数轴， 借助数轴理解相反数的几何意义， 会借助数轴比较有理 数的大小。 掌握一个数的绝对值的求法和性质， 进一步学习使用数轴， 借助数轴理解绝对值 的几何意义。重点：有理数的概念及其分类， 相反数的概念及求法， 绝对值的概念及求法， 数轴的概念及应 用；有理数比较大小难点：绝对值的概念及求法， 尤其是用字母表示的时候的意义。 运用数轴理解绝对值的几何意 义。有理数比较大小的方法的掌握。二、知识要点梳理知识点一：负数的引入要点诠释：正数和负数是根据实际需

2、要而产生的， 随着社会的发展， 小学学过的自然数、 分数和小数已 不能满足实际的需要，比如一些有相反意义的量：收入200 元和支出 100 元、零上 6和零下 6等等，它们不但意义相反，而且表示一定的数量，怎样表示它们呢？我们把一种意义 的量规定为正的，把另一种和它意义相反的的量规定为负的，这样就产生了正数和负数。 用正数和负数表示具有相反意义的量时，哪种意义为正，是可以任意选择的，但习惯把 “前 进、上升、收入、 零上温度 ”等规定为正，而把 “后退、下降、支出、零下温度 ”等规定为负。 知识点二：正数和负数的概念要点诠释：（1）像 3、1.5、 、584 等大于 0 的数，叫做正数，在小学

3、学过的数， 除 0 以外都是正数， 正数比 0 大。（2）像 3、 1.5、 584 等在正数前面加 “ ”读（作负 ）号的数 ，叫做 负数 。负数比 0 小。（3）零既不是正数也不是负数，零是正数和负数的分界。注意 ：（1）为了强调，正数前面有时也可以加上“”（读作正）号，例如： 3、1.5、 也可以写作 3、 1.5、 。（2）对于正数和负数的概念，不能简单理解为：带“ ”号的数是正数，带 “”号的数是负数。例如： a 一定是负数吗？答案是不一定。因为字母 a可以表示任意的数， 若 a 表示的是正数，则 a 是负数；若 a 表示的是 0，则 a 仍是 0 ； 当 a 表示负数时， a 就不

4、是负数了（此时 a 是正数）。知识点三： 有理数的有关概念要点诠释：1、有理数： 整数和分数 统称为 有理数。注：（1）有时为了研究的需要，整数也可以看作是分母为1 的数，这时的分数包括整数。但是本节中的分数不包括分母是 1 的分数。（2）因为分数与有限小数和无限循环小数可以互化，上述小数都可以用分数来表示，所以 我们把有限小数和无限循环小数都看作分数。（3） “0”即不是正数，也不是负数，但 “0是”整数。2、整数包括正整数、零、负整数 。例如： 1、2、3、0、1、 2、 3等等。3、分数包括正分数和负分数 ，例如： 、0.6、 、 、0.6 等等。知识点四：有理数的分类要点诠释：1、按整

5、数、分数的关系分类：2、按正数、负数与 0 的关系分类：注： （ 1）通常把 正数和 0 统称为 非负数 ，负数和 0 统称为 非正数 ，正整数和 0 称为 非负 整数（也叫做自然数） ，负整数和 0统称为非正整数 。2）如果用字母表示数，则 a>0表明 a是正数； a<0表明 a是负数； a 0 表明 a是非负数； a 0 表明 a 是非正数。知识点五：数轴的概念要点诠释：规定了 原点、正方向和单位长度 的直线叫做 数轴 数轴的定义包含三层含义： （1）数轴是一条直线，可以向两端无限延伸；（2）数轴有三要素 原点、正方向、单位长度， 三者缺一不可；（3）原点的选定、正方向的取向、

6、单位长度大小的确定，都是根据实际需要 “规定 ”的（通常取向右为正方向） 。知识点六：数轴的画法要点诠释：1、画一条直线（一般画成水平的直线）2、在直线上选取一点为原点，并用这点表示零（在原点下面标上“ 0）”。3、确定正方向（一般规定向右为正） ，用箭头表示出来。4、选取适当的长度作为单位长度， 从原点向右， 每隔一个单位长度取一点， 依次表示为 1， 2，3；从原点向左，每隔一个单位长度取一点，依次表示为1， 2， 3注： （ 1）原点的位置、单位长度的大小可根据实际情况适当选取； （2）确定单位长度时，根据实际情况，有时也可以每隔两个（或更多的 ）单位长度取一点，从原点向右，依次表示为

7、2， 4，6， ；从原点向左，依次表示为 2， 4， 6， ；识点七：数轴上的点与有理数的关系 所有的有理数都可以用数轴上的点表示出来， 反过来，不能说数轴上所有的点都表示有理数。 要点诠释：正有理数可以用原点右边的点表示，负有理数可以用原点左边的点表示，零用原点表示。知识点八：利用数轴比较有理数的大小要点诠释：0；负数都小于 0；正数大在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。正数都大于 于一切负数。知识点九：相反数的概念1、相反数的几何定义：在数轴上原点的两旁，到原点距离相等的两个点所表示的数，叫做 互为相反数 。2、相反数的代数定义：只有符号不同的两个数 （除了符号不同以外完全相同）

8、 ，我们说其中 一个是另一个的相反数， 0 的相反数是 0。要点诠释：1）“只”字是说仅仅是符号不同，其它部分完全相同；2）相反数是数，不是量；3）相反数是成对出现的。知识点十：相反数的表示方法要点诠释：一般地，数 a 的相反数是 a。这里 a表示任意的一个数，可以是正数、负数、或者0。知识点十一：多重符号的化简把多重符号化成单一符号， 如果是正号， 则可以省略不写， 实际上， 多重符号的化简是由 “-” 的个数来定，若 “-”个数为偶数个时，化简结果为正，如-（-4）=4 ；若 “-”个数为奇数个时，化简结果为负，如 -+ -（-4）= -4 。要点诠释：1、在一个数的前面添上一个 “”号，

9、仍然与原数相同，如 55，（ 5） 5。2、在一个数的前面添上一个 “ ”号，就成为原数的相反数。 如（ 3）就是 3的相反数， 因此，（ 3） 3。知识点十二：绝对值的概念要点诠释：a 的点与原点的距离，数 a 的1、绝对值的几何定义：一个数a 的绝对值就是数轴上表示数 绝对值记作 “2、绝对值的代数定义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是 0。即知识点十三：两个负数大小的比较要点诠释：（1）两个负数在数轴上的位置关系是： 绝对值较大的负数一定在绝对值较小的负数的左边， 所以，两个负数，绝对值大的反而小。（2）比较两个负数大小的方法是：一、先分别求出这两个负

10、数的绝对值；二、比较这两个 绝对值的大小；三、根据 “两个负数，绝对值大的反而小 ”做出正确的判断。知识点十四：有理数大小的比较法则要点诠释：正数都大于 0，负数都小于 0，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小。三、经典例题透析类型一：有理数分类的问题1：请把下列各数填入它所属于的集合的大括号里。1，0.0708，-700，-3.88，0， 3.14159265，正整数集合 : 整数集合 : 正分数集合 : 分数集合 :思路点拨 : 这种关于有理数的分类问题， 负整数集合 : 负分数集合 :关键是要掌握各种数的概念。，小学时所学的自然数就是正整数和零，进入中学，出现了负整数，而整数的范

11、围就扩大到了正整数、零和负整数。有限小数 和无限循环小数都可以写成分数的形式，因此，它们都是分数。解析：正整数： 1；负整数： -700；整数： 1，0，-700；正分数： 0.0708，3.14159265 ，；负分数： -3.88，；分数： 0.0708， 3.14159265，-3.88，总结升华：有理数包括整数和分数， 分数包含有限小数和无限循环小数， 但须注意的是， 不是所有的小数都是分数，比如 等。所以， 我们也不能说小学学过的所有数都是有理数，还有一部分数 不是有理数，那么这部分数我们将在今后学习研究。举一反三：【变式 1】在数 -100, 70.8, -7, -,3 .8, 0

12、, ,是小数的是 ; 不是有理数的是【变式 2 】下列四种说法，正确的是 ( ).(A) 所有的正数都是整数 (C)正有理数包括整数和分数中,不是分数的是 ; 不(B)不是正数的数一定是负数(D)0 不是最小的有理数1：若把向北走7km 记为 7km ，则 10km 表示的含义是(A. 向北走 10kmB.向西走 10kmC. 向东走 10km)D. 向南走 10km类型二：正负数的概念第 11 页思路点拨 ： “正”和 “负 ”相对， 7km 表示向北走 7km，则 10km 表示向南走 10 km. 答案：D总结升华 ：在一对具有相反意义的量中，若先规定一个为正，则另一个就用负表示； 若先

13、规 定一个为负，则另一个就用正表示。举一反三：表示， 0 元表示变式】 (1)如果收入 300 元记作 +300 元，那么支出 500 元用(2) 若购进 50 本书，用 -50 本表示，则盈利 30 元如何表示？类型三：与数轴相关的问题1: 数轴上有一点到原点的距离是5.5，那么这个点表示的数是.思路点拨 :到原点的距离等于 5.5 的点既可以在原点左边，也可以在原点右边，因此这样的点有两个。解析： 5.5 或 -5.5总结升华 ：与数轴相关的问题还有数轴的画法以及借助数轴来比较有理数的大小。2：如右图所示，数轴的一部分被墨水污染了，被污染的部分内含有的整数为.思路点拨 :数轴上的点表示的数

14、右边的比左边的大。因此，被污染的部分的数大于 考虑这一范围内的整数即可。解析： -1,0,1,2总结升华： 利用数轴解决问题是数形结合数学思想的的一个重要应用， 的一些关系。-1.3，小于 2.6，再要能由 “形”看出 “量举一反三：【变式 1】实数在数轴上表示如图所示，则下列结论错误的是（ ）A.B.C.D.变式2】一个点从数轴的原点开始,先向右移动 3个单位长度 ,再向左移动 5 个单位长度 ,则终点表示的数是 .【变式 3】数轴上点 A 对应的数为 -3,那么与 A 相距 1 个长度的点 B 所对应的数是 类型四：与相反数相关的问题1） 的相反数是， 3与互为相反数（ 2） 的相反数是

15、， 的相反数是 ， 的相反数是 .（3）0 的相反数是 .（4）已知那么 的相反数是 .已知，则 a 的相反数是.思路点拨 :（1）代数意义：只有符号不同的两个数互为相反数，特别地，O 的相反数是 0相反数必须成对出现，不能单独存在例如 +5 和 5互为相反数，或者说 +5 是5的相反数， 5是+5 的相反数，而单独的一个数不能说是相反数另外，定义中的 “只有 ”指除符号以外，两个数 完全相同， 注意应与 “只要符号不同 ”区分开 例如 +3 与 3 互为相反数， 而+3 与 2 虽然符 号不同，但它们不是相反数（2）几何意义：一对相反数在数轴上应分别位于原点两侧，并且到原点的距离相等这两点

16、是关于原点对称的（3）求任意一个数的相反数， 只要在这个数的前面添上 “一”号即可 一般地， 数 a 的相反数是 a；这里以 a 表示任意一个数，可以为正数、 0、负数，也可以是任意一个代数式注意 a 不一定是负数注意： 当 a>O时， a<0（正数的相反数是负数 ）；当 a=O 时， a=O（0 的相反数是 0）；当 a<0时， a>O （负数的相反数是正数 ）（4）互为相反数的两个数的和为零，即若a与 b互为相反数，则 a+b=0，反之，若 a+b=O，则a与 b 互为相反数（5）多重符号的化简：一个正数前面不管有多少个“ ”号，都可以全部去掉；一个正数前面有偶数个 “”号，也可以把 “ ”号全部去掉；一个正数前面有奇数个 “”号，则化简后只保 留一个 “”号，既 “奇负偶正 ”（其中 “奇偶”是指正数前面的 “”号的个数的奇偶数， “负正” 是指化简的最后结果的符号） 解析：(1) ，3； (2)m,-(-m+1),-(m+1); (3) 0 (4) -9, 9总结升华： 求相反数时，要紧紧抓住 “只有符号不同 ”这一条件，即 “符号不同而数字相同 的两个数。举一反三：【变式 1】 （1） 一个数的相反数的倒数是 -4,这个数是 .（2） 如果