中考复习之抛物线与几何图形

1、中考复习：抛物线与几何图形纵观近几年的中考试卷，在压轴题里面，以函数（特别是二次函数）为载体，综合几何图形的题型是中考的热点和难点，这类试题常常需要用到数形结合思想，转化思想，分类讨论思想等，这类试题具有拉大考生分数差距的作用它既突出考查了初中数学的主干知识，又突出了与高中衔接的重要内容本课时主要研究抛物线与等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形的综合问题，解决这类试题的关键是弄清函数与几何图形之间的联系，在解题的过程中，将函数问题几何化同时能够学会将大题分解为小题，逐个击破例1：（2013湖南湘西)如图，已知抛物线 与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，若已知A点的坐标为A(2，

2、0)（1）求抛物线的解析式及它的对称轴方程；4412bxxy（2）求点C的坐标，连接AC、BC，并求线段BC所在直线的解析式；【解题思路】令【解题思路】令x0，求得，求得y的值，即得出点的值，即得出点C的坐标，再的坐标，再根据二次函数的对称性求得点根据二次函数的对称性求得点B的坐标，用待定系数法可求的的坐标，用待定系数法可求的直线直线BC的解析式；的解析式；（3）试判断AOC与COB是否相似？并说明理由；【解题思路】考虑到【解题思路】考虑到AOC与与COB都是直角都是直角三角形，可判定夹直角的两边是否对应成比例，三角形，可判定夹直角的两边是否对应成比例，从而可判断两个三角形是否相似；从而可判断

3、两个三角形是否相似；（4）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使ACQ为等腰三角形，若存在，求出符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由【解题思路】先假设存在，抛物线的对称轴上的点Q的横坐标都是3，可设纵坐标为c，分三种情况ACAQ，CQCA，QAQC，分别建立关于c的方程求解【必知点】（1）用待定系数法求函数解析式是高频考点；（2）判断两个三角形相似，在已知一角相等的前提下，可寻找另一角相等，或利用夹这个角的两边对应成比例来说明；（3）探究一个三角形是否是等腰三角形的时候，实际上就是讨论什么时候有两条边相等，因此需要分三种情况讨论例2：（2013四川攀枝花）如图，抛物线yax2+bx+c经过点A

4、（3，0），B（1，0），C（0，3）（1）求抛物线的解析式；【解题思路】已知抛物线与x轴两个交点坐标，可设抛物线两根式的解析式求解；（2）若P为第三象限内抛物线上的一点，记PAC的面积为S，求S的最大值并求出此时点P的坐标； 【解题思路】设【解题思路】设P点坐标，构建点坐标，构建P点横坐标为变量点横坐标为变量的面积的面积S的二次函数，利用二次函数配方法求最值的二次函数，利用二次函数配方法求最值（3）设抛物线的顶点为D，DEx轴于点E，在y轴上是否存在点m，使得ADM是直角三角形？若存在，请直接写出点M的坐标；不存在，请说明理由例3：（2013山东莱芜）如图，抛物线 yax2+bx+c（a0）

5、经过点A（3，0）、B(1，0)、C(2，1)，交y轴于点M.（1）求抛物线的表达式；【解题思路】利用三点式求出二次函数解析式【解题思路】利用三点式求出二次函数解析式（2）D为抛物线在第二象限部分上的一点，作DE垂直x轴于点E，交线段AM于点F，求线段DF长度的最大值，并求此时点D的坐标；（3）抛物线上是否存在一点P，作PN垂直x轴于点N，使得以点P、A、N为顶点的三角形与MAO相似？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由.【解题思路】在各个象限内，分类讨论以点P、A、N为顶点的三角形与MAO相似.因为没有相似的对应点，所以需要点在不同象限内时，PAN的形状，确定出对应边，然后利用相似三角

6、形的性质得到对应边相等.然后将对应边的长度转化为点的坐标，从而确定点的坐标例4：（2013浙江舟山）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线 的顶点为A，与y轴的交点为B连结AB，ACAB，交y轴于点C，延长CA到点D，使ADAC，连结BD作AEx轴，DEy轴221144yxmmm（1）当m2时，求点B的坐标；【解题思路】将【解题思路】将m2，x0直接代入二次函数直接代入二次函数解析式，便可求得点解析式，便可求得点B的纵坐标；的纵坐标；【解题思路】延长【解题思路】延长EA，交，交y轴于点轴于点F，构造出，构造出AFC与与AED全等，从而得到全等，从而得到AF=AE，根据，根据B、A点坐标特征分别

7、用含点坐标特征分别用含m的代数式表示出线段的代数式表示出线段AF、AE、BF的长度，借助相似可求得的长度，借助相似可求得DE的长度；的长度；（3）设点D的坐标为（x，y），求y关于x的函数解析式； 【解题思路解题思路】关键是能发现关键是能发现A、D两点的坐标特征，根据两点的坐标特征，根据A点的坐点的坐标写出标写出D点的坐标，通过等量代换，寻求出点的坐标，通过等量代换，寻求出y关于关于x的函数解析式的函数解析式过点D作AB的平行线，与第（3）题确定的函数图象的另一个交点为P，当m为何值时?以A，B，D，P为顶点的四边形是平行四边形?【解题思路】利用【解题思路】利用P点的坐标在第点的坐标在第问的函数问的函数图象上，问题可获得解决图象上，问题可获得解决. 例5：（2013广东湛江）如图，在平面直角坐标系中，顶点为（3，4）的抛物线交y轴于A点，交 x轴于B、C两点（点B在点C的左侧），已知A点坐标为（0，5）（1）求此抛物线的解析式；（2）过点B作线段AB的垂线交抛物线于点D，如果以点C为圆心的圆与直线BD相切，请判断抛物线的对称轴l与OC的位置关系，并给出证明； 【解题思路】分