数列求和专题(裂项相消)

1、数列求和专题复习一、公式法2. 等比数列求和公式:3. 常见数列求和公式:naiSn = < ai (1 -q)1 -qai - anqi -q(q=1)(q = 1)1k n(n 1);2nSn =為 k2kJ1)n(n 1)(2n 1);6Snn八k31 2Fn(n 1)1.等差数列求和公式：Sn"1552 2_1已知log 3 x，求x x2 x 亠xn的前n项和.log 2 3例2 :设Sn =12 3n，n N ,求 f (n)二Sn(n 32)Sm的最大值.、倒序相加法似于等差数列的前n项和的公式的推导方法。如果一个数列(an?,与首末两项等距的两项之和等于首末两项

2、之和，可采用正序写和与倒序写和的两个和式相加，就得到一个常数列的和。这一种求和的方法称 为倒序相加法.例 3:求 sin21 sin2 2 sin23 亠 亠sin288 sin289 的值例4 :求1212 102小2八22322 923282+川+102102 12的和.变式1 ：已知函数f x =2x +丁2(1)证明:f x f"1 ;(2)求r V川f佥吒的值.1三、裂项相消法这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用.裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的.通项分解（裂项）如:(1)an=f (n 1)-f(n)(2)s

3、in 1cos n cos(n 1)-=tan(n 1) - tan n(3)ann(n 1)(4)an(2n)2(2n -1)(2n 1)(5)ann(n 1)( n 2)an求数列在数列n(n 1)2 n(n 1)2(n1) -nn(n 1)(n1)(n 2)nnn 2 (n 1)2,则 Sn =11(n - 1)2n-，又 bn2 d 、-，求数列：bn f的前n项的和.an an 1变式1:求证:cos0 cos1 cos1 cos2+ * * *+cosl 2cos88 cos89 sin 1四、q倍错位相减法类似于等比数列的前 n项和的公式的推导方法.若数列各项是由一个等差数列和一

4、个等比数列对应项 相乘得到，即数列是一个“差比”数列，则采用错位相减法若an =bn G，其中?是等差数列，：cn?是公比为q等比数列，令Sn哉 b2C2III bn 二Cn 二则 qSn=bedQ bndcn-1两式相减并整理即得例 7:求和：Sn =1 3x 5x2 7x3 亠 亠（2n - 1）xn，例8:求数列彳吕吕,鲁前n项的和.2 2 2 2五、分组求和法有一类数列，它既不是等差数列，也不是等比数列若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比数列或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可例9:求和：Sn = 2一3 54一3 5，6一3 5" HI 2n 3 5例10：求数

5、列、n(n -1)(2n 1)'的前n项和.课后巩固：1. 等比数列 何的前n项和& =2n 1，则a； + a；+=2. 设 Sn =1 +35+7山+(1)n(2 n1)，则 S =1113. -:.1 44 7(3n -2) (3n 1)(n - 1)(n 3)4.+ +15.数列 1,(1 2),(1 2 22),川,(1 2 22 川 2nl)J| | 的通项公式 a.6.1 2，22，22n 1丁，；的前n项和为7.数列；an满足:a1 = 1，且对任意的m, n ：= N都有：am ,n“m a. mn，则丄丄.丄cha?a3()人 4016D 2008A.B.-

6、200920098.数列丘I % 都是公差为1的等差数列,C.观1004D.竺2008若其首项满足aib 5, ai > bi,且 ai, bi前10项的和等于（）A. 100B. 85C. 70D . 559.设 m = 1 22 3 3 4 亠 亠（n1） n，则 m 等于（人叮 B. In(n 4)1C.n(n 5)2D.1n(n 7)210.若 Sn =1 _2 3_4-1)2，则 S17 - S33S50 等于（）A.1B.-1C.0D.211.设 a 1为等比数列，fbn?为等差数列,且 d = 0,Cn = an bn，若数列是 1,1,2,项和为()A.978B.557C

7、.467D.9792 2 2 2 2 212. 100 一9998 -972 -1 的值是()A.5000B.5050C.10100D.2020013.已知数列 Q 啲首项a3，通项a 2n p nq（ N '， p，q为常数），且a1，a4，a5成等差数列.求：（1） p , q的值；（2）数列 匕'前n项和Sn的公式.14.设等差数列；Gn '的前n项和为Sn，且S4 = 4S2, a2n =2an T.（i）求数列a ?的通项公式;（2）若数列江：满足b 2.baia2ann N ,求的前n项和Tn.15.已知等差数列 玄是递增数列，且满足 a4 a7 =15 , a3 a8 = 8.（1）求数列2n ?的通项公式;AA（2）令 bn 一 （n_2）， b1 二一，求数列、bn?的前 n 项和 Sn.9anan316.已知数列：an 的前n项和为Sn，且Sn = 2an T ;数列满足 bnv bn 二 bnbn/n 2, n NJ,bj = 1.(1)求数列 & X 虹的通项公式；(2)求数列比'> 的前n项和Tn. bn17.在等比数列冲，ai 0 , n N ,且a3-